2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题06 数列的通项公式（15大考点）（原卷版）

专题06数列的通项公式

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：求数列通项公式的常用方法

类型Ⅰ观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项．

类型Ⅱ公式法：

若已知数列的前n项和Sn与的关系，求数列的通项可用公式

ananan

S,(n1)

1构造两式作差求解．

an

SnSn1,(n2)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是一分为二，即分段式；另一种是合二为一，即和合

“”“”a1an

为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

类型Ⅲ累加法：

anan1f(n1)

aaf(n2)

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：n1n2

an1anf(n)f(n)n

...

a2a1f(1)

将上述个式子两边分别相加，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

①

若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；

③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．

④类型Ⅳ累乘法：

an

f(n1)

an1

a

an1f(n2)

形如n1型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

an1anf(n)f(n)f(n)nan2

an

...

a2

f(1)

a1

将上述个式子两边分别相乘，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

类型Ⅴ构造数列法：

（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：

an1panqp,qp0

（）若时，数列为等差数列；

1p1{an}

（）若时，数列为等比数列；

2q0{an}

（）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方

3p1q0{an}

法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待

an1p(an)an1pan(p1)an1panq

定系数法）得qqqqq，即q构

,(p0)an1p(an)anp(an1)an

p1p1p1p1p1p1

成以q为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出q的通项整理可

a1pan

p1p1

得

an.

aa

法二：由得两式相减并整理得n1n即构成以

an1panqanpan1q(n2)p,an1ana2a1

anan1

为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型（累加法）便可求出

pan1anⅢan.

（二）形如型的递推式：

an1panf(n)(p1)

（1）当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定、的值，转化成以为首

anAnBpan1A(n1)BABa1AB

n！

项，以Am为公比的等比数列aAnB，再利用等比数列的通项公式求出aAnB的通项

nnm!nn

整理可得

an.

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：

f(n)dan1panf(n)anpan1f(n1)

，令得：转化为类型㈠求出，再用类型（累加法）

an1anp(anan1)dbnan1anbnpbn1dⅤbnⅢ

便可求出

an.

（2）当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以

anf(n)pan1f(n1)a1f(1)

n！

Am为公比的等比数列af(n)，再利用等比数列的通项公式求出af(n)的通项整理可

nnm!nn

得

an.

法二：当的公比为时，由递推式得：，，两边同时

f(n)qan1panf(n)——anpan1f(n1)

①aqa

乘以得，由两式相减得，即n1n，在

qanqpqan1qf(n1)——an1anqp(anqan1)p

anqan1

②①②

转化为类型㈠便可求出

Ⅴan.

法三：递推公式为n（其中，均为常数）或n（其中，，均为常数）

an1panqpqan1panrqpqr

apa1a

时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：n1n，引入辅助数列b（其中bn），得：

qn1qqnqnnqn

p1

bb再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

n1qnq

（3）当f(n)为任意数列时，可用通法：

aaf(n)af(n)

在apaf(n)两边同时除以pn1可得到n1n，令nb，则bb，在转化

n1npn1pnpn1pnnn1npn1

为类型（累加法），求出之后得n．

Ⅲbnanpbn

类型Ⅵ对数变换法：

形如q型的递推式：

an1pan(p0,an0)

在原递推式q两边取对数得，令得：，化归为

an1panlgan1qlganlgpbnlganbn1qbnlgp

型，求出之后得bn（注意：底数不一定要取，可根据题意选择）．

an1panqbnan10.10

类型Ⅶ倒数变换法：

11

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，

an1anpan1anpp0an1anp

anan1

1

化归为型求出的表达式，再求；

an1panqan

an

man1q1p

还有形如an1的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为

panqan1manm

1

型求出的表达式，再求．

an1panqan

an

类型形如型的递推式：

Ⅷan2pan1qan

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数

{anan1}an2kan1h(an1kan)

得，可解得、，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．

hkp,hkqhk{an1kan}han1panq

考点一：观察法

357911

【例1】（25-26高二上·河北·月考）观察数列,,,,,的特点，则该数列的一个通项公式为（）

8244880120

2n12n11

A．anB．an

(2n1)214nn1

2n1n2

C．aD．an

n(2n1)21n1n3

31

【变式1-1】（25-26高二上·河北·月考）数列1，1，，，…的通项公式可以是a（）

42n

2n2nnn1

A．B．C．D．

n1n212n12n

【变式1-2】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）已知数列-1，1，3，5，7…，则它的通项公式可能是（）

A．an2n1B．an2n1C．an2n3D．an2n3

2121

【变式1-3】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知数列1,,,,,......，则该数列的一个通项公式为

2244

（）

n1

22n

A．aB．n1

nan(1)n

22

n1

(2)n12

．n1．a

Can(1)Dn

n2

考点二：累加法

【例2】（25-26高二上·吉林延边·月考）已知数列an满足a128，an1an2n，则an.

1

【变式2-1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列an中，a13,an1anlg1，则a10．

n

【变式2-2】（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列an中，已知a11，且an1an3n2，则

an．

【变式2-3】（25-26高二上·天津红桥·月考）数列an中，a11，an1ann1，则an．

考点三：累乘法

【例3】（25-26高二上·江苏·期末）已知数列an中，a14,n1an1n2an，则an.

【变式3-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列an满足a11，nann2an1，则数列an的通

项公式是

n

【变式3-2】（24-25高二下·四川广安·月考）数列a中，若a2,aa，则2024a2025.

n1n1n1n

2n2

【变式3-3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列a满足a1，aa，则a的通项公

n1n1nnn

式为

考点四：型的递推式

an1panq

*

【例4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列an的前n项和为Sn，且a11,an12an1(nN)，

则S5

【变式4-1】（24-25高二下·湖北·期中）数列an中，a11，an13an1，则通项an．

【变式4-2】（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列中，a11，an13an1，则an．

【变式4-3】（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知数列an满足an13an4，且a10，则an.

考点五：型的递推式

an1panknb

*

【例5】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知数列an中，a13，an12an2n3，nN，Sn为数列an

的前项和，则数列an的通项公式an；S8.

1

【变式5-1】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知a1，当n2时，aa2n1，则a的通项公

1n2n1n

式为

【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足a13,an13an4n，则an．

【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足an24an3n2，且a13，a26，则数

列an的通项公式为an.

考点六：n型的递推式

an1panrq

n1

【例6】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列an满足a12，an13an2，nN，则数列an的

通项公式为．

n*

【变式6-1】（2024高二·全国·专题练习）已知数列an满足an13an3nN，且a11，则数列an

的通项公式为．

n1

【变式6-2】（22-23高二下·山东淄博·期中）数列an满足a12,an12an2，则数列an的通项公式为

an．

n1

【变式6-3】（23-24高一下·上海·期末）数列an满足a12,an13an2，则数列an的通项公式为

an.

考点七：q型的递推式

an1pan(p0,an0)

2

【例7】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列{an}满足a12，且an1an4an2，则an；

11

令bn，若bn的前n项和为Sn，则Sn．

an3an11

n

【变式7-1】已知a11，an1an2，求an．

【变式7-2】设数列an满足a1aa0，an12an，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都

有anM．

ma

考点八：n型的递推式

an1

panq

*

【例8】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列an满足a11,2an1ananan10(nN)，则数列an的

通项公式为．

1an

【变式8-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列an满足a1，且an+1=，则数列an的通项

23an+1

公式为an=．

a

n*

【变式8-2】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列an满足a11，an1，nN，则

4an1

an.

2a

n

【变式8-3】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列an中，a12，且an1，则an．

an2

考点九：型的递推式

an2pan1qan

*

【例9】已知数列an中a11，a23，且满足an23an4an1．设bnan1an，nN.

(1)求数列bn的通项公式；

(2)求数列an的通项公式；

1

【变式9-1】已知数列an满足a1，a，aa2a，求an的通项公式．

122nn1n2

311

【变式9-2】已知数列an满足aaan2，且a，a1.求数列an的通项公式；

n12n2n1122

21

【变式9-3】已知数列{a}中，a1,a2,aaa，求{a}的通项公式．

n12n23n13nn

mat

考点十：n型的递推式

an1

panq

1

【例10】（2022高三·全国·专题练习）已知数列an满足a12，an1，则an．

an2

3a4

n

【变式10-1】（2023高三·全国·专题练习）已知a13，an1，则an的通项公式为．

an2

511

【变式10-2】（2022·湖南益阳·一模）已知数列an中，a11，an1，若bn，则数列bn的

2anan2

前n项和Sn.

考点十一：已知Sn关系求通项问题

11

【例11】（22-23高二下·安徽·期中）在数列a中a1，当n2时，aaaa，则其通

n1n122n1n1

项公式为an．

2*

【变式11-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列an的前n项和为Sn，a12，Snnan（nN），

则Sn为.

【变式11-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列an的前n项和为Sn,a11，且

1*

2an1Sn1nN，则an.

2n

1

【变式11-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知数列a中，a，其前n项和S满足

n12n

2

SnanSnan0(n2)，则a2；S2024.

2

【变式11-4】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列an的前n项和是Snn4n2，则数列an的通

项公式是.

考点十二：双数列问题

an1an2bn

【例12】数列an,bn满足,且a12,b14.

bn16an6bn

(1)证明:an12an为等比数列;

(2)求an,bn的通项.

【变式12-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列an和bn满足a12，b10，2anbn13n1，

an12bn3n1，则anbn______，anbn______．

【变式12-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列an和bn满足

13

a,b,4a3ab4,4b3ba4．

1212n1nnn1nn

(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；

(2)求an的通项公式以及an的前n项和Sn．

考点十三：前n项积型

an2ann2

【例13】已知数列an的前n项和为Sn,且满足a0,S,数列bn的前n项积T2.求数列

nn4n

an和bn的通项公式;

aa

n1n

【变式13-1】设Tn为数列an的前n项积．已知2．求an的通项公式；

Tn1Tn

1S1

n

【变式13-2】设Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前n项积，已知．

TnSn

(1)求S1，S2；

1

(2)求证：数列为等差数列；

Sn1

(3)求数列an的通项公式．

考点十四：通过递推关系求通项

【例14】（24-25高三上·山西吕梁·月考）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，

靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的

停车位的总数是.

【变式14-1】（24-25高二上·福建三明·月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，

其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的

4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米．至少经过年，绿洲

面积可超过60%？（lg20.3）

【变式14-2】（24-25高二上·福建厦门·月考）某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产．A

企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长

率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投

入下一年生产．设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元．则an．

考点十五：因式分解型求通项

【例】（•安徽月考）已知正项数列满足：，22，*．

152024{an}a1aan14anan12an0nN

（）判断数列是否是等比数列，并说明理由；

Ⅰ{an}

（）若，设．*，求数列的前项和．

Ⅱa2anbnnnN{bn}nSn

【变式】（•怀化模拟）已知正项数列满足，22设

15-12024{an}a112anan1an6an10(n2,nN*)

．

bnlog2an

（）求，；

1b1b2b3

（）判断数列是否为等差数列，并说明理由；

2{bn}

（）的通项公式，并求其前项和为．

3{bn}nSn

【变式】（•仓山区校级月考）已知正项数列满足且22*

15-22024{an}a12(n1)ananan1nan10(nN)

（）证明数列为等差数列；

Ⅰ{an}

（）若记4，求数列的前项和．

Ⅱbn{bn}nSn

anan1

【变式】已知正项数列的前项和满足：22*，数列满足

15-3{an}nSnSn(nn1)Snn(n1)0(nN){bn}

a1*

b，且bb0(nN)．

12n1n

（）求的值及数列的通项公式；

1a1{an}

(2n1)b

（）设n，数列的前项和为，求．

2cn{cn}nTnTn

Sn

，

1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设Sn为数列an的前n项和，若3Sn22an则数列an的通项公式为

（）

nn

．1．1

AanBan

22

nn

C．an2D．an2

2．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列an中，若a22,ann2an1an，则a2026（）

A．1013B．1014C．2025D．2026

3．（25-26高二上·天津武清·月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著

名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，

如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有

关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小

球的个数为（）.

A．45B．55C．65D．75

4．（25-26高二上·安徽池州·月考）除数函数（divisorfunction）ydnnN*的函数值等于n的正因数

的个数，例如d11，d43，那么数列dn的第2025项是（）

A．8B．12C．15D．25

2S

n

5．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列an各项均为正数，Sn为数列an的前n项和，an1，

an

则a12的值为（）

A．4B．8C．12D．16

11

6．（24-25高二上·江苏·期末）在数列a中，a1,aa，则a等于（）

n1n1nnn1n

12n13n11

A．B．C．D．

nn2n2n

aa1

7．（2018·湖南长沙·一模）在数列a中，a2，n1nln(1)，则a等于（）

n1n1nnn

A．2nlnnB．2n(n1)lnn

C．2nnlnnD．1nnlnn

n

8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列an满足a11，anan12anan1，则an（）

212n111

A．B．n1C．D．

2n1122n12n1