2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题02 圆的方程（18大考点）（解析版）

专题02圆的方程

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：圆的定义和圆的方程

1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

2、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心坐标为（a，b），半径为r(r0)

2222DE

（2）圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)，圆心坐标为,，半径

22

D2E24F

r

2

（）圆的直径式方程：若，则以线段为直径的圆的方程是

3A(x1,y1),B(x2,y2)AB

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

（4）圆的参数方程：

xrcos

①x2y2r2(r0)的参数方程为（为参数）；

yrsin

xarcos

②(xa)2(yb)2r2(r0)的参数方程为（为参数）．

ybrsin

知识点2：点与圆的位置关系判断

（）点与圆222的位置关系：

1P(x0,y0)(xa)(yb)r

①(xa)2(yb)2r2点P在圆外；

②(xa)2(yb)2r2点P在圆上；

③(xa)2(yb)2r2点P在圆内．

22

（2）点P(x0,y0)与圆xyDxEyF0的位置关系：

22

①x0y0Dx0Ey0F0点P在圆外；

②22点在圆上；

x0y0Dx0Ey0F0P

22

③x0y0Dx0Ey0F0点P在圆内．

知识点3：直线与圆的位置关系

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

|AaBbC|

圆心(a,b)到直线AxByC0的距离，则d：

A2B2

22

dr直线与圆相交，交于两点P,Q，|PQ|2rd；

dr直线与圆相切；

dr直线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判别式为，则：

0直线与圆相交；

0直线与圆相切；

0直线与圆相离．

知识点4：圆与圆的位置关系

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

O1,O2R,rRrd

dRr两圆相交；

dRr两圆外切；

RrdRr两圆相离

dRr两圆内切；

0dRr两圆内含（d0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

考点一：求圆多种方程的形式

【例1】（2025·高二·贵州遵义·期末）已知圆M与x轴相切，圆心在直线2xy0上，且在直线xy10

上截得的弦长为22，则圆M的方程是（）

A．(x1)2(y2)24或(x5)2(y10)2100

B．(x1)2(y2)24或(x5)2(y10)2100

C．(x1)2(y2)24

D．(x1)2(y2)24

【答案】A

【解析】由题意可设圆心Ma,2aa0，且半径为r2a2a，

a2a1

又圆心到直线xy10的距离为d，

2

因为直线xy10被圆M截得的弦长为22，

2

a2a122

所以22aa1或a5，

2

所以圆心M1,2且半径为r2，或圆心M5,10且半径为r10，

2222

所以圆M的方程为x1y24或x5y10100.

故选：A

【变式1-1】（2025·高二·广东·期中）圆P:(x1)2(y1)21关于直线yx2对称的圆Q的方程是

（）

A．(x3)2(y1)21

B．(x1)2(y3)21

C．(x4)2(y2)21

D．x2(y4)21

【答案】B

【解析】圆P:(x1)2(y1)21的圆心P1,1，半径r1，

设P1,1关于直线yx2的对称点为Qa,b，

b1

11

a1a1

则，解得，

b1a1b3

2

22

所以圆Q的圆心为Q1,3，半径为r1，

所以圆Q的方程是(x1)2(y3)21.

故选：B

3π

【变式1-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知直线AB的倾斜角为，点A2,1，圆

4

229

C:xy2x3y0，若圆C1与圆C2关于直线AB对称，则圆C2的标准方程为（）

14

22

5223

A．x(y2)1B．(x1)y1

22

22

5225

C．x(y2)1D．(x2)y1

22

【答案】C

3π

【解析】由题意知，直线AB的方程为y1tanx2，即xy10，

4

2

92

圆22可化为3，

C1:xy2x3y0x1y1

42

3

故圆心C11,，半径为1，

2

设点C1关于直线AB对称的点为a,b，

33

b+b-5

则a+12，2，解得a=-,b=-2，

++1=0=12

22a-1

5

因为圆C1与圆C2关于直线AB对称，所以C2,2，

2

2

5

又圆C的半径为，故圆C的标准方程为2

212x(y2)1.

2

故选：C

【变式1-3】（2025·高二·天津·月考）经过三点A1,1，B1,4，C4,2的圆的方程是（）

A．x2y27x3y20B．x2y27x3y20

C．x2y27x3y20D．x2y27x3y20

【答案】A

【解析】设圆的一般方程为x2y2DxEyF0,D2E24F0,

DEF2

将A1,1，B1,4，C4,2代入方程得D4EF17，

4D2EF20

D7

解得E3，满足D2E24F0，

F2

故圆的方程为x2y27x3y20，

故选：A

考点二：直线系方程和圆系方程

22

【例2】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆x3y213和x2y337的交点，且圆心在

直线xy40上的圆的方程.

22

1789

【答案】xy

222

22

【解析】因为所求的圆经过两圆x3y213和x2y337的交点，

所以设所求的圆的方程为2222，

x3y13xy3370

即1x26x1y26y2840，

222

334289133

配方得，所以其圆心为，

xy2,

111111

33

又圆心在直线xy40上，代入得40，

11

22

1789

解得7，故所求圆的方程为xy.

222

22

1789

故答案为：xy

222

【变式2-1】经过圆x2y28x6y210与直线xy50的交点，且在y轴上的弦长为233的圆的方

程是．

【答案】x2y22x4y290或x2y226x24y1110

【解析】方法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0D2E24F0，该圆与y轴的交点坐标分

别为0,p1，0,p2．

2

在圆方程中，令x0得yEyF0，则p1p2E，p1p2F，则

22．

p1p2p1p24p1p2E4F233

xy50,x12,x24,

联立22，解得或则点2,3，4,1在所求圆上，

xy8x6y210y13y21.

492D3EF0,D2,D26,

12

所以1614DEF0,解得E14,或E224,

2F29F111.

E4F233,12

故所求圆的方程为x2y22x4y290或x2y226x24y1110．

方法二：设所求圆的方程为x2y28x6y21kxy50，

且与y轴交点的纵坐标为y1,y2，

令x0得y26y21ky50，化简得y2k6y215k0，

所以y1y2k6，y1y25k21，

22

由y1y2233两边平方得y1y24y1y2132，所以k645k21132，

化简得k28k1800，解得k10或k18．

检验知两个k值都符合题意，

所以所求圆的方程为x2y28x6y2110xy50，

或x2y28x6y2118xy50，

即x2y22x4y290或x2y226x24y1110．

故答案为：x2y22x4y290或x2y226x24y1110．

【变式2-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知点A(5,0)，点B，C是直线x1与圆x2y25的交点，则

经过点A，B，C的圆的方程是．

【答案】x2y25x0

【解析】因点B，C是直线x1与圆x2y25的交点，

则设过B，C的圆的方程为：x2y25x10，代入A(5,0)，

则255405，则过过点A，B，C的圆的方程是：

x2y255x10x2y25x0.

故答案为：x2y25x0

2222

【变式2-3】圆C经过点(0,1)，且经过两圆C1:xy4x30和圆C2:xy4y30的交点，则圆C

的方程为．

【答案】x2y26x2y30

222222

【解析】设圆C的方程为：xy4x3xy4x3xy4y30，

整理得到：x2y24x34yx0，

1

因为圆C过(0,1)，代入该点得到：240即，

2

故圆C的方程为：x2y24x32yx0即x2y26x2y30，

故答案为：x2y26x2y30.

考点三：与圆有关的轨迹问题

【例3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆C:x2y24，直线l过点A2,4.

(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若P为圆C上任意一点，M8,0，点Q满足PM2QM，求点Q的轨迹方程.

【解析】（1）因为2242204，所以点A在圆外，

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x2，

此时圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与圆C相切，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4kx2，即kxy2k40，

因为直线l与圆C相切，所以圆心C0,0到直线l的距离等于半径，

2k43

即2，解得k.

k214

3

所以直线l的方程为y4x2，即3x4y100.

4

综上所述，直线l的方程为x2或3x4y100.

（2）设Qx,y,Px0,y0，M8,0，则PM8x0,y0,QM8x,y.

8x028xx02x8

因为，所以，即.

PM2QM

y02yy02y

2222

又因为点Px0,y0在圆C：xy4上，所以x0y04.

x02x82222

将代入x0y04可得(2x8)(2y)4，

y02y

整理得(x4)2y21，即点Q的轨迹方程为(x4)2y21.

【变式3-1】（2025·高二·北京·月考）已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1:x2y70相切，过点B(2,0)

的动直线l与圆A相交于M、N两点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|219时，求直线l的方程；

(3)若P为圆A上的动点，求线段BP的中点T的轨迹方程．

【解析】（1）因为以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1:x2y70相切，

147

所以圆的半径为点A(1,2)到直线l1:x2y70的距离，即r25，

5

22

所以圆A的方程为x1y220

（2）设圆心A(1,2)到过点B(2,0)的动直线l的距离为d，

由（1）知r25，

2

MN

因为MN219，故r2d2，所以d1

2

当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，

此时圆心A(1,2)到l的距离为1，满足题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为ykx2

k22k3

此时圆心到直线l的距离为d1，解得k，

1k24

故直线l的方程为3x4y60.

综上，直线l的方程为3x4y60或x2

（3）根据题意设Px0,y0，线段BP的中点Tx,y，

x22xx2x2

所以根据中点公式有：0，即0，

y02yy02y

22

因为x01y0220，

2

2232

所以2x212y220，即xy15

2

2

32

所以线段BP的中点T的轨迹方程为xy15.

2

【变式3-2】（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点A1,0和B1,2，且圆心在直线l：xy10

上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若线段CD的端点D的坐标是4,3，端点C在圆P上运动，求CD的中点M的轨迹方程，并指出它的轨

迹是什么图形.

【解析】（1）设圆心的坐标为Pt,t1，

2222

则有t1t1t1t3，

整理求得t1，故圆心为1,0，

22

半径r满足r211114，

2

则圆P的方程为x1y24.

（2）设线段CD中点Mx,y，Cx1,y1，

由D4,3可知x12x4，y12y3，

222

∵点C在圆x1y24上运动，∴2x412y34，

22

33

∴M的轨迹方程为xy1.

22

33

∴M的轨迹是以,为圆心，1为半径的圆.

22

【变式3-3】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆C过A(2,2),B(6,0)，且圆心在直线xy40上.

(1)求圆C的方程；

1

(2)若点P的坐标是(6,0)，点Q是圆C上的一个动点，点M满足PMPQ，求点M的轨迹方程，并说明

3

轨迹的形状.

【解析】（1）设圆C的圆心为(a,b)，半径为r，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，

因为圆心在直线xy40上，因此ab40，即ba4，圆心可表示为(a,a4)，

因为圆经过A(2,2)和B(6,0)，则圆心到A、B的距离相等，由距离公式得：

(a2)2(a42)2(a6)2(a40)2

解得a3，代入ba4，得b1，即圆心为(3,1)，

半径r(32)2(12)21910，

22

因此，圆C的方程为x3y110；

22

（2）设M(x,y),Q(x0,y0)，则(x03)(y01)10，

11

由PMPQ，其中P(6,0)，则向量关系为：(x6,y0)(x6,y0)，

3300

1

x6(x6)

30

即，

1

yy

30

x03(x6)63x12

解此方程组，用x,y表示x0,y0：，

y03y

2222

代入圆C的方程(x03)(y01)10，得：(3x123)(3y1)10，

2

2110

化简得：(x5)y.

39

2

2110110

所以点M的轨迹方程为x5y，其轨迹为以(5,)为圆心，为半径的圆.

3933

考点四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

【例4】（2025·高二·广西河池·月考）方程x2y22x4ym0表示一个圆，则m的取值范围是（）

A．(5,)B．(,5]C．[5,)D．(,5)

【答案】D

【解析】由x2y22x4ym0，

得(x1)2(y2)25m0，

解得m5.即m的取值范围是(,5).

故选：D.

【变式4-1】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（）

A．x2y22x4y60

B．x2xyy250

C．x2y22ax2by0a,bR

D．x2y22x4y60

【答案】A

22

【解析】对于A，因为x2y22x4y60等价于x1y211，表示圆，故A符合题意；

对于B，x2xyy250含xy项，不表示圆，故B不符合题意；

对于C，x2y22ax2by0a,bR，易知ab0时，不表示圆，故C不符合题意；

对于D，x2y22x4y60，D2E24F22424640，不表示圆，故D不符合题意．

故选：A．

【变式4-2】（2025·高二·福建三明·期中）已知方程x2y24x2y5m0表示圆，则实数m的取值

范围是（）

A．m1B．m1

C．m1D．m1

【答案】B

2

【解析】由题意可知，42245m0，即2020m0，解得m1.

故选：B.

【变式4-3】（2025·高二·广东江门·月考）已知方程x2y22x3ym0表示圆，则实数m的取值

范围是（）

131313

A．3,B．,C．,D．3,

444

【答案】B

2

222313

【解析】方程xy2x3ym0，即x1ym，

24

因为方程x2y22x3ym0表示圆，

131313

所以m0，解得m，即实数m的取值范围是,.

444

故选：B.

考点五：点与圆的位置关系判断

【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知直线l:ykx1，圆C:(x1)2y24，则直线l与圆C位置关系

为（）

A．相离B．相交C．相切D．不确定

【答案】B

【解析】由直线l：ykx1，可知直线l过定点A0,1，

由圆C：(x1)2y24，可知圆心C1,0，半径为2，

则AC(1)21222，

所以点A在圆C的内部，所以直线l与圆C相交.

故选：B.

【变式5-1】（2025·高二·江苏盐城·期中）点P(m,2)与圆(x1)2(y1)28的位置关系为（）

A．点在圆内B．点在圆上

C．点在圆外D．与m的值有关

【答案】C

222

【解析】m121m198，

P(m,2)在圆(x1)2(y1)28外，

故选：C.

【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）设a,bR，若直线axby4与圆x2y24相交，则点Pa,b

与圆的位置关系是（）

A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定

【答案】B

【解析】因直线axby4与圆x2y24相交，

4

则圆心(0,0)到axby40的距离d2，化简得a2b22，

a2b2

即动点Pa,b的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧），

故点Pa,b在圆x2y24的外面.

故选：B.

【变式5-3】（2025·高二·山东济宁·期中）“点1,2在圆x2y2ax2ya2150外部”是“a3，

或a2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为点1,2在圆x2y2ax2ya2150外，

2228383

a24a150a

所以，解得，

2233

12a4a2150

a3或a2

8383

所以a3或2a，

33

8383

所以a的取值范围为a3或2a，

33

“点1,2在圆x2y2ax2ya2150外部”是“a3，或a2”的充分不必要条件.

故选：A.

考点六：数形结合思想的应用

【例6】（2025·高二·辽宁·期中）若直线l:kxy3k10与曲线C:4x2y1有两个不同的交点，

则实数k的取值范围是（）

252525

A．0,B．,00,

555

25251225

C．,D．,20,

5455

【答案】D

【解析】由l:kxy3k10可得kx3y10，

即直线l过定点A3,1，

2y1,y1

由C:4x2y1可得4x，

y1,y1

22

即x2y14y1或x2y14y1，

作直线l与曲线C的图像，

3k2525

由圆心0,1到直线l的距离2可得k或k（舍去），

1k255

2512

即切线AC的斜率k，同理可得kAD，

AC55

11

又E2,1,B2,1，所以k2，k0,

AE23AB

2512

由图象可知，当0k或k2时，直线与曲线C有2个交点，

55

故选：D

2

【变式6-1】（2025·高二·北京·期中）已知直线ykxk1与曲线y4x2有两个交点，则k

的取值范围为（）

326326326

A．1,B．,

555

326326

C．1,D．1,

55

【答案】A

22

【解析】y4x2，即x2y24y0，圆心为2,0，

直线ykxk1过定点1,1，

3k1

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d2，

1k2

326326

解得k或k（舍），

55

当直线过原点和定点1,1的斜率为1，

326

结合图像可知k的取值范围为1,．

5

故选：A．

【变式6-2】（2025·高二·辽宁·月考）若直线l:ykx3k与曲线C:y1x2恰有两个交点，则实

数k的取值范围是（）

3334343

A．,B．,C．,D．,

4423232

【答案】D

【解析】因为l:ykx3kkx13，可知直线l过定点Q1,3，

22

由曲线C:y1x2，两边平方得xy1y0，

则曲线是以C0,0为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），

当直线过点A1,0时，直线l与曲线有两个不同的交点，

3

此时0k3k，解得k=，

2

当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，

|3k|4

圆心C0,0到直线l:ykx3k的距离d1，解得k，

1k23

要使直线l:ykx3k与曲线C:y1x2恰有两个交点，

43

则直线l夹在两条直线之间，因此k，

32

43

即实数k的取值范围为,.

32

故选：D.

【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知圆O：x2y29，直线l：y1，将圆O在l下方的

部分沿着l向上翻折，如图，若直线xym0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（）

35

A．B．2C．D．3

22

【答案】B

【解析】由题意知圆O与l交于B，C两点，且B22,1，C22,1，

当直线xym0过点B22,1时，得m122，

2

由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2y29，

m2

当xym0与劣弧BC相切时，有3，所以m322，其中m322舍去，

2

结合图形可知，当122m322时，直线xym0与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题

意.

故选：B.

考点七：与圆有关的对称问题

22

【例7】圆x1y24关于直线axy10对称，则a．

【答案】3

【解析】由题意得直线axy10过圆心1,2，代入直线方程有a210，

解得a3，

故答案为：3．

【变式7-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）圆x2y22x6y10关于直线axby30a0,b0

13

对称，则的最小值是

ab

16

【答案】

3

【解析】由x2y22x6y10可得标准方程为(x1)2(y3)29，即圆心为1,3，

因为该圆关于直线axby30对称，则直线经过圆心1,3，

a

即a3b30，整理得b1a0,b0，

3

13a1311313a3b13a3b16

则ba3b19102，

ab3ab3ab3ba3ba3

3b3a31316

当且仅当即a=b=时，等号成立，所以的最小值是.

ab4ab3

16

故答案为：

3

14a1

【变式7-2】若圆x2y22ax2y10关于直线xby20对称，其中a0，b0，则的最

ab

小值为.

【答案】4

22

【解析】由x2y22ax2y10，得xay1a22，其圆心为a,1，

因为该圆关于直线xby20对称，

所以直线xby20过圆心，即ab2，

14a1142b119

所以=4，

ababab

191191b9a1b9a

由ab101028，

ab2ab2ab2ab

1

b9aa

2

当且仅当ab，即时，等号成立，

3

ab2b

2

14a119

所以=4844，

abab

14a1

故的最小值为4.

ab

故答案为：4

【变式7-3】（2025·高二·北京·期中）已知圆C：x2y22x4y10与直线l：ykx1，则圆

心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k.

【答案】1,21

22

【解析】圆C：x2y22x4y10，即x1y24，

所以圆心为C1,2，

若圆C关于直线l对称，则点C1,2在直线l上，即2k11，解得k1

故答案为：1,2；1

考点八：圆过定点问题

【例8】（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数a2，动圆(a2)x2(a2)y24x2a0恒过两

个定点，请写出一个定点坐标．

【答案】(1,1)或(1,1)

【解析】将原方程a2x2a2y24x2a0整理为：

ax2y222x22y24x0

因为对于任意a2，该方程恒成立，所以a的系数和常数项都必须为0，即：

x2y220

22

2x2y4x0

由第一个方程x2y22，代入第二个方程得：

224x0,x1

将x1代入x2y22，得1y22,y21,y1.

所以，定点坐标为1,1或(1,-1).

故答案为：(1,1)或(1,1)

【变式8-1】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）若圆x2y2mx5y2m0(mR)恒过两个不同的

定点A，B，则AB.

【答案】3

【解析】变形得到x2y25ymx20(mR)，

x2y25y0x2x2

令，解得或，

x20y1y4

不妨设A2,1，B2,4，

22

所以AB22143.

故答案为：3

【变式8-2】（2025·高二·河北张家口·月考）点M是直线2xy50上的动点，O是坐标原点，则以

OM为直径的圆经过定点

【答案】0,0和2,1

【解析】如图，过点O作OP垂直于直线2xy50，垂足为P，

则以OM为直径的圆过定点O和P，

1

因为直线2xy50的斜率为2，所以直线OP的方程为yx，

2

2xy50

x2

联立1，解得，即P2,1.

yxy1

2

所以以OM为直径的圆经过定点0,0和2,1.

故答案为：0,0和2,1

【变式8-3】（2025·高二·河南信阳·期中）圆x2y2mx2ym0恒过的定点是.

【答案】1,1

【解析】圆方程化为mx1x2y22y0，

x10,x1,

由22解得故圆恒过1,1点.

xy2y0,y1.

故答案为：1,1

考点九：直线与圆的位置关系的判断

【例9】（2025·高二·吉林长春·期中）已知点Pm,n在圆C:x2y24内，则直线nxmy4与圆C（）

A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能

【答案】C