小学数学比和比例课堂讲义与练习

小学数学比和比例课堂讲义与练习同学们，在我们的日常生活中，经常会遇到需要比较数量多少或者按一定标准分配东西的情况。比如，调制一杯蜂蜜水，蜂蜜和水的用量；又如，将一些糖果按照一定的份额分给几个小朋友。这些问题都与我们今天要学习的“比和比例”密切相关。掌握了比和比例的知识，就能帮助我们更清晰、更合理地解决这些问题。一、比的认识（一）比的意义我们先来思考一个问题：如果有两个苹果和四个梨，苹果的数量和梨的数量之间有什么关系呢？我们可以说苹果比梨少两个，或者梨比苹果多两个，这是比较它们的相差关系。我们还可以换一种角度，看苹果数量是梨数量的几分之几，或者梨数量是苹果数量的几倍。这种比较两个数量之间的倍数关系，就可以用“比”来表示。比的定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。例如，上面例子中，苹果数量是2，梨数量是4。苹果数量与梨数量的比是2比4，写作2:4；梨数量与苹果数量的比是4比2，写作4:2。在一个比中，“:”是比号。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比如，在2:4这个比中，2是前项，4是后项，比值就是2÷4=0.5（或1/2）。注意：1.比是表示两个数之间的一种关系，它不是一个具体的数，但比值是一个数（可以是整数、分数或小数）。2.比的后项不能是0，因为除数不能为0。3.两个数相比，它们的前后位置不能随意颠倒，否则表示的意义就不同了。（二）比的基本性质我们学过除法中商不变的性质和分数的基本性质，那么比有没有类似的性质呢？请同学们计算一下：6:8=6÷8=3/43:4=3÷4=3/412:16=12÷16=3/4我们发现6:8=3:4=12:16。这是为什么呢？6:8的前项和后项同时除以2，就得到了3:4；3:4的前项和后项同时乘以4，就得到了12:16。比值都没有改变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用比的基本性质，我们可以把比化成最简单的整数比。最简整数比：是指比的前项和后项都是整数，并且这两个整数是互质数（即它们的最大公因数是1）。化简比的方法：1.如果前项和后项都是整数，先找出它们的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。例如：18:24=(18÷6):(24÷6)=3:42.如果比的前项或后项是分数或小数，可以先将它们转化为整数比，再进行化简。例如：0.7:0.8=(0.7×10):(0.8×10)=7:81/3:2/5=(1/3×15):(2/5×15)=5:6（15是3和5的最小公倍数）（三）比与分数、除法的关系比、分数和除法之间有着密切的联系，但也有区别。比前项比号(:)后项(不能为0)比值(表示两个数的关系):-------:---------:-------:-------------:----------------------分数分子分数线(-)分母(不能为0)分数值(表示一个数)除法被除数除号(÷)除数(不能为0)商(表示运算结果)例如：3:5=3/5=3÷5二、比例的认识（一）比例的意义我们已经知道，两个比相等，可以写成等式。比如，1:2和2:4，它们的比值都是0.5，所以1:2=2:4。比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如，在比例1:2=2:4中，1和4是外项，2和2是内项。再如，在比例6:8=3:4中，6和4是外项，8和3是内项。（二）比例的基本性质观察上面的比例6:8=3:4，我们计算一下两个外项的积和两个内项的积：外项积：6×4=24内项积：8×3=24我们发现：外项积等于内项积。再看一个比例：3:5=9:15外项积：3×15=45内项积：5×9=45同样，外项积等于内项积。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a:b=c:d（b、d都不等于0），那么根据比例的基本性质可以写成：ad=bc。比例的基本性质非常重要，它是我们判断两个比能否组成比例、解比例的依据。（三）解比例根据比例的基本性质，如果我们知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。解比例的方法：1.根据比例的基本性质，把比例式转化为外项积等于内项积的等式。2.再通过解方程求出未知项的值。例如：解比例3:x=6:8解：根据比例的基本性质，6x=3×86x=24x=24÷6x=4三、比和比例的应用（一）按比例分配在日常生活中，我们常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配方法叫做按比例分配。解决按比例分配问题的一般步骤：1.先求出总份数。2.再求出各部分数量占总数量的几分之几。3.最后根据分数乘法的意义，用总数量乘以各部分所占的分率，求出各部分数量。例如：学校把一批树苗按3:2的比例分给五、六年级种植，已知这批树苗一共有100棵，五、六年级各分得多少棵？分析：总份数：3+2=5（份）五年级分得总数的3/5，六年级分得总数的2/5。五年级：100×3/5=60（棵）六年级：100×2/5=40（棵）答：五年级分得60棵，六年级分得40棵。（二）比例尺比例尺的意义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺=图上距离:实际距离或比例尺=图上距离/实际距离比例尺通常有两种表示形式：1.数值比例尺：如1:1000或1/1000，表示图上1厘米代表实际距离1000厘米（即10米）。2.线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段的长度代表实际距离多少。例如，地图上常见的线段比例尺，表示图上1厘米代表实际距离50千米。注意：*比例尺是一个比，它表示两个量之间的倍数关系，不能带计量单位。*在计算时，图上距离和实际距离的单位要统一。例如：在一幅比例尺是1:2000的地图上，量得一个长方形操场的长是6厘米，宽是3厘米。这个操场的实际面积是多少平方米？分析：实际长：6×2000=____（厘米）=120（米）实际宽：3×2000=6000（厘米）=60（米）实际面积：120×60=7200（平方米）答：这个操场的实际面积是7200平方米。（三）正反比例的初步认识（简单介绍）当两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化：*如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例如：速度一定时，路程和时间成正比例。*如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例如：路程一定时，速度和时间成反比例。（注：正反比例的详细学习和应用通常在更高年级，此处作为初步概念引入，帮助学生建立联系。）四、巩固练习（一）基础巩固1.填空：（1）六年级（1）班有男生25人，女生20人。男生人数与女生人数的比是（）:（），比值是（）；女生人数与全班人数的比是（）:（）。（2）把10:15化简成最简整数比是（）:（），比值是（）。（3）在比例4:5=12:15中，（）和（）是外项，（）和（）是内项，外项积是（），内项积是（）。（4）根据比例的基本性质，若a:3=b:4，则3b=（）。2.判断对错：（1）比的前项和后项都乘或除以相同的数，比值不变。（）（2）比值是0.5的比只有一个。（）（3）表示两个比相等的式子叫做比例。（）（4）在比例里，两个内项的积减去两个外项的积，差是0。（）3.化简下面各比，并求出比值：（1）18:27（2）0.5:0.25（3）2/3:4/54.解比例：（1）x:2=9:3（2）3:8=15:x（3）x/4=6/8（二）能力提升5.一个三角形三个内角度数的比是1:2:3，这个三角形三个内角分别是多少度？它是什么三角形？6.一种药水是用药粉和水按1:100配制成的。现有药粉5千克，需要加水多少千克？配成这种药水多少千克？7.在一幅比例尺是1:____的地图上，量得甲、乙两地的距离是8厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？（三）拓展思考8.甲、乙两个数的比是3:4，乙数减甲数得10，甲、乙两数各是多少？9.一块长方形的地，长和宽的比是5:3，周长是64米，这块地的面积是多少平方米？五、课堂小结今天我们一起学习了比和