2025年北京市数学（文科）高起专试题含答案

2025年北京市数学（文科）高起专试题含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=x²2x+1在区间（a，b）上单调递增，则a和b满足的条件是（）

A.a<b≤1

B.a≥1

C.a≤1<b

D.a<b≥1

答案：A

解析：函数f(x)=x²2x+1的导数为f'(x)=2x2。令f'(x)=0，得x=1。当x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，在区间（a，b）上，a<b≤1。

2.已知函数f(x)=x³3x+1，则f(x)的极值点为（）

A.x=1

B.x=1

C.x=1和x=1

D.无极值点

答案：C

解析：求导得f'(x)=3x²3。令f'(x)=0，得x=1和x=1。当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=1和x=1处取得极值。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n1

B.an=3n2

C.an=n+2

D.an=2n+1

答案：B

解析：设首项为a1，公差为d，则有S3=3a1+3d/2=9，S6=6a1+15d/2=27。解得a1=1，d=2。因此，an=a1+(n1)d=3n2。

4.若矩阵A=2x13，B=12，且AB=BA，求x的值。（）

2

4

A.x=2

B.x=1

C.x=0

D.x=3

答案：B

解析：由AB=BA，得(2x1)2+31=12+24，解得x=1。

5.设函数g(x)=x²4x+3，求不等式g(x)<0的解集。（）

A.(∞,1)

B.(1,3)

C.(∞,3)

D.(1,+∞)

答案：B

解析：因式分解得g(x)=(x1)(x3)。不等式g(x)<0的解集为1<x<3。

6.若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且a²+b²=2c²，则cosA的值为（）

A.1/2

B.√2/2

C.1/√2

D.√3/2

答案：B

解析：由余弦定理得cosA=(b²+c²a²)/(2bc)=(2c²a²+c²)/(2bc)=(3c²a²)/(2bc)=√2/2。

7.若函数f(x)=2x+3是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a≥0

C.a<0

D.a≤0

答案：B

解析：由于f(x)=2x+3是单调递增函数，所以其导数f'(x)=2>0。因此，a≥0。

8.若函数g(x)=x²+2x+3的最小值为m，则m的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：函数g(x)=x²+2x+3可以写成g(x)=(x+1)²+2。最小值发生在x=1处，此时m=2。

9.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a3=12，a6=48，求a1的值。（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：B

解析：由等比数列的性质，a3=a1q²，a6=a1q⁵。将a3=12和a6=48代入，得a1q²=12，a1q⁵=48。解得a1=4，q=2。

10.若sinθ=1/2，且0°<θ<90°，则cosθ的值为（）

A.√3/2

B.1/√2

C.√2/2

D.1/2

答案：A

解析：由sinθ=1/2，且0°<θ<90°，得cosθ=√(1sin²θ)=√(11/4)=√3/2。

二、填空题（每题4分，共40分）

1.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n1，求该数列的前10项和。

答案：100

解析：首项a1=1，公差d=2。前10项和S10=10/2(a1+a10)=10/2(1+19)=100。

2.若函数f(x)=x²4x+3在区间（a，b）上单调递减，求a和b的取值范围。

答案：a<b≤2

解析：函数f(x)=x²4x+3的导数为f'(x)=2x4。令f'(x)=0，得x=2。当x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，a<b≤2。

3.若矩阵A=3x+21，B=45，且AB=BA，求x的值。

4

x

答案：x=1

解析：由AB=BA，得(3x+2)4+1x=34+5x，解得x=1。

4.若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且cosA=1/2，求sinB的值。

答案：√3/2

解析：由cosA=1/2，得sinA=√(1cos²A)=√(11/4)=√3/2。因为A、B、C为三角形内角，所以sinB=sin(180°AC)=sin(180°A)=sinA=√3/2。

5.若函数g(x)=x²2x+5在区间（a，b）上取得最大值，求a和b的取值范围。

答案：a≤1<b

解析：函数g(x)=x²2x+5可以写成g(x)=(x1)²+4。最大值发生在x=1处，因此a≤1<b。

三、解答题（每题20分，共40分）

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=27，求该数列的通项公式。

答案：an=3n2

解析：设首项为a1，公差为d，则有S3=3a1+3d/2=9，S6=6a1+15d/2=27。解得a1=1，d=2。因此，an=a1+(n1)d=3n2。

2.解不等式组：