初中七年级数学（苏科版）上册“图形的运动”复习知识清单

初中七年级数学（苏科版）上册“图形的运动”复习知识清单

一、图形的运动全息透视：核心概念与思想方法

（一）图形的运动：空间观念形成的基石【基础】【核心素养】

图形的运动是研究几何图形在平移、旋转、翻折等变换下，其形状、大小、位置关系变化规律的学科分支。在七年级上册，本专题是连接静态几何与动态几何的桥梁，是从直观认识图形向初步逻辑推理过渡的关键环节。其核心在于通过操作、观察、想象、归纳，理解运动过程中的“变”与“不变”，进而发展空间观念、几何直观和推理能力。它不仅是后续学习全等、相似、函数图象变换等知识的基础，更是解决现实生活中图案设计、物体摆放、路径最短等实际问题的理论工具。

（二）主要思想方法【学科素养】【难点突破】

1.变换思想：将复杂图形视为简单图形经过一系列运动复合而成，或将分散的条件通过运动“聚合”到一起，从而发现新关系、找到解题路径。

2.分类讨论思想：当图形运动的方式或结果不确定时（如绕某点旋转，方向不同；翻折时对应点位置不同），需分情况讨论，保证结论的完备性。

3.逆向思维：已知运动后的图形，反推其运动前的状态，或追溯图形之间的“血缘”关系，这对于图案分析和还原问题尤为重要。

4.模型思想：将生活情境中的物体运动抽象为点、线、面的几何运动模型，利用几何性质解决实际问题，如最短路径问题通常转化为轴对称模型。

二、知识图谱与深度解析

（一）图形的平移【高频考点】【基础】

1.概念精析【重要】：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。平移由两个要素决定：平移的方向和平移的距离。平移不改变图形的形状、大小和自身定向（即图形上各点的排列顺序和角度不变）。

2.性质挖掘【核心】：

[1]平移前后的两个图形全等（对应线段、对应角分别相等）。

[2]对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

[3]对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

3.平移作图【基本技能】：

（1）确定基本图形；（2）确定平移方向和平移距离；（3）找出关键点；（4）沿指定方向，按指定距离作出各关键点的对应点；（5）顺次连接对应点。

4.常见考向与解题要点：

（1）识别平移现象：判断现实生活中的实例（如电梯升降、传送带上的物体、抽屉推拉）是否为平移。

（2）补全平移图形：根据已知部分图形和平移方式，补全整个图形。解题关键是准确找出关键点的对应点。

（3）利用平移性质求线段长度或角度【高频考点】：已知平移前后图形，求某条线段的长或某个角的大小。通常利用“对应线段相等”或“对应点连线相等”进行等量转化。

（4）平移与坐标【初步渗透】：在网格背景下，描述平移时，通常说“向右（左）平移a格，向上（下）平移b格”。点的坐标变化规律为：左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）。

（5）平移与周长、面积问题【难点】【热点】：计算平移过程中扫过的区域面积或组合图形的周长。常需将不规则图形通过平移“拼接”成规则图形（如长方形、正方形）来求解。

例：求一个三角形沿一边方向平移后，其一边扫过的区域面积。该区域通常是一个平行四边形，其面积等于底（平移距离）乘以高（原三角形该边上的高）。

5.易错警示：

（1）混淆平移方向：特别是斜向平移，要明确由方向和距离共同决定。

（2）性质应用不全：误以为只有对应线段相等，忽略对应点连线也相等且平行。

（3）在网格图中，混淆平移格数与坐标变化的对应关系。

（二）图形的旋转【高频考点】【重点】

1.概念精析【重要】：在平面内，将一个图形绕一个定点（或定轴）转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。旋转由三个要素决定：旋转中心、旋转方向和旋转角度。旋转不改变图形的形状和大小。

2.性质挖掘【核心】：

[1]旋转前后的两个图形全等。

[2]对应点到旋转中心的距离相等。

[3]每对对应点与旋转中心连线所成的角都是旋转角，它们彼此相等。

3.旋转作图【基本技能】：

（1）确定基本图形、旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度；（2）找出关键点；（3）连接关键点与旋转中心；（4）以旋转中心为顶点，以该连线为一边，按指定方向作角，使其等于旋转角；（5）在所作角的另一边上截取长度等于关键点到旋转中心距离的点，得到关键点的对应点；（6）顺次连接对应点。

4.常见考向与解题要点：

（1）识别旋转现象：钟表指针、风车、电风扇叶片、开关门等。

（2）确定旋转三要素【基础】：根据两个图形的位置关系，找出旋转中心（对应点连线的垂直平分线交点）、旋转方向、旋转角度（对应点与中心连线夹角）。

（3）利用旋转性质求角度或线段长【高频考点】：题目通常给出一个三角形或四边形旋转一定角度后，求某条边与旋转前某边的夹角，或求某条线段的长度。解题关键在于利用旋转前后的全等关系，将未知量转化到已知图形中。

（4）旋转与等边三角形、等腰直角三角形【综合应用】：题目常将特殊三角形（如等边三角形、等腰直角三角形）绕一个顶点旋转，构造全等三角形，从而证明线段相等或角相等。这是几何证明的常用技巧。

（5）旋转中心的确定【难点】：已知一对或几对对应点，如何找到旋转中心？方法是作任意两对对应点所连线段的垂直平分线，其交点即为旋转中心。

5.易错警示：

（1）忽略旋转方向：旋转有顺时针和逆时针之分，作图时务必明确。

（2）对旋转角理解偏差：误以为某个显见的角就是旋转角，必须是由对应点与旋转中心连线构成的角。

（3）作图时长度截取错误：对应点到旋转中心的距离必须相等，这是保证全等的关键。

（4）混淆旋转与中心对称：中心对称是旋转的一个特例（旋转角180°），但性质有共通也有区别。

（三）图形的翻折（轴对称）【高频考点】【重点】

1.概念精析【重要】：在平面内，将一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形运动叫做图形的翻折，这条直线叫做对称轴。翻折前后的两个图形关于这条直线成轴对称。翻折不改变图形的形状和大小。

2.性质挖掘【核心】：

[1]翻折前后的两个图形全等。

[2]成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。

[3]对应线段相等，对应角相等。

[4]对称轴是对应点连线的垂直平分线。

3.轴对称图形与轴对称的区别与联系【基础辨析】：

（1）区别：轴对称图形指的是一个具有特殊形状的图形，对称轴可能不止一条；轴对称指的是两个图形之间的位置关系，只有一条对称轴。

（2）联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称。

4.常见考向与解题要点：

（1）识别轴对称图形与轴对称现象【基础】：判断常见图形（如线段、角、等腰三角形、矩形、圆等）是否为轴对称图形，并找出对称轴条数。

（2）利用翻折性质求角度、线段长【高频考点】：折叠问题是中考的热点，常将矩形、三角形的一角折叠，使顶点落在某处。解题关键是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等，以及对称轴垂直平分对应点连线。

（3）补全轴对称图形【基本技能】：根据对称轴和图形的一半，画出另一半。方法是作出关键点关于对称轴的对称点（过关键点作对称轴的垂线并延长一倍），然后顺次连接。

（4）轴对称与最短路径问题【经典模型】【难点】：“将军饮马”问题是其典型代表。在直线同侧有两点，在直线上找一点，使其到两点距离之和最小。方法是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。其原理是“两点之间线段最短”及轴对称性质（转化路径）。

（5）设计轴对称图案【实践应用】：利用轴对称的性质，设计美丽、和谐的图案。

5.易错警示：

（1）混淆轴对称图形与轴对称的定义。

（2）找对称轴时遗漏或错找，特别是对于组合图形。

（3）在折叠问题中，未能准确找出对应线段和对应角，导致等量关系错误。

（4）解决最短路径问题时，不理解作对称点的原理，死记硬背。

（四）三种运动的综合辨析与复合【难点】【拓展】

1.区别与联系一览：

（1）相同点：三种运动都属于刚体运动，即变换前后图形的形状、大小均不改变，图形全等。

（2）不同点：

平移：沿直线“滑动”，方向不变，所有点位移相同。

旋转：绕定点“转动”，方向改变，各点位移路径为圆弧。

翻折：沿直线“翻转”，方向改变，对应点连线被直线垂直平分。

2.复合运动【热点】：一个图形可能先平移再旋转，或先翻折再平移，形成更复杂的位置关系。分析时需分步进行，每一步都遵循相应运动的基本性质。例如，分析一个图案的生成过程，可以说“将基本图形A向右平移2格得到B，再将B绕点O顺时针旋转90°得到C”。

3.网格中的综合运动【高频考点】：

在方格纸中，按要求对一个图形进行连续几次变换（平移、旋转、翻折），或根据最终位置反推初始变换。解题要点：

（1）看清变换顺序，一步一作图。

（2）每次变换时，明确变换三要素（平移的方向距离、旋转的中心方向角度、翻折的对称轴）。

（3）作图要规范，对应点要找准。

（4）注意旋转中心可能在图形上，也可能在图形外。

三、考点地图与应考策略

（一）考点聚焦【基于课程标准与中考真题分析】

1.基础题考点（分值占比约40%）：【基础】

（1）识别生活中的平移、旋转、翻折现象。

（2）判断常见平面图形（线段、角、三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆）的对称性，指出其对称轴。

（3）根据简单指令（如“将△ABC向右平移3格”）在网格中作出变换后的图形。

（4）已知一个图形和它的运动后图形，说出运动方式（平移、旋转、翻折）和关键要素。

2.中档题考点（分值占比约45%）：【重要】

（1）利用平移性质求线段长或图形面积（如平移过程中扫过的面积）。

（2）利用旋转性质求角度或线段长，常与三角形内角和、外角性质结合。

（3）利用翻折（折叠）性质求角度或线段长，常与勾股定理结合（后续学习，七年级侧重简单计算）。

（4）在网格或坐标系中，描述一个图形经过一次或两次变换后的位置变化，或根据要求完成复合变换作图。

（5）确定旋转中心、旋转角度，或找出翻折的对称轴。

3.综合与拓展题考点（分值占比约15%）：【难点】【高频考点】

（1）图形的运动与线段最值问题：利用轴对称解决“将军饮马”型最短路径问题，或利用平移解决“造桥选址”型问题。

（2）图形的运动与探索规律：通过观察一组图形按某种运动规律（平移、旋转、轴对称）排列，探究其变化规律，预测后续图形。

（3）图形的运动与方案设计：利用运动变换设计图案，或解决实际生活中的最短路径选择、场地布置等问题。

（4）动态几何问题的初步探究：一个图形在运动过程中，探究某些量（如线段长度、角的大小、图形面积）的变化规律或是否存在不变的关系。

（二）解题步骤与技巧规范

1.审题三部曲：

（1）圈定对象：明确运动的主体是什么图形（点、线段、角、三角形等）。

（2）识别运动：判断题目涉及哪种（或哪几种）运动方式，运动的三要素是否明确。

（3）明确目标：题目要求我们求什么（角度、长度、作图、证明）？条件是什么？

2.解题五步法：

（1）静态入手：先分析原图形（运动前的图形）的已知条件（边长、角度）。

（2）动态想象：根据运动方式，在脑海中或草稿纸上想象图形运动后的位置，或画出草图。

（3）标记等量：根据运动性质，在图上标记出变换前后相等的线段、相等的角、平行的关系、垂直的关系。

（4）建立联系：将所求量与已知量通过标记的等量关系联系起来，必要时引入辅助线（如连接对应点、连接对称点与中心等）。

（5）计算求解：运用代数运算（加减乘除）或简单几何推理（如等量代换、三角形内角和）得出结果。

3.折叠问题破解秘籍【重要】：

（1）折痕即对称轴，是对应点连线的垂直平分线。

（2）折叠前后的图形全等，所以对应边相等，对应角相等。

（3）折叠后落点的位置往往是解题关键，常通过连接对应点构造出等腰三角形或直角三角形（后续可用勾股定理）。

（4）注意挖掘折叠后形成的新的特殊图形或特殊关系（如平行线、角平分线）。

4.旋转问题破解秘籍【重要】：

（1）旋转中心是“不动点”，所有旋转都围绕它进行。

（2）旋转角相等，即∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角度。

（3）对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA',OB=OB',OC=OC'。

（4）旋转往往可以“聚拢”条件：当图形中条件分散时，尝试将某个三角形旋转一个角度，使分散的条件集中到同一个三角形中。

5.最短路径问题破解秘籍【难点】：

（1）识别模型：是“两定点一动点”在直线上（将军饮马）？还是“两定点两动点”在两条平行线上（造桥选址）？

（2）转化思想：通过作对称点或平移，将折线路径转化为直线路径。

（3）理论依据：“两点之间，线段最短”及“垂线段最短”。

（4）关键步骤：确定对称点或平移方式，画出转化后的路径，确定动点位置。

（三）易错点与避坑指南【警示】

1.审题不清，运动方式判断错误：例如，将旋转误认为平移，将翻折误认为旋转。

2.性质记忆混淆：如平移中对应点连线相等且平行，旋转中对应点到中心距离相等，翻折中对应点连线被对称轴垂直平分，这些性质不能张冠李戴。

3.对应点找错：在较复杂图形中，未能正确找到关键点的对应点，导致后续全等关系出错。

4.旋转中心、方向、角度考虑不全：特别是旋转方向，题目未指明时需考虑顺时针和逆时针两种可能（分类讨论思想）。

5.折叠问题中对应关系混乱：图形折叠后，点、线、角的位置发生变化，容易找错哪条边和哪条边相等，哪个角和哪个角相等。

6.网格作图不规范：连线不直、点不精确、方向偏移，导致失分。

7.计算粗心：角度计算时忘记三角形内角和180°，线段计算时单位不统一或加减错误。

四、经典题型与精析范例

（一）平移类典型题

例1：【基础】如图，在5×5的方格纸中，将图1中的三角形甲平移到图2中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么下面的平移方法中，正确的是（）

A.先向下平移2格，再向右平移1格

B.先向下平移2格，再向右平移2格

C.先向下平移3格，再向右平移1格

D.先向下平移3格，再向右平移2格

【分析】考查平移作图与描述。选取三角形甲的一个关键点（如下顶点），观察其移动到图2中对应点的位置。原下顶点在左下方，图2中对应点位于乙三角形的上方中间。数格可知，该点先向下移动3格，再向右移动2格。故选D。

例2：【重要】如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】考查平移性质的应用。由平移性质知，AD=BE=CF=1，AC=DF，AB=DE，BC=EF。原△ABC周长=AB+BC+AC=8。四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD。而BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。所以四边形ABFD周长=AB+(BC+1)+AC+1=(AB+BC+AC)+2=8+2=10。故选C。

（二）旋转类典型题

例3：【重要】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（）

A.60°B.75°C.85°D.90°

【分析】考查旋转性质与角度计算。由旋转性质知：△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，AB=AD。设∠BAC=∠DAE=α。∵AD⊥BC，∴在△ABC中，∠B+∠C=90°，即∠B=20°。在△ABD中，AB=AD，∴∠B=∠ADB=20°，∴∠BAD=180°-20°-20°=140°。观察图形，∠BAD=∠BAC+∠CAD，而∠DAE=∠CAD+∠CAE，即α=∠CAD+65°。又∠BAD=α+∠CAD=140°，∴∠CAD=140°-α。代入α=(140°-α)+65°，解得2α=205°，α=102.5°。计算结果与选项不符，需重新审视。

常见解法：由旋转得∠BAD=∠CAE=65°？这个结论是错误的，因为对应点与旋转中心连线所成角相等是指∠BAD和∠CAE都是旋转角吗？注意：B的对应点是D，C的对应点是E，所以旋转角应该是∠BAD和∠CAE。它们都是旋转角，应该相等！即∠BAD=∠CAE=65°。又因为AD⊥BC，在△ABC中，∠B+∠C=90°。由旋转知∠C=∠E=70°，则∠B=20°。在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-70°=90°。故选D。

【注意】这个例题的关键在于发现∠BAD和∠CAE都是旋转角，从而快速求解。避免陷入复杂方程。

例4：【难点】如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数。

【分析】本题是旋转法解题的经典。条件中的三条线段共点但分散，考虑通过旋转将其集中。将△ABP绕点B逆时针旋转60°到△CBP'位置。因为旋转60°，所以BP=BP'，且∠PBP'=60°，则△BPP'是等边三角形，所以PP'=BP=4，∠BPP'=60°。又因为旋转，P'C=PA=3。在△PCP'中，PC=5，PP'=4，P'C=3，满足勾股定理逆定理（3²+4²=5²），所以∠PP'C=90°。而∠BP'C=∠APB（旋转角相等？实际上是旋转前后的两个三角形全等，∠APB=∠CP'B）。∠CP'B=∠CP'P+∠PP'B=90°+60°=150°。所以∠APB=150°。

（三）翻折（轴对称）类典型题

例5：【重要】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置。若∠EFB=65°，求∠AED'的度数。

【分析】折叠问题。由AD∥BC，得∠DEF=∠EFB=65°（两直线平行，内错角相等）。由折叠性质知，∠D'EF=∠DEF=65°（折叠前后对应角相等）。所以∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-65°-65°=50°。

例6：【高频考点】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，交AB于D，交AC于E，求∠BCD的度数。

【分析】本题涉及垂直平分线（轴对称的一种特殊情况）。由DE垂直平分AC知，DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°（等边对等角）。在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠B=∠ACB=(180°-30°)/2=75°。∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=75°-30°=45°。

（四）最短路径（将军饮马）类典型题

例7：【难点】如图，在直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小。

【作法】（1）作点A关于直线l的对称点A'；（2）连接A'B，与直线l交于点P。点P即为所求。

【原理】对于l上任意异于P的点Q，连接AQ、A'Q、BQ。∵A、A'关于l对称，∴l垂直平分AA'，∴AQ=A'Q，AP=A'P。则AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B（三角形两边之和大于第三边），而A'B=A'P+BP=AP+BP。∴AP+BP最小。

（五）复合运动与图案分析

例8：【综合】观察图（1）和图（2）中的两个图案，分析图（2）是由图（1）中的基础图形经过怎样的运动得到的？

（图略，常见题：一个基本三角形，通过平移、旋转、轴对称得到美丽的花边或中心对称图案）

【分析】描述运动时，要准确、完整。例如：“将基本图形（1）先向右平移一个单位得到图形（2），再以图形（2）的右下顶点为旋转中心顺时针旋转90°得到图形（3）……”或者“将基本图形连续作轴对称变换”等。关键在于清晰说明每次变换的要素和顺序。

五、跨学科视野与现实应用【拓展】

1.艺术与设计：埃舍尔的镶嵌画大量运用了平移、旋转和反射（翻折）变换；中国传统的剪纸艺术、窗花图案是轴对称的完美体现；旋转对称在建筑穹顶、陶瓷纹样中随处可见。

2.物