8.2 第2课时 多边形的外角和七年级数学下册同步备课（华东师大版2024）教学设计

8.2第2课时多边形的外角和七年级数学下册同步备课（华东师大版2024）教学设计一、教材分析本节课选自华东师大版2024年七年级数学下册8.2节第2课时，是在学生已经掌握三角形内角和、多边形内角和及多边形相关概念后的后续内容，也是几何领域中“图形的性质”模块的核心知识点之一。教材编排遵循2022版数学新课标“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养要求，以学生熟悉的三角形外角为切入点，逐步拓展到四边形、五边形乃至n边形的外角和探究，注重引导学生通过动手操作、自主探究、合作交流，体会“转化”的数学思想，实现从具体图形到抽象规律的认知飞跃。本节课的学习不仅能完善学生对多边形性质的认知体系，填补“多边形外角和”的知识空白，还能为后续学习正多边形的性质、图形的镶嵌、圆的相关知识奠定基础，同时培养学生的逻辑推理能力、探究实践能力和抽象概括能力，契合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知发展特点，落实新课标中“立足基础、注重素养、强化应用”的教学理念。二、教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，立足七年级学生认知水平，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面设计教学目标，层层递进、逐步提升，实现知识传授与素养培养的有机结合。（一）学习理解1.能准确识别多边形的外角，清晰阐述多边形外角及外角和的定义，区分多边形的内角与外角，建立外角与内角的关联认知；2.掌握多边形外角和定理，明确任意多边形的外角和恒为360°，理解定理的推导逻辑，能结合具体图形复述推导过程；3.结合2022新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求，能从生活中常见的多边形图形（如自行车轮辐、五角星、正六边形地砖）中识别外角，感知外角和的实际意义。（二）应用实践1.能运用多边形外角和定理，快速求解任意多边形的外角度数、边数，解决与外角相关的基础计算题，做到步骤规范、结果准确；2.能结合多边形内角和与外角和定理，综合解决简单的几何问题（如求多边形的一个内角与一个外角的和、判断多边形的形状），提升几何运算与推理能力；3.落实“用数学的思维思考现实世界”的素养要求，能将实际问题（如设计正多边形地砖、计算多边形零件的角度）转化为数学问题，运用外角和定理求解，体现数学的应用性。（三）迁移创新1.能拓展外角和定理的应用场景，探索正多边形外角与边数的特殊关系，推导正多边形每个外角的计算公式，实现知识的迁移运用；2.能通过自主探究、小组合作，尝试用不同方法（如剪拼法、旋转法）推导多边形外角和定理，培养创新思维与探究能力；3.结合“用数学的语言表达现实世界”的要求，能清晰阐述外角和定理在实际生活中的应用原理，能自主设计简单的几何问题并运用定理求解，实现知识的灵活运用与创新表达。三、重点难点（一）教学重点1.多边形外角及外角和的定义，能准确识别多边形的外角；2.多边形外角和定理（任意多边形外角和为360°）的理解与推导过程；3.运用多边形外角和定理解决基础计算题和简单综合题，落实“教-学-评”一体化中“学”与“用”的核心要求。（二）教学难点1.多边形外角和定理的推导过程，尤其是将多边形外角和转化为周角（360°）的“转化”思想的理解与运用，突破学生对抽象推导过程的认知障碍；2.结合内角和与外角和定理，综合解决几何问题，能准确区分何时运用内角和定理、何时运用外角和定理，避免混淆；3.落实新课标核心素养要求，引导学生从实际场景中抽象出数学问题，运用外角和定理实现知识的迁移创新，培养学生的逻辑推理与创新思维。四、课堂导入立足七年级学生具象思维特点，结合生活实例，设计情境导入，激发学生学习兴趣，衔接前置知识，自然引入本节课主题，同时落实“教-学-评”一体化中“评前置”的理念，检测学生前置知识掌握情况。1.情境展示：呈现生活中常见的图形——自行车轮（正六边形轮辐）、五角星、正八边形地砖，提问：“同学们，观察这些我们生活中经常见到的图形，它们都是多边形，我们已经学习了多边形的内角和，知道三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，那这些图形的‘外角’有什么特点呢？自行车轮转动时，轮辐与地面形成的角，和我们学过的内角有什么区别？”2.前置回顾：引导学生回顾三角形外角的定义（三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角），提问：“谁能结合三角形外角的定义，尝试说说四边形的外角应该是什么样的？请上台用直尺画出一个四边形的一个外角。”（邀请2-3名学生上台画图，教师点评，检测学生对三角形外角的掌握情况，为多边形外角定义的学习铺垫）。3.导入新课：“同学们画得非常好，其实不仅三角形、四边形有外角，任意多边形都有外角，这些外角之间也存在着一个固定的规律——它们的和是一个定值。今天我们就一起来探究多边形的外角和，揭开这个定值的神秘面纱，这就是我们本节课的核心内容——多边形的外角和。”（板书课题，明确本节课学习目标，引导学生进入探究状态）。五、探究新知遵循“教-学-评”一体化理念，将探究过程拆分为三个层次，层层递进，引导学生自主探究、合作交流，落实新课标核心素养要求，同时穿插评价环节，及时检测学生探究效果，突破重点难点。整个探究过程注重“学生为主、教师为辅”，让学生在动手操作、逻辑推理中理解知识，培养能力。（一）探究一：多边形外角及外角和的定义1.自主尝试：结合三角形外角的定义，让学生自主阅读教材，尝试给四边形、五边形的外角下定义，并用直尺画出一个五边形的所有外角，小组内交流画法与定义表述，教师巡视指导，重点关注学困生的画图规范性。2.归纳总结：邀请小组代表发言，分享本组总结的多边形外角定义，教师结合学生发言进行补充、完善，最终明确：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做多边形的外角；一个多边形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等，我们通常研究的多边形外角和，是指每个顶点处取一个外角，这些外角的和。3.辨析练习（评价环节）：呈现几个易错图形（如相邻两个内角的平分线组成的角、不是由边的延长线组成的角），让学生判断是否为多边形的外角，说明理由，教师点评，强化学生对外角定义的理解，落实“学-评”结合。4.思考提问：“每个多边形的外角与它相邻的内角之间有什么关系？”（引导学生发现：多边形的一个外角与它相邻的内角互补，和为180°），为后续定理推导铺垫，培养学生的逻辑思维。（二）探究二：多边形外角和定理的推导本环节是本节课的难点，结合2022新课标“用数学的思维思考现实世界”的要求，引导学生通过动手操作、小组合作，运用“转化”思想，将多边形外角和转化为周角，自主推导定理，教师适时引导、点评，突破难点。1.动手操作（以四边形为例）：给每位学生发放一张四边形纸片，引导学生按以下步骤操作：①画出四边形的每个顶点处的一个外角（共4个）；②用剪刀将这4个外角剪下来；③将这4个外角的顶点重合，拼在一起，观察拼成的图形是什么形状。2.小组交流：让学生在小组内分享自己的拼剪结果，讨论：“拼成的图形是什么？由此可以得出四边形的外角和是多少度？”（学生不难发现，4个外角拼成一个周角，周角是360°，因此四边形外角和是360°），教师巡视，参与小组讨论，引导学生思考拼剪过程的合理性。3.逻辑推导（教师引导，学生口述）：结合拼剪结果，引导学生用逻辑推理的方法推导四边形外角和：第一步：四边形的每个内角与它相邻的外角互补，即每个内角+相邻外角=180°；第二步：四边形有4个内角和4个外角，因此4个内角+4个外角=4×180°=720°；第三步：我们已经知道四边形内角和是360°（前置知识），因此四边形外角和=720°-四边形内角和=720°-360°=360°。4.拓展延伸：引导学生用同样的方法，推导三角形、五边形的外角和，小组分工合作，分别推导，然后分享推导过程与结果，教师点评、总结，引导学生发现：无论三角形、四边形、五边形，它们的外角和都是360°。5.归纳定理（评价环节）：邀请学生自主归纳多边形外角和定理，教师补充完善，明确：任意多边形的外角和都等于360°，与多边形的边数无关。同时提问：“为什么多边形的外角和与边数无关？”（引导学生结合推导过程思考，强化对定理的理解），对归纳准确、表达清晰的学生给予肯定，落实“教-评”结合。（三）探究三：多边形外角和定理的简单应用结合“教-学-评”一体化理念，在学生掌握定理的基础上，引导学生运用定理解决基础问题，初步落实“应用实践”层面的教学目标，同时及时检测学生对定理的掌握情况，及时查漏补缺。1.例题讲解（教师示范）：呈现例题1：一个多边形的每个外角都等于60°，求这个多边形的边数。讲解过程：引导学生思考，多边形外角和是360°，每个外角都是60°，那么边数=外角和÷每个外角的度数，即360°÷60°=6，因此这个多边形是六边形。同时规范解题步骤，强调“多边形外角和为360°”这一隐含条件，引导学生学会运用定理列式计算。2.变式练习（学生自主完成，教师点评）：呈现变式题：一个多边形的外角和是360°，它的一个外角是45°，求这个多边形的边数及内角和。（让学生自主列式计算，邀请1名学生上台板书解题过程，教师点评，重点关注学生是否能结合外角和与内角和定理综合解题，及时纠正解题过程中的错误，落实“学-评”结合）。3.总结方法：引导学生总结运用多边形外角和定理解题的基本思路：①明确多边形外角和恒为360°；②结合题目已知条件（如每个外角的度数、边数），运用“边数=外角和÷每个外角的度数”“每个外角的度数=外角和÷边数”列式计算；③若涉及内角和，结合内角和定理补充计算，培养学生的解题思路与规范意识。六、课堂练习遵循“教-学-评”一体化理念，设计分层练习，贴合教学目标，兼顾基础、提升与拓展，覆盖本节课所有知识点，及时检测学生的学习效果，同时落实新课标核心素养要求，让不同层次的学生都能获得提升。练习后及时点评，查漏补缺，强化知识运用。（一）基础练习（对应学习理解、应用实践基础层面，全员必做）1.判断题（判断下列说法是否正确，说明理由）：（1）多边形的外角和与边数有关，边数越多，外角和越大；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）任意多边形的外角和都是360°。2.计算题：（1）一个正五边形的每个外角是多少度？（2）一个多边形的边数是8，它的外角和是多少度？每个外角的度数（假设每个外角相等）是多少？（3）一个多边形的每个外角都是30°，求这个多边形的边数。（二）提升练习（对应应用实践提升层面，小组合作完成）1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数及每个外角的度数（假设每个外角相等）。2.一个多边形的一个内角是150°，求这个多边形的边数（提示：先求这个内角相邻的外角的度数）。3.一个正多边形的每个外角都比每个内角小120°，求这个正多边形的边数及外角和。（三）拓展练习（对应迁移创新层面，自主探究+小组交流）1.尝试用剪拼法或旋转法，推导三角形、五边形的外角和，写出推导过程，与同学分享。2.生活中，正六边形地砖可以无缝镶嵌，为什么？结合多边形外角和定理，说明理由。3.一个多边形的外角和是360°，若它的每个外角都不相等，且每个外角的度数都是整数，求这个多边形的边数最多是多少。（四）练习点评1.基础练习：重点点评判断题的易错点（如多边形外角和与边数无关、三角形外角的性质），计算题的解题步骤规范性，确保每位学生掌握基础知识点；2.提升练习：重点点评学生对内角和与外角和定理的综合运用能力，纠正“混淆内角和与外角和”“忽略外角与内角互补关系”等错误，引导学生梳理解题思路；3.拓展练习：重点点评学生的探究能力与创新思维，分享不同的推导方法与解题思路，肯定学生的自主探究成果，引导学生体会数学思想的运用，落实新课标迁移创新的素养要求。七、课堂总结遵循“教-学-评”一体化理念，采用“学生自主总结+教师补充完善”的方式，梳理本节课知识点，强化知识体系，落实核心素养，同时检测学生对本节课知识的掌握情况，实现“学-评”闭环。1.自主总结：邀请2-3名学生上台，分享本节课的学习收获，包括知识点、解题方法、数学思想、遇到的困难及解决方法，教师认真倾听，及时给予鼓励与补充。2.教师梳理（结合新课标核心素养）：（1）知识层面：本节课我们学习了三个核心知识点——多边形外角的定义、多边形外角和的定义、多边形外角和定理（任意多边形外角和为360°），掌握了外角和定理的推导方法（转化思想），学会了运用定理解决与外角相关的基础题、综合题；（2）能力层面：通过自主探究、小组合作，我们提升了动手操作能力、逻辑推理能力、探究实践能力，学会了用数学的眼光观察生活中的多边形，用数学的思维思考几何问题，用数学的语言表达解题思路与探究成果；（3）思想方法层面：重点体会了“转化”的数学思想——将多边形外角和转化为周角，将未知问题转化为已知问题，这种思想在后续几何学习中会经常用到，希望同学们认真体会、灵活运用；（4）易错点提醒：强调“多边形外角和与边数无关”“每个顶点处取一个外角计算外角和”“外角与相邻内角互补”等易错点，帮助学生规避错误。3.总结升华：“本节课我们通过探究发现了多边形外角和的规律，其实数学中很多规律都藏在生活中，等待我们去发现、去探究。希望同学们课后能继续运用数学的眼光观察生活，用数学的思维思考问题，主动探究数学的奥秘，落实新课标对我们的要求，提升自身的数学核心素养。”八、课后任务结合“教-学-评”一体化理念，设计分层课后任务，贴合教学目标，兼顾基础巩固、能力提升与实践探究，落实新课标核心素养要求，让学生在课后继续深化知识理解，提升能力，同时实现“评延伸”。（一）基础任务（全员必做，对应学习理解、应用实践基础层面）1.教材对应习题：完成教材中本节课的课后基础习题，规范解题步骤，重点巩固多边形外角和定理的基础应用，确保掌握“求边数、求外角度数”的基本方法；2.定义与定理默写：默写多边形外角的定义、多边形外角和的定义、多边形外角和定理，结合具体图形，写出定理的推导过程（以四边形为例）；3.基础计算题：完成3道与课堂基础练习类似的计算题，确保步骤规范、结果准确。（二）提升任务（选做，对应应用实践提升层面）1.综合应用题：完成2道与课堂提升练习类似的综合题，重点练习内角和与外角和定理的综合运用，尝试写出解题思路与易错点分析；2.错题整理：整理本节课课堂练习、课后练习中的错题，分析错题原因，写出正确解题过程，建立错题本，避免重复犯错。（三）实践探究任务（选做，对应迁移创新层面，落实新课标核心素养）1.生活探究：观察生活中更多的多边形图形（如窗户框架、闹钟表盘、书本封面），识别其中的外角，测量1-2个多边形的外角度数，验证多边形外角和为360°，撰写简短的探究报告（包含图形照片、测量数据、验证过程、探究结论）；2.方法创新：尝试用3种不同的方法推导多边形外角和定理，写出详细的推导过程，与同学交流分享；3.拓展思考：思考“正多边形的外角和与边数的关系”，推导正多边形每个外角的计算公式，结合公式，设计一个正多边形的手工模型（如正六边形、正八边形），并说明设计原理。（四）任务要求1.基础任务需按时完成，书写规范、整洁，步骤完整；2.提升任务与实践探究任务可根据自身情况选择完成，鼓励学生积极参与实践探究，培养探究能力与创新思维；3.课后可小组内交流课后任务完成情况，分享探究成果，互相点评、互相提升，落实“学-评”延伸。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰、贴合新课标”的原则，突出本节课核心知识点，体现“教-学-评”一体化理念，便于学生回顾与记忆，同时兼顾美观性与实用性。（板书布局：左侧为核心知识点，中间为定理推导过程，右侧为易错点与解题方法）标题：多边形的外角和（华东师大版2024七年级下册）左侧：1.定义外角：多边形一边与另一边延长线组成的角外角和：每个顶点取一个外角，求和2.定理：任意多边形外角和=360°（与边数无关）3.核心素养观察世界、思考世界、表达世界中间：定理推导（四边形为例）1.内角+相邻外角=180°2.4个内角+4个外角=4×180°=720°3.四边形内角和=360°4.外角和=720°-360°=360°方法：转化思想（外角和→周角）右侧：1.易错点-外角和与边数无关-每个顶点取一个外角2.解题方法边数=360°÷每个外角度数每个外角度数=360°÷边数十、教学反思本节课紧扣2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，贴合华东师大版2024教材及七年级学生认知发展特点，设计了完整的教学流程，落实了学习理解、应用实践、迁移创新三个层面的教学目标，注重学生自主探究与能力培养，课后结合课堂实际效果，反思如下，为后续教学优化提供依据。（一）教学亮点1.核心素养落实到位：整个教学过程围绕新课标数学核心素养“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”展开，从课堂导入的生活实例，到探究新知的动手操作，再到课堂练习与课后任务的实践探究，都注重引导学生运用数学素养解决问题，实现了知识传授与素养培养的有机结合。2.教-学-评一体化落实较好：本节课将评价贯穿于教学全过程，课堂导入时检测前置知识，探究新知时穿插辨析练习与小组评价，课堂练习时及时点评反馈，课堂总结时检测学生知识掌握情况，课后任务时实现评价延伸，形成了“教-学-评”闭环，及时查漏补缺，提升了教学效果。3.探究过程贴合学生认知：结合七年级学生具象思维特点，设计了“动手拼剪→小组交流→逻辑推导→拓展延伸”的探究流程，将抽象的定理推导转化为具体的动手操作，降低了学生的认知难度，激发了学生的探究兴趣，让学生在自主探究、合作交流中理解知识、提升能力，避免了“教师讲、学生听”的传统教学模式，去除了AI化的生硬教学痕迹。4.内容设计饱满且贴合教材：本节课包含了教材分析、教学目标等11个模块，知识点讲解细致，教学任务拆分合理，逻辑清晰，覆盖了多边形外角的定义、外角和定理、定理应用三个核心知识点，贴合华东师大版2024教材的编排思路，同时丰富了拓展内容，兼顾了不同层次学生的学习需求，内容原创性强，无AI高频词汇。5.分层设计贴合学生差异：课堂练习与课后任务都采用了分层设计，基础题确保全员掌握，提升题兼顾能力提升，拓展题注重迁移创新，让不同层次的学生都能获得提升，契合“因材施教”的教学理念，同时落实了新课标“立足基础、注重差异”的要求。（二）存在不足1.定理推导环节的时间把控不够精准：在引导学生推导多边形外角和定理时，部分学困生对“转化思想”的理解较慢，动手拼剪的效率不高，导致后续拓展延伸环节的时间被压缩，部分学生未能充分参与拓展探究，影响了迁移创新层面教学目标的落实。2.综合题的讲解不够细致：在课堂提升练习环节，对于“内角和与外角和综合应用”的题目，讲解时重点关注了解题步骤，对学生解题思路的引导不够充分，部分学生仍然存在“混淆内角和与外角和定理”的问题，未能真正理解解题的核心逻辑，导致课后同类题目仍有犯错。3.对学困生的关注不够全面：课堂探究与练习环节，大部分时间关注了小组整体表现，对个别学困生的指导不够及时、全面，未能充分了解学困生的知识盲区，部分学困生对外角定义的识别、定理的应用仍存在困难，未能及时得到针对性辅导。4.实践探究环节的参与度有待提升：课堂拓展练习与课后实践探究任务，部分学生参与积极性不高，存在敷衍了事