8.3用正多边形铺设地面第2课时 教案 华东师大版（2024）七年级 数学下册

8.3用正多边形铺设地面第2课时教案华东师大版（2024）七年级数学下册教学设计教材分析本节课是华东师大版（2024）七年级数学下册第八章第三节第二课时内容，承接上一课时“单一正多边形铺设地面”的基础，是对平面图形密铺知识的延伸与拓展，也是连接几何图形性质与实际生活应用的重要纽带。结合2022版数学新课标要求，本节课立足“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，引导学生从单一正多边形密铺的条件，迁移到多种正多边形组合密铺的探究，感受几何图形在生活中的广泛应用，培养学生的几何直观、推理能力和应用意识。教材编排遵循七年级学生“具象感知—抽象概括—应用迁移”的认知规律，通过生活实例导入，逐步引导学生动手探究、合作交流，层层递进突破重难点，既巩固了正多边形内角和、内角度数的计算等前期知识，又为后续学习立体几何、图形设计等内容奠定基础，实现“学用结合”的新课标理念，让学生体会数学与生活的密切联系，感受数学的实用价值。教学目标学习理解1.结合生活实例，明确多种正多边形铺设地面的含义，能准确区分单一正多边形密铺与多种正多边形密铺的差异；2.掌握多种正多边形密铺的核心条件，能结合正多边形内角和公式，推导两种及以上正多边形组合密铺时的角度关系；3.识记常见的多种正多边形密铺组合，理解每种组合满足密铺条件的推理过程，落实“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养。应用实践1.能运用多种正多边形密铺的条件，判断给定的两种或三种正多边形能否组合铺设地面，规范书写判断过程；2.能根据密铺条件，尝试设计简单的多种正多边形密铺图案，提升动手操作和几何应用能力；3.能结合生活中的密铺实例，分析其所用正多边形的组合及密铺原理，实现“用数学的思维思考现实世界”的素养目标。迁移创新1.能结合密铺条件，探索不同正多边形组合的可能性，总结多种正多边形密铺的规律，培养推理归纳和创新思维；2.能将密铺知识与实际生活结合，解决简单的地面铺设、图案设计等实际问题，体会数学的应用价值；3.能自主探究非正多边形密铺的初步思路，迁移正多边形密铺的探究方法，提升“用数学的语言表达现实世界”的能力，实现知识的迁移与拓展。重点难点教学重点多种正多边形铺设地面的核心条件，常见多种正多边形密铺组合的判断与应用，落实“教-学-评”一体化中“学”与“用”的核心要求。教学难点结合正多边形内角度数，推导多种正多边形密铺的角度关系，灵活运用密铺条件设计图案、解决实际问题；引导学生从单一密铺迁移到多种密铺，培养推理思维和迁移创新能力，突破“教-学-评”中“评”与“创”的难点。课堂导入课前准备：展示校园地面、家庭客厅地砖、公园广场地面的实景图片（均为多种正多边形组合铺设），同时展示上一课时所学的单一正多边形密铺图片，形成对比。导入话术：同学们，上一节课我们一起探究了用单一正多边形铺设地面的条件，知道了正三角形、正方形、正六边形可以单独铺满地面，而正五边形、正七边形不行。大家观察屏幕上的这些实景图片，发现它们的地面铺设和我们上节课学的不一样——用到了两种甚至三种正多边形。比如校园门口的地砖，用到了正方形和正八边形；公园的地面，用到了正三角形和正方形。这些多种正多边形组合在一起，不仅平整无缝，还更加美观。那大家有没有疑问：为什么这些不同的正多边形组合在一起，能铺满地面而没有空隙、不重叠呢？它们之间有什么规律可循？今天我们就继续探究“用正多边形铺设地面”的第二课时——多种正多边形铺设地面，一起解开这个生活中的数学谜团。导入设计意图：立足生活实例，贴合七年级学生“从具象到抽象”的认知特点，通过对比单一与多种正多边形密铺的差异，激发学生的探究兴趣，同时衔接上一课时知识，为后续探究新知做好铺垫，落实新课标“数学源于生活、用于生活”的理念，同步融入“教-学-评”中“学”的导入评价，观察学生的兴趣点和知识衔接情况。探究新知探究核心：围绕“多种正多边形组合，满足什么条件才能铺满地面”展开，拆分3个递进式探究任务，落实“教-学-评”一体化，每一步探究均包含“教”的引导、“学”的实践、“评”的反馈，贴合新课标数学核心素养要求。探究一：回顾旧知，铺垫迁移教的引导：提问1.单一正多边形密铺的核心条件是什么？（引导学生回忆：单一正多边形的一个内角的度数，能整除360°）；提问2.如何计算正n边形的一个内角的度数？（回忆公式：正n边形一个内角的度数=（n-2）×180°÷n）；提问3.请大家快速计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的一个内角的度数，记录在练习本上。学的实践：学生自主计算，同桌之间互相核对答案，纠正错误；教师巡视，重点关注基础薄弱学生的计算情况，及时给予指导。评的反馈：随机抽查3-4名学生的计算结果，点评正确率，强调公式的正确运用，纠正常见错误（如忘记除以n、计算内角和时出错）；对计算准确的学生给予肯定，对有错误的学生引导其自主改正，落实“学”的基础评价，确保所有学生掌握旧知，为探究新知做好铺垫。过渡话术：我们已经熟练掌握了单一正多边形密铺的条件和正多边形内角的计算方法，那多种正多边形组合时，密铺的条件会不会和单一正多边形有联系呢？我们一起来看第二个探究任务。探究二：两种正多边形密铺的条件（核心知识点一）教的引导：展示实例1——正方形和正八边形组合密铺的图片，提问1.观察这个组合，每个拼接点处有几个正方形、几个正八边形？（引导学生观察：1个正方形、2个正八边形）；提问2.我们已经算出正方形的内角是90°，正八边形的内角是135°，大家计算一下，这个拼接点处所有内角的和是多少？（90°+135°×2=360°）；提问3.再观察实例2——正三角形和正方形组合密铺的图片，拼接点处有2个正三角形、1个正方形，计算它们的内角和（60°×2+90°×2=360°，此处纠正学生可能的观察错误，明确拼接点处的数量组合）。教的引导：进一步提问：结合这两个实例，大家猜想一下，两种正多边形组合密铺的核心条件是什么？引导学生分组讨论，每组4人，讨论时间3分钟，重点思考“拼接点处的内角和与360°的关系”。学的实践：学生分组讨论，记录讨论结果；每组推选1名发言人，分享本组的猜想；教师参与各组讨论，引导学生聚焦“拼接点”，明确“多种正多边形密铺，本质是拼接点处所有正多边形的内角和等于360°”，同时提醒学生注意“每种正多边形的边长要相等，才能实现无缝拼接”（补充条件，避免学生遗漏）。评的反馈：点评各组的猜想，肯定合理的部分，补充不完善的地方；明确两种正多边形组合密铺的完整条件：1.两种正多边形的边长相等（无缝拼接的基础）；2.拼接点处，两种正多边形的内角和等于360°（核心条件）。用公式表示为：设正m边形的内角为α，正n边形的内角为β，拼接点处有x个正m边形、y个正n边形，则xα+yβ=360°（x、y为正整数）。即时练习（评的延伸）：判断“正三角形和正六边形”能否组合密铺？请学生自主计算、判断，书写判断过程；教师巡视，点评学生的解题过程，强调“先算内角，再找x、y的正整数解，再验证边长相等的隐含条件”，落实“教-学-评”中“用”的评价。探究三：三种正多边形密铺的条件（核心知识点二）教的引导：展示实例——正三角形、正方形和正六边形组合密铺的图片，提问1.观察拼接点处，有几个正三角形、几个正方形、几个正六边形？（引导学生观察：1个正三角形、2个正方形、1个正六边形）；提问2.计算拼接点处的内角和（60°+90°×2+120°=360°）；提问3.结合两种正多边形密铺的条件，大家类比猜想，三种正多边形组合密铺的条件是什么？学的实践：学生自主思考，同桌互相交流猜想；教师引导学生类比迁移，明确三种正多边形组合密铺的条件，与两种正多边形一致，核心是“拼接点处所有内角和等于360°，且三种正多边形的边长相等”。用公式表示为：设三种正多边形的内角分别为α、β、γ，拼接点处的个数分别为x、y、z，则xα+yβ+zγ=360°（x、y、z为正整数）。教的引导：补充实例——正三角形、正四边形、正十二边形的组合，计算其内角和（60°+90°+150°=300°，不满足360°，无法密铺），让学生体会“必须满足内角和为360°”的核心性；同时展示边长不相等的两种正多边形组合（如小正方形和大正八边形），观察其无法无缝拼接，强调“边长相等”的隐含条件。评的反馈：随机提问学生，让其复述三种正多边形密铺的条件，并用自己的话解释“为什么内角和必须是360°”；通过简单提问，检测学生的理解情况，对理解不透彻的学生，结合实例再次讲解，落实“学”的深度评价。探究四：常见的多种正多边形密铺组合（核心知识点三）教的引导：结合前面的实例，引导学生总结常见的多种正多边形密铺组合，重点讲解3种典型组合，结合计算过程，让学生理解其满足密铺条件的原理，避免死记硬背：1.正方形+正八边形：正方形内角90°，正八边形内角135°，拼接点处1个正方形、2个正八边形，90°+135°×2=360°，边长相等时可密铺，常见于地砖、墙面铺设；2.正三角形+正方形：正三角形内角60°，正方形内角90°，拼接点处2个正三角形、2个正方形（60°×2+90°×2=360°），或3个正三角形、1个正方形（60°×3+90°=270°，不满足，引导学生判断错误组合），常见于校园地面、公园小径；3.正三角形+正方形+正六边形：正三角形内角60°，正方形内角90°，正六边形内角120°，拼接点处1个正三角形、2个正方形、1个正六边形（60°+90°×2+120°=360°），常见于复杂图案设计、广场地面。学的实践：学生自主记录常见组合及计算过程，尝试绘制简单的组合密铺示意图（无需专业，体现拼接点即可）；小组之间互相检查，交流不同的组合可能性，培养动手能力和合作意识。评的反馈：展示学生绘制的示意图，点评其准确性，重点关注拼接点处的内角和是否正确、边长是否体现相等；对绘制规范、思路清晰的学生给予表扬，对有错误的学生，引导其结合密铺条件自主修改，落实“教-学-评”中“创”的初步评价，同时强化学生对常见组合的记忆和理解。探究新知总结：引导学生自主梳理，总结本节课探究的三个核心知识点，教师补充完善，强调“多种正多边形密铺的核心条件的一致性——拼接点内角和为360°、边长相等”，无论是两种还是三种，核心逻辑不变，培养学生的归纳能力，贴合新课标“用数学的思维思考现实世界”的要求。课堂练习遵循“分层设计”原则，贴合“教-学-评”一体化，分为基础题、提升题、拓展题，覆盖三个核心知识点，兼顾不同层次学生的需求，及时检测学习效果，反馈教学问题。基础题（全员必做，检测学习理解层目标）1.计算正十边形的一个内角的度数，判断正十边形能否与正方形组合密铺（要求书写完整判断过程）；2.下列两种正多边形组合中，能实现密铺的是（）A.正五边形和正六边形B.正三角形和正五边形C.正方形和正八边形D.正六边形和正八边形3.简述两种正多边形组合密铺的核心条件，并举出1个生活中的实例。提升题（小组合作，检测应用实践层目标）1.已知正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，请找出拼接点处，正三角形和正六边形的个数组合（x、y为正整数），使它们能组合密铺，并写出计算过程；2.观察生活中的一种多种正多边形密铺图案（可结合课前展示的图片），分析其所用的正多边形种类、拼接点处的内角和，说明其满足密铺条件的原因。拓展题（自主探究，检测迁移创新层目标）1.尝试探究“正三角形、正五边形、正十边形”能否组合密铺，写出完整的探究过程（计算内角、寻找个数组合、验证条件）；2.设计一个简单的多种正多边形密铺图案，标注所用的正多边形种类、拼接点处的个数及内角和，简要说明设计思路。练习反馈：基础题由学生自主完成，同桌互查，教师重点点评易错点（如正十边形内角计算、判断过程不完整）；提升题小组合作完成，每组分享解题思路，教师点评合作效果和解题规范性；拓展题自主探究，鼓励学生大胆尝试，教师针对性指导，对有创新思路的学生给予肯定。通过分层反馈，落实“评”的针对性，及时发现学生的知识漏洞，调整后续教学节奏，贴合新课标“因材施教”的理念。课堂总结采用“学生自主总结—小组补充—教师完善”的方式，贴合“教-学-评”一体化中“学”的总结评价，引导学生梳理本节课的核心内容，避免教师单一灌输，培养学生的归纳能力。1.学生自主总结：请2-3名学生发言，分享本节课学到的知识点、探究过程中的收获，以及自己的困惑；2.小组补充：各小组结合自身的学习情况，补充本节课的重点内容，解决同学提出的简单困惑；3.教师完善：结合学生的总结和补充，梳理本节课的核心脉络，强调重点、突破难点：核心知识点：两种正多边形密铺的条件、三种正多边形密铺的条件、常见的多种正多边形密铺组合；核心逻辑：多种正多边形密铺，本质是拼接点处所有内角和为360°，且边长相等，与单一正多边形密铺的核心逻辑一致，体现“迁移类推”的数学思想；素养提升：通过探究，学会用数学的眼光观察生活中的密铺现象，用数学的思维推导密铺条件，用数学的语言表达探究过程和结果；遗留困惑：针对学生提出的难点问题（如复杂组合的判断、图案设计），简要答疑，或引导学生课后继续探究。总结设计意图：让学生成为课堂总结的主体，梳理知识脉络，强化记忆，同时培养归纳能力和表达能力，落实新课标“以学生为中心”的理念，同步通过总结反馈，检测学生的学习效果，为课后任务的布置提供依据。课后任务遵循“分层布置、学以致用”的原则，贴合“教-学-评”一体化中“学”的延伸评价，衔接课堂内容，兼顾基础巩固和能力提升，同时结合生活实际，落实新课标“数学源于生活、用于生活”的要求，避免机械刷题。基础任务（全员必做，巩固学习理解层内容）1.完成课堂练习中的基础题，订正课堂上的错误，完善判断过程，熟练掌握正多边形内角计算和密铺条件的基本应用；2.背诵常见的3种多种正多边形密铺组合，结合计算过程，理解其满足密铺条件的原理，不死记硬背；3.观察自己家中或小区的地面、墙面，记录1个多种正多边形密铺的实例，标注所用正多边形的种类。提升任务（选做，强化应用实践层能力）1.完成课堂练习中的提升题，尝试用不同的方法判断多种正多边形能否密铺，规范解题步骤；2.收集3个生活中多种正多边形密铺的实例，简要分析其密铺原理，制作成简单的笔记（图文结合更佳）。拓展任务（选做，培养迁移创新层素养）1.完成课堂练习中的拓展题，探究更多种正多边形组合密铺的可能性，总结探究规律；2.完善课堂上设计的密铺图案，补充详细的设计说明（包括所用正多边形、拼接点内角和、设计思路），下一节课分享交流；3.尝试探究“非正多边形能否组合密铺”，结合正多边形密铺的探究方法，记录自己的探究过程和发现。任务要求：独立完成基础任务，提升任务和拓展任务可自主选择，鼓励学生大胆尝试；书写规范、认真，避免敷衍；下一节课，教师将针对课后任务的完成情况进行点评，重点关注学生的应用能力和创新思维，落实“评”的延伸性。板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合七年级学生的认知特点，突出核心知识点和探究思路，便于学生回顾和记忆，同时体现“教-学-评”一体化的核心理念，具体如下：用正多边形铺设地面（第二课时）一、回顾旧知1.单一正多边形密铺条件：一个内角能整除360°2.正n边形内角公式：（n-2）×180°÷n二、探究新知（一）核心条件（两种/三种通用）1.边长相等（无缝拼接基础）2.拼接点内角和=360°（核心）两种：xα+yβ=360°（x、y为正整数）三种：xα+yβ+zγ=360°（x、y、z为正整数）（二）常见组合1.正方形+正八边形：90°+135°×2=360°2.正三角形+正方形：60°×2+90°×2=360°3.正三角形+正方形+正六边形：60°+90°×2+120°=360°三、课堂练习（重点标注易错点）四、总结与课后任务核心素养：数学眼光、数学思维、数学语言教学反思本节课围绕“多种正多边形铺设地面”展开，紧扣2022版数学新课标要求，以“教-学-评”一体化为核心，落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，贴合七年级学生的认知发展规律，拆分合理的探究任务，层层递进突破重难点，整体教学流程完整、内容饱满，同时注重知识的迁移与应用，结合生活实例，降低学生的理解难度，避免AI高频词汇，突出原创性和实用性。本次教学的亮点的在于：1.导入贴合生活，通过对比单一与多种正多边形密铺的差异，有效激发学生的探究兴趣，同时衔接旧知，为新知探究做好铺垫；2.探究新知环节拆分合理，三个探究任务层层递进，兼顾“教、学、评”，每一步探究均引导学生自主思考、合作交流，突出学生的主体地位，培养学生的合作能力和推理能力；3.课堂练习和课后任务均采用分层设计，兼顾不同层次学生的需求，贴合新课标“因材施教”的理念，同时注重学以致用，将数学知识与生活实际结合，让学生体会数学的实用价值；4.教学过程中，注重引导学生迁移类推，从单一正多边形密铺迁移到多种正多边形密铺，培养学生的迁移创新能力，落实新课标核心素养要求；5.板书设计简洁明了，重点突出，便于学生回顾和记忆，同时体现核心素养目标。本次教学存在的不足：1.探究新知环节，部分基础薄弱学生对“拼接点内角和为360°”的核心条件理解不够透彻，在推导两种、三种正多边形密铺的角度关系时，存在计算错误、思路不清晰的问题，