第06讲 二元一次方程组的解法（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学新教材华东师大版）

第06讲二元一次方程组的解法（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学新教材华东师大版）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是寒假预习阶段“二元一次方程组”单元的核心课时，承接前期二元一次方程、二元一次方程组的概念认知，是后续学习二元一次方程组的应用、三元一次方程组及不等式组的重要基础，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的衔接作用。结合2022年义务教育数学新课标要求，本节课立足“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大核心素养，打破传统“重运算、轻思维”的教学模式，注重引导学生经历“观察—探究—归纳—应用”的认知过程，体会“转化”的数学思想（将二元转化为一元），培养学生的运算能力、推理能力和模型观念，契合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点，为后续更复杂的代数运算和实际问题解决奠定坚实基础。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，遵循“学习理解—应用实践—迁移创新”层层递进的原则，制定本节课教学目标如下：（一）学习理解1.能准确区分代入消元法、加减消元法的适用场景，理解两种解法的核心原理——“消元转化”，即通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为已经学过的一元一次方程，体会“化未知为已知”的数学思想。2.能完整复述代入消元法、加减消元法的具体步骤，明确每一步操作的依据（如等式的基本性质、等量代换），掌握解二元一次方程组的基本规范（如步骤标注、检验）。3.能识别二元一次方程组解的合理性，初步具备用数学眼光观察方程组特点、选择合适解法的意识。（二）应用实践1.能熟练运用代入消元法解含未知数系数为1或-1的二元一次方程组，能运用加减消元法解含相同未知数系数互为相反数或相等的二元一次方程组，确保解题步骤规范、结果准确，提升运算能力。2.能根据二元一次方程组的具体特点，灵活选择代入法或加减法，解决基础计算题，能对解题过程进行自查自纠，培养严谨的数学思维和良好的解题习惯。3.能结合简单的生活情境，列出二元一次方程组并求解，初步实现从实际问题到数学问题的转化，体会用数学语言表达现实世界的方法。（三）迁移创新1.能灵活运用消元思想，解决未知数系数不为1、-1且不互为相反数（或不相等）的二元一次方程组，能通过变形（如乘以适当的数）转化为熟悉的形式，培养推理能力和转化能力。2.能结合二元一次方程组的解，分析实际问题中的数量关系，对结果的实际意义进行判断和解释，提升模型观念和应用意识。3.能尝试总结两种消元法的优劣对比，结合具体题目优化解题思路，培养归纳总结能力和创新思维，为后续学习更复杂的方程组解法和应用埋下伏笔。三、重点难点（一）教学重点1.代入消元法、加减消元法的核心步骤和操作规范，能熟练运用两种方法解基础二元一次方程组。2.理解“消元转化”的数学思想，能根据方程组的特点选择合适的消元方法，提升运算能力和思维的灵活性。（二）教学难点1.代入消元法中，当未知数系数不为1或-1时，如何准确用一个未知数表示另一个未知数，避免出现变形错误；加减消元法中，如何合理选择乘以的数，使两个方程中某一个未知数的系数互为相反数或相等，减少运算量。2.灵活运用两种消元法解决复杂方程组，能结合实际问题的数量关系，准确列出方程组并求解，实现“数与形、数与实际”的结合，落实新课标核心素养要求。3.解题过程中，对等式基本性质的灵活运用，避免出现移项不变号、去分母漏乘、检验环节缺失等常见错误，培养严谨的数学思维。四、课堂导入（5分钟）立足寒假预习场景，结合学生已有知识储备，采用“情境设问+旧知唤醒”的方式导入，贴合新课标“数学与现实生活紧密结合”的要求，激发学生预习兴趣，衔接本节课核心内容。导入话术：同学们，寒假里我们经常会帮家里采购物品，今天我们就来看一个和采购有关的问题：超市里，1袋大米和1桶食用油共售价80元，2袋大米和1桶食用油共售价130元，请问1袋大米和1桶食用油的单价各是多少元？引导学生思考：这个问题中存在两个未知量（大米单价、食用油单价），我们之前学过一元一次方程，能不能用一元一次方程解决这个问题？（让学生尝试口述解题思路，设其中一个未知量为未知数，用含未知数的式子表示另一个未知量，列出一元一次方程）。接着追问：如果我们设大米单价为x元，食用油单价为y元，能不能列出两个方程？（引导学生列出二元一次方程组：x+y=80，2x+y=130）。这个方程组就是我们上一讲预习的二元一次方程组，我们已经知道它的解就是两个未知量的具体数值，那如何准确求出这个方程组的解呢？今天我们就一起来预习二元一次方程组的解法，学会用两种方法快速求解这类方程组，解决更多生活中的实际问题——这就是我们本节课的核心内容：二元一次方程组的解法。设计意图：通过生活情境唤醒学生的应用意识，用旧知（一元一次方程）引出新知（二元一次方程组的解法），让学生体会“两个未知量”可以通过“转化”为一个未知量来解决，初步感知“消元”思想，为探究新知做好铺垫，同时契合七年级学生具象思维的特点，降低预习难度。五、探究新知（25分钟）遵循“教-学-评”一体化理念，拆分探究环节，围绕三个核心知识点（代入消元法、加减消元法、两种方法的选择）展开，每个知识点均按照“观察—探究—归纳—评价”的流程设计，让学生主动参与探究过程，落实新课标核心素养要求，确保知识点讲解细致详尽，贴合学生认知发展。（一）探究一：代入消元法（核心知识点一）1.自主探究：以导入环节列出的方程组x+y=80，2x+y=130为例，引导学生观察方程组的特点（两个方程中y的系数都是1），思考：我们能不能用含x的式子表示y？（让学生自主尝试变形，由第一个方程x+y=80，变形得到y=80-x）。2.合作交流：追问学生：我们得到了y=80-x，这个式子表示y和x的关系，能不能把它代入第二个方程？为什么？（引导学生思考：第二个方程中的y和第一个方程中的y表示的是同一个量，因此可以用80-x代替第二个方程中的y，将二元一次方程转化为一元一次方程）。3.示范讲解：结合学生的交流结果，示范代入消元法的完整步骤，标注每一步的依据和注意事项，贴合预习讲义的实用性，方便学生后续复习：步骤1：变形（消元准备）——由x+y=80，得y=80-x（依据：等式的基本性质1，移项要变号）；步骤2：代入（消元核心）——将y=80-x代入第二个方程2x+y=130，得2x+(80-x)=130（依据：等量代换，同一个量可以用不同的式子表示）；步骤3：求解（解一元一次方程）——去括号得2x+80-x=130，合并同类项得x+80=130，移项得x=130-80，解得x=50；步骤4：回代（求另一个未知数）——将x=50代入变形后的式子y=80-x，得y=80-50=30；步骤5：检验（确保准确）——将x=50，y=30代入原方程组，检验两个方程是否都成立（第一个方程：50+30=80，成立；第二个方程：2×50+30=130，成立）；步骤6：作答——写出方程组的解为x=50，y=30，即1袋大米50元，1桶食用油30元。4.归纳总结：引导学生自主复述代入消元法的步骤，教师补充完善，强调核心要点：代入消元法的关键是“用一个未知数表示另一个未知数”，实现“二元转一元”，变形时要注意移项变号，代入时要避免漏代括号，检验是确保解题准确的重要环节，预习时一定要养成检验的习惯。5.即时评价：给出一个简单的方程组（如x+2y=7，x=2y-1），让学生自主尝试用代入消元法求解，同桌之间互相检查，教师巡视指导，重点关注学生是否掌握变形和代入步骤，及时纠正移项不变号、漏代等错误，落实“学-评”结合。（二）探究二：加减消元法（核心知识点二）1.情境拓展：调整导入环节的问题，创设新的预习情境：超市里，3袋大米和2桶食用油共售价230元，5袋大米和2桶食用油共售价330元，设大米单价为x元，食用油单价为y元，列出二元一次方程组（引导学生列出：3x+2y=230，5x+2y=330）。2.自主探究：引导学生观察这个方程组的特点（两个方程中y的系数都是2，相等），思考：除了代入消元法，我们还有没有更简便的方法消去y？（让学生自主尝试将两个方程相减，观察结果）。3.引导点拨：如果将两个方程的左右两边分别相减，得到(5x+2y)-(3x+2y)=330-230，化简后得到2x=100，解得x=50，这样就快速消去了y，转化为一元一次方程——这种方法就是加减消元法，核心还是“消元转化”。4.示范讲解：结合这个方程组，示范加减消元法的完整步骤，强调步骤要点和易错点，贴合预习需求：步骤1：观察（判断能否直接加减）——观察方程组中两个方程的未知数系数，发现y的系数相等（都是2），可以用减法消去y；步骤2：加减（消元核心）——用第二个方程减去第一个方程（左右两边分别相减），得(5x+2y)-(3x+2y)=330-230（依据：等式的基本性质2，等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立）；步骤3：化简求解——去括号、合并同类项，得2x=100，解得x=50；步骤4：回代求另一个未知数——将x=50代入第一个方程3x+2y=230，得3×50+2y=230，化简得150+2y=230，解得y=40；步骤5：检验——将x=50，y=40代入原方程组，检验两个方程是否成立（3×50+2×40=230，5×50+2×40=330，均成立）；步骤6：作答——方程组的解为x=50，y=40，即1袋大米50元，1桶食用油40元。5.拓展延伸：追问学生：如果方程组中两个方程的某一个未知数系数互为相反数（如2x+3y=11，5x-3y=1），应该用什么方法消元？（引导学生思考：相加消元，因为互为相反数的两个数相加得0），示范相加消元的步骤，强调：加减消元法的关键是“让两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数”，相加消去互为相反数的系数，相减消去相等的系数。6.归纳总结：引导学生自主梳理加减消元法的步骤，教师补充，强调易错点：加减消元时，要注意等式两边同时加减，不能只加减一边；移项、合并同类项时要注意符号；如果系数不相等也不互为相反数，暂时不能直接加减，需要后续学习变形方法（为迁移创新环节铺垫）。7.即时评价：给出两个方程组（一组系数相等，一组系数互为相反数），让学生自主选择加减消元法求解，教师巡视，重点关注学生是否能准确判断加减方式，是否注意符号问题，对解题规范的学生给予肯定，对有错误的学生进行针对性指导，落实“教-评”同步。（三）探究三：两种消元法的选择（核心知识点三）1.对比观察：给出三组不同特点的二元一次方程组，让学生自主观察，小组讨论：每组方程组适合用代入消元法还是加减消元法？为什么？第一组：x=3y+2，2x+y=11（适合代入法，因为第一个方程已用y表示出x，无需变形）；第二组：3x+4y=16，5x-6y=33（适合代入法，未知数系数均不为1、-1，且不相等、不互为相反数，代入法更简便）；第三组：2x+5y=15，3x-5y=10（适合加减法，y的系数互为相反数，相加可直接消元）。2.归纳总结：结合学生的讨论结果，引导学生自主总结两种方法的适用场景，教师补充完善，贴合预习讲义的实用性，方便学生记忆：代入消元法：适合其中一个方程能快速用一个未知数表示另一个未知数的情况（如未知数系数为1或-1），或两个方程中未知数系数均不特殊的情况；加减消元法：适合两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数的情况，可快速消元，减少运算量。3.核心强调：两种方法的本质都是“消元转化”，没有绝对的优劣之分，预习时关键是学会观察方程组的特点，灵活选择合适的方法，做到“简便、准确”，同时养成解题规范、检验的习惯，落实新课标“用数学的思维思考现实世界”的要求。4.即时评价：给出一个中等难度的方程组（如2x+y=9，3x-2y=1），让学生自主选择方法求解，然后同桌之间交流解题思路，说说自己为什么选择这种方法，教师抽查展示，评价学生的方法选择合理性和解题准确性，强化知识点应用。六、课堂练习（10分钟）遵循“教-学-评”一体化理念，贴合寒假预习特点，设计分层练习，兼顾基础巩固、能力提升和迁移拓展，覆盖本节课三个核心知识点，练习题目由易到难，贴合学生认知梯度，同时预留纠错空间，方便学生自查自纠，落实新课标“应用实践”和“迁移创新”的教学目标。（一）基础巩固题（全员必做，巩固核心知识点）1.用代入消元法解方程组：（1）y=2x-3，3x+2y=8；（2）x+3y=10，3x-5y=2。2.用加减消元法解方程组：（1）2x+3y=14，2x-y=10；（2）3x+4y=19，x-y=4（提示：可将第二个方程变形，使y的系数互为相反数）。（二）能力提升题（选做，提升应用能力）1.选择合适的方法解方程组：（1）4x+5y=23，3x-5y=10；（2）2x-3y=5，3x+4y=13。2.已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x+y的值为多少？（提示：可将两个方程相加，简化求解）。（三）迁移拓展题（选做，落实迁移创新目标）1.解方程组：3x+2y=17，2x+3y=18（提示：可将两个方程相加或相减，变形后消元）；2.结合生活情境：寒假里，小明去书店买笔记本和钢笔，买2本笔记本和1支钢笔共花15元，买3本笔记本和2支钢笔共花26元，求笔记本和钢笔的单价各是多少元？（要求：列出方程组并选择合适的方法求解）。练习设计说明基础题侧重巩固代入法和加减法的核心步骤，覆盖本节课重点；提升题侧重方法选择的灵活性和解题技巧，培养学生的思维能力；拓展题侧重消元思想的灵活运用和实际问题的转化，落实新课标迁移创新目标。练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生的共性错误（如移项变号、加减漏项、检验缺失），进行集中讲解，同时关注学困生的解题情况，进行个别辅导，确保不同层次的学生都能有所收获，实现“学-评”结合。七、课堂总结（5分钟）遵循“学生自主总结+教师补充完善”的方式，贴合“教-学-评”一体化理念，引导学生梳理本节课核心知识点，回顾探究过程，强化记忆，同时反思自己的预习收获和不足，落实新课标核心素养要求。1.自主总结：请2-3名学生口述本节课的收获，包括学到的两种解法、核心思想、解题步骤和方法选择技巧，说说自己在预习过程中遇到的困难和解决方法。2.教师补充：结合学生的总结，梳理本节课核心要点，用简洁的语言串联，强化记忆：本节课我们预习了二元一次方程组的两种解法——代入消元法和加减消元法，核心思想都是“消元转化”，即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；代入法的关键是“用一个未知数表示另一个未知数”，步骤分为变形、代入、求解、回代、检验、作答；加减法的关键是“让某一个未知数的系数相等或互为相反数”，步骤分为观察、加减、化简求解、回代、检验、作答；解题时要学会观察方程组的特点，灵活选择合适的方法，养成解题规范、检验的良好习惯，同时体会数学与现实生活的紧密联系，用数学的眼光观察世界、用数学的思维解决问题。3.预习提醒：强调本节课是寒假预习的核心课时，两种消元法是后续学习的基础，课后要及时巩固练习，纠正错题，重点掌握方法选择的灵活性和解题的准确性，为后续学习二元一次方程组的应用做好准备。八、课后任务（贴合寒假预习，分层设计）结合寒假预习场景，遵循“分层布置、兼顾巩固与提升”的原则，设计课后任务，贴合新课标要求，兼顾不同层次学生的需求，同时培养学生的自主学习能力和良好的学习习惯。（一）基础任务（全员必做）1.完成课堂练习中的基础巩固题，核对答案，纠错并标注错误原因（如移项不变号、代入错误、检验缺失）；2.整理本节课笔记，完整默写代入消元法、加减消元法的步骤和适用场景，标注易错点，方便后续复习；3.自主完成5道基础计算题（2道代入法、2道加减法、1道方法选择），确保步骤规范、结果准确，养成检验的习惯。（二）提升任务（选做）1.完成课堂练习中的能力提升题和迁移拓展题，尝试总结不同类型方程组的解题技巧，整理到笔记本上；2.自主设计1道与生活情境相关的二元一次方程组应用题，列出方程组并选择合适的方法求解，体会数学的应用价值；3.对比两种消元法的优劣，撰写一段简短的总结（100字左右），说说自己在选择方法时的技巧和心得。（三）预习任务（衔接下一讲）阅读下一讲预习内容，初步了解二元一次方程组在实际生活中的更多应用场景，尝试分析简单的应用题，找出题目中的数量关系，为下一讲的预习做好铺垫。任务说明基础任务侧重巩固本节课核心知识点，确保学生掌握两种消元法的基本操作；提升任务侧重培养学生的归纳总结能力和应用能力，落实迁移创新目标；预习任务侧重衔接后续内容，培养学生的自主预习能力，贴合寒假预习的连贯性要求。课后要求学生自主完成，家长可协助监督，错题整理要规范，便于后续复习和查漏补缺。九、板书设计（简洁明了，突出核心，贴合预习课堂）板书设计遵循“简洁、直观、突出核心”的原则，贴合七年级学生的认知特点，突出本节课三个核心知识点，标注易错点和核心思想，方便学生课堂跟随和课后回顾，同时贴合“教-学-评”一体化理念。（板书布局：左侧核心知识点，中间解题步骤示范，右侧易错点提醒）标题：二元一次方程组的解法（寒假预习）核心思想：消元转化（二元→一元）一、代入消元法适用场景：有未知数系数为1/-1，或易变形表示步骤：变形→代入→求解→回代→检验→作答示范：（简化导入题方程组求解步骤，标注关键）二、加减消元法适用场景：某未知数系数相等或互为相反数步骤：观察→加减→化简→回代→检验→作答示范：（简化拓展题方程组求解步骤，标注关键）三、方法选择看方程组特点，灵活选择，兼顾简便与准确易错点提醒：1.移项不变号、代入漏括号2.加减消元漏项、符号错误3.忘记检验、步骤不规范核心素养：数学眼光、数学思维、数学语言十、教学反思（贴合寒假预习课堂，落实新课标“教-学-评”一体化）本节课作为七年级数学寒假预习讲义的核心课时，围绕二元一次方程组的解法展开，紧扣2022新课标数学核心素养要求，遵循“学习理解—应用实践—迁移创新”的教学目标，落实“教-学-评”一体化理念，贴合学生认知发展特点，完成了预设的教学任务，但结合寒假预习的特殊性和学生的实际表现，仍有可优化之处，现反思如下：（一）亮点之处1.导入环节贴合寒假生活情境，唤醒学生旧知，自然引出新知，有效激发了学生的预习兴趣，同时初步渗透“消元”思想，为探究新知做好了铺垫，契合新课标“数学与现实生活紧密结合”的要求。2.探究新知环节拆分合理，围绕三个核心知识点展开，每个知识点均遵循“观察—探究—归纳—评价”的流程，让学生主动参与探究过程，体现了“学生主体、教师主导”的教学理念，同时贴合七年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点，降低了预习难度。3.课堂练习和课后任务均采用分层设计，兼顾不同层次学生的需求，基础题巩固核心知识点，提升题和拓展题落实迁移创新目标，同时贴合寒假预习场景，预留了充足的自主学习和纠错空间，培养了学生的自主学习能力和良好的解题习惯。4.全程落实“教-学-评”一体化理念，即时评价贯穿导入、探究、练习各个环节，通过同桌互查、教师巡视、抽查展示等方式，及时发现学生的错误，进行针对性指导，确保学生掌握核心知识点，落实新课标核心素养要求。5.板书设计简洁明了，突出核心知识点和易错点，方便学生课堂跟随和课后回顾，贴合预习课堂的实用性要求；同时避