第14讲 一元一次不等式组的应用（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学华东师大版）

第14讲一元一次不等式组的应用（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学华东师大版）一、教材分析本节课是华东师大版七年级数学新教材寒假预习讲义的第14讲，聚焦一元一次不等式组的实际应用，衔接前面所学的一元一次不等式的解法及一元一次不等式组的概念、解法，是对一元一次不等式知识的综合运用与拓展延伸，也是后续学习更复杂不等式（组）应用、函数与不等式结合问题的重要基础。结合2022年数学新课标要求，本节课核心承载“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大核心素养，引导学生从实际情境中发现不等关系，将实际问题转化为数学不等式组模型，培养学生的建模思想、推理能力和应用意识。教材编排遵循“实际情境—提炼不等关系—构建模型—求解验证”的逻辑，贴合七年级学生从具体到抽象、从感性到理性的认知发展规律，注重培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，体现“数学源于生活、用于生活”的课程理念。二、教学目标结合2022年数学新课标核心素养要求，本节课教学目标从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面层层递进，兼顾知识掌握、能力培养和素养提升：（一）学习理解1.能准确识别实际情境中的不等关系，明确一元一次不等式组应用的前提条件，理解将实际问题转化为一元一次不等式组模型的核心思路；2.掌握一元一次不等式组应用的基本步骤，能区分一元一次不等式与一元一次不等式组解决实际问题的差异，牢记求解后验证的重要性；3.理解三个核心知识点的内涵：一是实际情境中不等关系的提炼方法，二是一元一次不等式组模型的构建技巧，三是不等式组解集的实际意义解读。（二）应用实践1.能运用所学知识，针对常见的实际场景（如取值范围问题、方案设计问题、最值相关问题），准确提炼不等关系，构建一元一次不等式组；2.能规范求解一元一次不等式组，并结合实际情境解读解集的意义，排除不符合实际的解，得出合理结论；3.能独立完成基础和中档难度的课堂练习，规范解题步骤，提升运用数学知识解决实际问题的熟练度，落实“用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界”的素养要求。（三）迁移创新1.能结合寒假预习的特点，将一元一次不等式组的应用与生活中的实际场景（如购物优惠、行程规划、物资分配等）结合，主动挖掘情境中的隐含不等关系，灵活构建模型；2.能针对复杂一点的实际问题，多角度分析不等关系，优化解题思路，尝试用不同的方式构建不等式组，验证结论的合理性；3.能总结一元一次不等式组应用的常见易错点，形成自己的解题技巧和思维模式，为后续学习更复杂的数学应用问题奠定基础，培养自主探究、合作交流的学习能力。三、重点难点（一）教学重点1.核心知识点的掌握：实际情境中不等关系的提炼、一元一次不等式组模型的构建、不等式组解集的实际意义解读；2.一元一次不等式组应用的基本步骤，能规范完成“审题—找不等关系—列不等式组—解不等式组—验解—作答”的完整流程；3.结合实际情境，准确解读不等式组解集的意义，排除不合理的解，落实“教—学—评”一体化中“学”与“练”的核心要求。（二）教学难点1.实际情境中隐含不等关系的挖掘，尤其是当情境中存在多个不等关系时，能准确区分并列出对应的不等式，避免遗漏或列错；2.构建一元一次不等式组时，不等号方向的判断，结合实际场景（如“不超过”“至少”“多于”等关键词）准确选择不等号；3.解集的实际意义解读，能将数学层面的不等式组解集，转化为实际场景中的合理结论（如人数为正整数、费用为非负数等），突破“数学模型”与“实际应用”之间的衔接；4.结合新课标核心素养要求，引导学生主动用数学眼光观察、用数学思维思考，避免机械套用解题步骤，培养学生的建模思想和推理能力。四、课堂导入（5分钟）导入设计贴合寒假生活场景，兼顾趣味性和针对性，激发学生的学习兴趣，同时自然引出本节课核心知识点，落实“用数学眼光观察现实世界”的素养要求：同学们，寒假马上就要到了，很多同学都会计划和家人一起去超市采购年货。老师这里有一个和采购相关的问题，大家一起来思考一下：超市推出寒假优惠活动，某种坚果礼盒，单盒售价45元，若一次性购买3盒及以上，每盒可优惠5元。小明的妈妈准备买这种坚果礼盒，预算在120元到150元之间（含120元，不含150元），请问小明的妈妈最多能买几盒？最少能买几盒？引导学生思考：这个问题中，有哪些关键信息？“预算在120元到150元之间”“一次性购买3盒及以上可优惠”，这些信息对应的是相等关系还是不等关系？我们之前学过的一元一次不等式，能解决这个问题吗？如果不能，应该用什么知识来解决？学生自由发言后，教师总结：这个问题中，存在两个不等关系——总费用≥120元、总费用＜150元，同时还要考虑购买数量的不同对应的单价不同，单一的一元一次不等式无法解决，需要用到我们上一讲所学的一元一次不等式组。今天，我们就一起来学习一元一次不等式组的应用，一起解决生活中的这类实际问题，这也是我们寒假预习的重点内容。设计意图：以寒假采购年货为情境，贴近学生生活，容易激发学生的参与度；通过问题引导，让学生主动发现实际情境中的不等关系，意识到一元一次不等式组的应用价值，自然衔接上一讲知识，同时引出本节课核心内容，为探究新知做好铺垫。五、探究新知（20分钟）探究新知环节遵循“教—学—评”一体化理念，以学生为主体、教师为主导，拆分合理的教学任务，层层递进，逐步突破重点、化解难点，同时落实新课标核心素养要求，细致讲解三个核心知识点，贴合七年级学生认知规律。任务一：提炼核心知识点一——实际情境中不等关系的提炼方法（7分钟）1.教师引导：结合刚才的导入问题，我们先来思考第一个关键问题——如何从实际情境中提炼出不等关系？大家回顾一下，我们之前学过的表示不等关系的关键词有哪些？（引导学生说出：不大于、不小于、至少、最多、超过、不足、高于、低于等）2.实例分析：结合导入问题，逐一拆解关键信息，提炼不等关系：（1）明确变量：设小明的妈妈购买x盒坚果礼盒；（2）分析单价：当x＜3时，单价为45元/盒；当x≥3时，单价为45-5=40元/盒；（3）提炼不等关系：总费用≥120元，总费用＜150元，同时x为正整数（购买数量不能为负数、不能为小数）。3.方法总结（学生自主总结，教师补充完善）：提炼不等关系的三步法——第一步，找出问题中的变量，设出未知数；第二步，梳理题目中的关键信息，圈出表示不等关系的关键词；第三步，结合关键词，将文字描述转化为数学不等关系，注意隐含条件（如人数、数量为正整数，长度、费用为非负数等）。4.即时评价：给出简单练习，让学生即时反馈，检验学习效果：某班寒假组织社会实践活动，人数在20人到30人之间（含20人，含30人），设参与人数为y，提炼出对应的不等关系。（学生发言后，教师点评，强调隐含条件“人数为正整数”，落实“学—评”衔接）任务二：提炼核心知识点二——一元一次不等式组模型的构建技巧（7分钟）1.衔接任务一，引导学生思考：导入问题中，我们提炼出了两个不等关系，这两个不等关系需要同时满足，如何将这两个不等关系转化为数学式子？2.分情况讨论，构建不等式组：情况一：当x＜3时，单价为45元/盒，总费用为45x，结合不等关系可得：45x≥120，45x＜150，解这个不等式组，得x≥8/3≈2.67，x＜10/3≈3.33，结合x＜3且x为正整数，可得x=3，但x=3不满足x＜3，故此情况无解；情况二：当x≥3时，单价为40元/盒，总费用为40x，结合不等关系可得：40x≥120，40x＜150，解这个不等式组，得x≥3，x＜3.75，结合x为正整数，可得x=3。3.教师引导学生总结：构建一元一次不等式组的核心技巧——①设出合适的未知数，明确变量的取值范围（隐含条件）；②根据提炼的不等关系，列出两个或两个以上的一元一次不等式；③将这些不等式联立，组成一元一次不等式组，注意不等式组中每个不等式的未知数要一致，不等号方向要准确。4.强调易错点：①忽略隐含条件，如人数、数量为正整数；②不等号方向判断错误，如“不超过”对应“≤”，“至少”对应“≥”；③未结合情境拆分不同情况（如导入问题中购买数量不同对应的单价不同）。5.即时评价：让学生结合刚才的方法，尝试构建导入问题的不等式组，两名学生上台板书，教师点评，纠正易错点，检验学生对知识点的掌握情况，落实“教—学—评”一体化。任务三：提炼核心知识点三——不等式组解集的实际意义解读（6分钟）1.教师引导：我们已经学会了构建一元一次不等式组，也会解一元一次不等式组，但我们解决的是实际问题，解出不等式组的解集后，不能直接作答，还要结合实际情境解读解集的意义，排除不符合实际的解，这是我们应用的关键。2.结合导入问题的解题过程，讲解解读方法：（1）先解不等式组：情况二中的不等式组为40x≥120，40x＜150，解得3≤x＜3.75；（2）解读解集：x表示购买的坚果礼盒数量，必须是正整数，因此x的取值只能是3；（3）验证结论：当x=3时，总费用为40×3=120元，符合预算（120元≤总费用＜150元），因此小明的妈妈最多能买3盒，最少也能买3盒。3.方法总结：解读不等式组解集的核心——先求出不等式组的数学解集，再结合实际情境中的隐含条件（如正整数、非负数、实际意义限制等），对解集进行筛选，得出符合实际的解，最后验证解的合理性，确保结论贴合实际问题。4.即时评价：给出简单例题，让学生解不等式组并解读解集：某寒假补习班，招收学生人数不超过40人，且不少于25人，设招收学生人数为m，解不等式组25≤m≤40，并解读解集的实际意义。（学生发言后，教师点评，强调解集与实际情境的衔接，落实新课标“用数学语言表达现实世界”的要求）探究新知总结：教师引导学生梳理三个核心知识点的逻辑关系——提炼不等关系是基础，构建不等式组是核心，解读解集是关键，三者缺一不可；同时总结一元一次不等式组应用的基本步骤：审题（找关键信息）→设未知数→提炼不等关系→列不等式组→解不等式组→验解（结合实际情境）→作答，为后续课堂练习和课后任务做好铺垫。六、课堂练习（15分钟）课堂练习遵循“分层设计”原则，贴合新课标“教—学—评”一体化理念，分为基础题、中档题、提升题，兼顾不同层次学生的需求，重点考查三个核心知识点，同时培养学生的解题规范和应用能力，练习后及时点评，落实“评”的环节。（一）基础题（6分钟，考查核心知识点一、二，全员必做）1.某寒假文具店促销，笔记本每本5元，若一次性购买4本及以上，每本优惠1元。小红准备买笔记本，预算在18元到25元之间（含18元，含25元），设小红购买x本笔记本，列出满足条件的一元一次不等式组（不求解）。2.解不等式组，并结合实际情境（x表示正整数），解读解集的意义：2(x+1)＞53x-4≤11（二）中档题（5分钟，考查三个核心知识点，全员必做，重点突破难点）3.寒假期间，小明计划每天背诵英语单词，若每天背诵8个，那么寒假结束（按20天计算），背诵的单词总数不少于150个；若每天背诵10个，那么背诵的单词总数不超过180个。设小明每天背诵x个单词（x为正整数），求x的取值范围，并说明小明每天最多能背诵几个单词，最少能背诵几个单词。（三）提升题（4分钟，考查迁移创新能力，选做，面向学有余力的学生）4.某超市寒假期间推出两种购物方案：方案一，单次购物不超过300元，无优惠；方案二，单次购物超过300元，超过部分按8折优惠。小亮的妈妈准备在该超市一次性购买商品，预算在280元到400元之间（含280元，不含400元），设商品原价为y元，分别求出两种方案下y的取值范围，并说明哪种方案更优惠（简要说明理由）。练习点评：1.基础题点评：重点点评不等关系的提炼和不等式组的列写，纠正学生易错的不等号方向、隐含条件遗漏等问题（如第1题中，未考虑x≥4和x＜4两种情况）；点评第2题时，强调解集的解读要结合“x为正整数”的隐含条件，规范解题步骤。2.中档题点评：重点点评“两个不等关系的提炼”和“解集的实际意义解读”，引导学生注意“不少于”“不超过”对应的不等号，同时强调验解的重要性，避免出现x为小数的错误结论。3.提升题点评：重点点评学生对复杂情境的分析能力，引导学生拆分两种方案，分别提炼不等关系，构建不等式组，同时培养学生的比较思维，鼓励学有余力的学生尝试多角度分析优惠方案，落实迁移创新的教学目标。设计意图：分层练习贴合七年级学生的认知差异，基础题巩固核心知识点，中档题突破难点，提升题培养迁移创新能力；练习后及时点评，既检验了学生的学习效果，又纠正了易错点，同时规范了解题步骤，落实“教—学—评”一体化中“评”的核心要求，兼顾知识掌握和素养提升。七、课堂总结（3分钟）课堂总结以学生自主总结为主，教师补充完善，梳理本节课的核心内容、解题方法和易错点，同时衔接新课标核心素养要求，帮助学生构建完整的知识体系，强化记忆：1.学生自主发言：回顾本节课学习的三个核心知识点，说说自己掌握的解题方法、遇到的困难和易错点；2.教师补充总结：（1）核心知识点：①实际情境中不等关系的提炼方法（找关键词、抓隐含条件）；②一元一次不等式组模型的构建技巧（设未知数、列两个及以上不等关系、联立不等式组）；③不等式组解集的实际意义解读（筛选取值、验证合理性）。（2）解题核心：牢记一元一次不等式组应用的七步流程（审题—设元—找不等关系—列组—求解—验解—作答），核心是“建模”，即将实际问题转化为数学不等式组模型，落实“用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达”的新课标要求。（3）易错点提醒：①不等号方向判断错误；②遗漏隐含条件（如正整数、非负数）；③解不等式组后未验解，直接作答；④复杂情境中，未拆分情况分析不等关系。3.拓展引导：本节课我们学习了一元一次不等式组在寒假生活场景中的应用，其实生活中还有很多类似的问题（如行程规划、物资分配等），希望同学们课后能主动用数学眼光去发现、用数学思维去解决，真正做到“学以致用”，巩固寒假预习成果。八、课后任务（贴合寒假预习特点）课后任务遵循“分层设计、兼顾巩固与拓展”的原则，贴合寒假预习的节奏，既要巩固本节课核心知识点，又要培养学生的自主探究能力，同时落实新课标核心素养要求，避免过重负担，任务设计贴合学生寒假生活场景：（一）基础任务（必做）1.整理本节课的三个核心知识点和解题步骤，补充课堂笔记，标注自己的易错点；2.完成基础练习题3道（贴合课堂基础题难度），规范解题步骤，确保每一步都符合要求，重点练习不等关系的提炼和不等式组的构建；3.结合寒假生活，自主设计1个能用一元一次不等式组解决的简单问题（如寒假作业完成计划、零花钱分配等），并写出完整的解题过程。（二）提升任务（选做）1.完成课堂提升题的完整解题过程，尝试分析不同优惠方案下的最优选择，拓展迁移创新能力；2.查阅资料，了解一元一次不等式组在实际生活中的其他应用（如工业生产、农业种植等），简要记录1个案例，并用本节课所学知识尝试分析其中的不等关系（不用完整解题）。（三）预习任务（衔接后续内容）预习下一讲内容，初步了解一元一次不等式组与方程的综合应用，提前梳理自己的疑问，为后续学习做好准备。任务要求：独立完成，书写规范，基础任务确保正确率，提升任务鼓励大胆尝试；寒假期间，可与同学交流解题思路，互相点评，共同提升。九、板书设计（简洁明了、重点突出，贴合教学流程）第14讲一元一次不等式组的应用（寒假预习）一、核心知识点1.提炼不等关系：关键词+隐含条件2.构建不等式组：设元→列不等关系→联立3.解读解集：筛选取值→验证实际意义二、解题步骤（七步）审题→设元→找不等关系→列组→求解→验解→作答三、易错点1.不等号方向错误2.遗漏隐含条件（正整数等）3.未验解四、课堂示例（导入题解题过程，简洁书写）（设x盒→分情况列不等式组→求解→验解→作答）五、新课标素养要求用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达十、教学反思本节课围绕华东师大版七年级数学寒假预习讲义，结合2022年数学新课标核心素养要求，设计了完整的教学流程，聚焦一元一次不等式组的应用，落实“教—学—评”一体化理念，贴合学生的认知发展规律和寒假预习特点，同时注重知识的衔接和能力的培养，但教学过程中仍可能存在一些不足，结合教学实际反思如下：（一）亮点之处1.情境导入贴合学生寒假生活，能有效激发学生的学习兴趣，同时自然引出本节课核心知识点，衔接上一讲内容，让学生感受到数学与生活的密切联系，落实“用数学眼光观察现实世界”的素养要求。2.探究新知环节拆分合理，以三个核心知识点为线索，设计三个递进式任务，兼顾“教、学、评”，让学生主动参与探究、总结方法，避免机械灌输，培养了学生的自主探究能力和推理能力，贴合新课标要求。3.课堂练习和课后任务分层设计，兼顾不同层次学生的需求，基础题巩固核心知识点，提升题培养迁移创新能力，同时贴合寒假预习特点，设计自主探究类任务，让学生在巩固知识的同时，提升应用能力。4.全程紧扣新课标数学核心素养要求，每个教学环节都注重引导学生用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达，避免了只注重解题步骤、忽略素养培养的问题，贴合新教材的编排理念。5.注重易错点的强调和即时评价，课堂导入、探究新知、课堂练习每个环节都有针对性的评价，及时纠正学生的错误，规范解题步骤，帮助学生夯实基础，落实“评”的核心要求。（二）不足之处1.七年级学生的抽象思维能力仍有待提升，在探究新知环节，对于复杂情境中隐含不等关系的挖掘，部分学生可能会出现困难，课堂上对这部