2026届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2026届高三上学期第一次教学质量监测数学试题一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.29 C.30 D.314.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.5.“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（）A.种 B.种 C.种 D.种6.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.57.函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（）A.若时，则 B.的周期为6C.的图象关于中心对称 D.8.设，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数，则（）A.的最大值为2B.在上单调递增C.在上有2个零点D.把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称10.下列说法正确的是（）A.若事件满足，且，则相互独立B.数据的第75百分位数为11C.已知随机变量，则D.回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好11.在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（）A.当在线段上运动时，恒有B.当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为C.若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为D.直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为__________.13.在的展开式中，若的系数为则_________.14.已知实数不等式恒成立，则实数的最大值为________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且.（1）求角的大小；（2）求及的面积S.16.湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.（1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；（2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；（3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.

17.在四棱锥中，底面为直角梯形，满足底面.点为棱的中点，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值.

18.已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.（i）求证：点在定直线上；（ii）求证：射线平分.

19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，定义数列满足：，（i）证明：；（ii）结合（i）的结论，证明：.湖南省郴州市2026届高三上学期第一次教学质量监测数学试题一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.29 C.30 D.314.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.5.“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（）A.种 B.种 C.种 D.种6.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.57.函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（）A.若时，则 B.的周期为6C.的图象关于中心对称 D.8.设，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数，则（）A.的最大值为2B.在上单调递增C.在上有2个零点D.把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称10.下列说法正确的是（）A.若事件满足，且，则相互独立B.数据的第75百分位数为11C.已知随机变量，则D.回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好11.在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（）A.当在线段上运动时，恒有B.当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为C.若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为D.直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为__________.13.在的展开式中，若的系数为则_________.14.已知实数不等式恒成立，则实数的最大值为________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且.（1）求角的大小；（2）求及的面积S.16.湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.（1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；（2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；（3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.

17.在四棱锥中，底面为直角梯形，满足底面.点为棱的中点，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值.

18.已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条