2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第03讲 空间向量的应用（14大题型）（原卷版）

第03讲空间向量的应用

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第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量：

点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取ABa，取定空间中的任意一点O，

则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta或OPOAtAB，这就是空间直线的向量表达

式．

知识点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方

向向量．

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的

坐标运算．

2、平面的法向量定义：

直线lα，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么

过点A，且⊥以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合P|aAP0．

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内

两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．

3、平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为n（x,y,z）；

（）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；

iia(a1,b1,c1)b(a2,b2,c2)

na0

（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；

nb0

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组

的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

知识点2：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

（1）线线平行

设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．

l1,l2a,bl1//l2a//bakb(kR)

（2）线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l//，只需证明au，即au0．

①根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线

的方向②向量是共线向量．

根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平

面内两③个不共线向量线性表示即可．

（3）面面平行

由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

①若能求出平面，的法向量u,v，则要证明//，只需证明u//v．

②

知识点3：用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．

（1）线线垂直

设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．

l1,l2a,bl1l2abab0

（2）线面垂直

设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l，只需证明a//u．

①根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．

②（3）面面垂直

根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．

①证明两个平面的法向量互相垂直．

②

知识点4：用向量方法求空间角

（1）求异面直线所成的角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，

|ACBD|

则cos．

|AC||BD|

知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向

量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的

角．

（2）求直线和平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，

|au|

则有sin|cos|．

|a||u|

（3）求二面角

如图，若PA于A,PB于B，平面PAB交l于E，则AEB为二面角l的平面角，

AEBAPB180．

nn

若分别为面的法向量，12

n1,n2,cosn1,n2

n1n2

则二面角的平面角或，

AEBn1,n2n1,n2

即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．

当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角

n1n2n1,n2n1,n2

的大小①．

当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角

n1,n2n1,n2

②的大小．

n1,n2

知识点5：用向量方法求空间距离

1、求点面距的一般步骤：

求出该平面的一个法向量；

①找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

②求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．

③|ABn|

即：点A到平面的距离d，其中B,n是平面的法向量．

|n|

2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-

|ABn|

即：点A到平面的距离d，其中B,n是平面的法向量．

|n|

|ABn|

直线a与平面之间的距离：d，其中Aa,B,n是平面的法向量．

|n|

|ABn|

两平行平面,之间的距离：d，其中A,B,n是平面的法向量．

|n|

3、点线距

22

设直线l的单位方向向量为u，Al，Pl，设APa，则点P到直线l的距离daau．

题型一：直线的方向向量

【例1】（25-26高二上·北京·月考）在空间直角坐标系Oxyz中，设直线l1的方向向量为a1,2,2，直线l2

的方向向量为b2,3,m，若l1l2，则m（）

1

A．1B．2C．D．3

2

2

【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量a(4,2,6),b4,2x,6x都是直线l的方向向量，

则x的值是（）

A．1或1B．1C．3D．1

【变式1-2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点A2,3,2,B1,0,1，下列向量中是该直线

的方向向量的为（）

A．a1,1,1B．a1,1,1C．a1,1,1D．a1,1,1

【变式1-3】（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量m3,2,1，且直线l经过Aa,2,1和

B2,3,b两点，则ab（）

A．2B．1C．1D．2

题型二：平面的法向量

【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在

鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BDC=90，BDABCD．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平

面ACD的一个法向量．

【变式2-1】（24-25高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量AB1,0,1，

AC0,1,1，AD1,1,0．

(1)求BC，CD；

(2)求平面BCD的一个法向量．

【变式2-2】（2024高二上·全国·专题练习）四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，ABC90，SA平

面ABCD，SAABBC2，AD1，求平面SCD和平面SAB的法向量.

【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知AB1,1,2，AC2,3,1，求平面ABC的一个法向量

题型三：直线和直线平行

【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的

∥

点，且D1E2EB1，BF2FA1．求证：EFAC1．

【变式3-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，点Q为BC的

中点，点P为CC1上一点.

(1)若平面BA1C1平面QAC1直线l，求证：A1B//l；

(2)当平面APQ平面APB1时，求CP的长度.

【变式3-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥OABC中，OAOB1，OC2，OA，

OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；

(2)若点D满足BD//AC，DC//AB，试确定点D的坐标．

题型四：直线与平面的平行

【例4】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB//DC，DAAB，

2

ABAP2，DADC1，E为PC上一点，且PEPC．

3

(1)求证：AE平面PBC；

(2)求证：PA//平面BDE．

【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ADDC，

AB//DC，ADDCAS2AB2，M为棱SC的中点．用向量方法证明：

(1)BMDC；

(2)BM//平面SAD．

【变式4-2】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形AA1B1B中，A1AB90，A1B1//AB，

ABAA12A1B12.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使平面AA1C1C

平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点.

(1)求证：ACAB；

(2)是否存在点P，使得直线A1C//平面AMP？请说明理由.

【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DD1DA1，AB2，点E在

棱AB上运动.

(1)证明：B1CD1E；

CF

(2)设E为棱AB的中点，在棱CC1上是否存在一点F，使得BF//平面DEC1，若存在，求的值，若不存

CC1

在，说明理由.

题型五：平面和平面平行

【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，Q是CD的

中点.

(1)在平面BCC1B1内确定一点M，使MQ平面PAQ；

(2)证明：棱CC1上不存在点N，使平面BND1//平面PAQ.

【变式5-1】（20-21高二上·宁夏·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．

(1)用向量法证明：平面A1BD//平面B1CD1；

(2)用向量法证明：MN平面A1BD．

【变式5-2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4,BC3,CC12.

(1)求证：平面A1C1B//平面ACD1.（使用向量方法）

(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，

BD，B1C的中点，利用向量法证明：

(1)MN∥平面CC1D1D；

(2)平面MNP∥平面CC1D1D．

题型六：直线和直线垂直

π

【例6】（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BADBAADAA，

113

四边形ABCD是边长为2的菱形，AA13，O为AC与BD的交点.

(1)求A1O的长；

(2)证明：OA1BD.

【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥PABCD中，AD//BC，平面PAD平面PBC，

π

ADCD2BC2，BCD．

3

(1)若PCAD，求证：PCPA；

(2)若PAPC，求PA的取值范围．

【变式6-2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，MA平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，

1

MA2AB，点P是MC上一点，且CPCM．

5

(1)建立适当的坐标系并求点P的坐标；

(2)求证：MBDP．

【变式6-3】（25-26高二上·广西来宾·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，

BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC2，M为PC的中点.

(1)求证：PBDM

(2)求DM的长；

题型七：直线与平面垂直

【例7】（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，以A为坐标原点，

AB,AD,AA1所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，E,F,G,H分别是棱BC,CD,BB1,DD1的

中点.

(1)求点C1,G,D1的坐标.

(2)证明：E,F,G,H四点共面.

(3)证明：AC1平面EFG.

【变式7-1】（25-26高二上·山东济宁·月考）在正方体ABCDABCD中，点E，F分别是底面ABCD和

侧面BCCB的中心．求证：

(1)AC平面ABD；

(2)EF//平面ABD；

【变式7-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，

侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDCa．

(1)证明：AC平面PDB．

题型八：平面与平面垂直

【例8】（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2BB12，P为B1C1的中点.

(1)取A1D1中点M，AB中点N，求证：MN平面APC.

(2)求证：平面APC平面BDD1B1

【变式8-1】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1EBD；

(2)若平面A1BD平面EBD，求证：E为CC1的中点．

【变式8-2】（25-26高二·全国·假期作业）在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E,F

分别是PB,PD的中点，PAAB1,BC2.

(1)求证：EF//平面ABCD；

(2)求证：平面PAD平面PDC.

【变式8-3】（2019高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，

ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，侧面PBC底面ABCD.求证：

(1)PABD；

(2)平面PAD平面PAB.

题型九：两条异面直线所成的角

【例9】（24-25高二上·贵州遵义·期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1B190,E,F分别是A1B1,A1C1的

中点，BCCACC12，则BE与AF所成角的余弦值为.

【变式9-1】（25-26高二上·江西赣州·月考）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,E为棱AB的中点，

F为线段CC1上的一点，且A1CEF，则直线BF与直线A1C所成角的余弦值为.

【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体ABCD，向量AB1,0,1，CD1,0,0，则异面直线

AB、CD所成角的大小为．

【变式9-3】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥PABC中，已知PC2,PAPB7,ACBC3，则CA

和PB所成角余弦值的取值范围为.

题型十：直线与平面所成的角

【例10】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，

E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1,PA2．

(1)证明：PB//平面DEF；

(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值.

【变式10-1】（25-26高二上·四川达州·月考）将长方体ABCDA1B1C1D1沿截面A1DC1截去一个三棱锥后剩

1

下的几何体如图所示，其中ABADAA=2，M，N分别是AB，AB的中点.

2111

(1)求证：NC1//平面A1MC；

(2)求直线C1M与平面A1MC所成角的正弦值.

，

【变式10-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC2M是

棱CC1上的中点．

(1)求证：AMBD；

(2)求直线AM与平面B1CD1所成角的正弦值．

【变式10-3】（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥PABCD中，AC与BD交于点O，平面PBD

平面ABCD，平面PAC平面ABCD．

(1)证明：PO平面ABCD；

45

(2)若OA2OD2，直线DC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．

15

题型十一：二面角

【例11】（25-26高二上·天津武清·月考）如图，在四棱锥PABCD,PA平面ABCD，底面ABCD是直角

11

梯形，其中AD∥BC，ABAD,PA4,ABADBC2,E为棱BC上的点，且BEBC.

24

(1)求证：DE平面PAC；

(2)求平面PAD与平面PCD所成角的正弦值.

【变式11-1】（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧

棱PD底面ABCD，PDDC2，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

(2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值.

【变式11-2】（25-26高二上·云南德宏·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为

棱DD1，BB1的中点.

(1)求证：CF//平面A1BE；

(2)求平面A1BE与平面A1BA成角的余弦值.

【变式11-3】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，

ABCBCDADP90，且ABPB2，PA22，BCCD1，E为PA中点.

(1)证明：DE//平面PBC；

(2)证明：PB平面ABCD；

1

(3)在线段PD上是否存在点M，使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为?若存在，求出点M的位置；

5

若不存在，请说明理由.

题型十二：点到平面的距离

【例12】（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，SA平面ABCD，

2

M为SA的中点，且ADCπ，ABSA4．

3

(1)证明：SC//平面MDB；

(2)求点C到平面SBD的距离．

【变式12-1】（25-26高二上·天津南开·开学考试）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M,N分

别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC12.

(1)求异面直线BM与AN所成角的余弦值；

(2)求点A到平面BCM的距离.

【变式12-2】（25-26高三上·上海虹口·期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ

π

是梯形，PD//QA，PDA，CD平面ADPQ，且ADPD2QA2.

2

(1)求证：QB//平面PDC；

(2)求点C到平面PBQ的距离.

【变式12-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA14，点P为

DD1的中点，

(1)求证：直线BD1//平面PAC；

(2)求点D到平面PAC的距离.

题型十三：点到直线的距离

【例13】（25-26高二上·广东江门·月考）已知空间中三点A1,0,0，B0,1,1，C1,1,2，则点C到

直线AB的距离为，

【变式13-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，点M

2

满足AMAB，则点M到直线AD的距离为.

31

【变式13-2】（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为

A1,0,0,B0,1,2,C2,3,3，则BC边上的高为．

【变式13-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点Px0,y0,z0且以向量

xxyyzz

ma,b,cabc0为方向向量，则这条直线可以用方程000来表示．已知直线l的方程

abc

x1

为yz1，则点Q2,4,4到l距离为

2

题型十四：直线（平面）到平面的距离

【例14】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

,,

ABC90,BC2,CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D、F、G分别为CC1C1B1C1A1的中点.

(1)求证：平面EGF//平面ABD；

(2)求平面EGF与平面ABD的距离.

【变式14-1】（17-18高二上·内蒙古赤峰·月考）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

,,

ABC90,BC2,CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D、F、G分别为CC1C1B1C1A1的中点．

(1)求证：B1D平面ABD；

(2)求证：平面EGF//平面ABD；

(3)求平面EGF与平面ABD的距离．

【变式14-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段DD1

的中点，F为线段BB1的中点，G为线段AB的中点，求平面AEB1到平面C1FG的距离.

【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为D1C1中点，求下列

问题：

(1)求异面直线D1B与A1E的距离；

(2)求B1到平面A1BE的距离；

(3)求D1C到平面A1BE的距离；

(4)求平面A1DB与平面D1CB1的距离.

1．（25-26高三上·山西晋中·月考）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，E为BC上的点，

F为PC的中点.PD底面ABCD，PD2，CE1，则点A到平面DEF的距离为（）

4291621141737

A．B．C．D．

29211712

2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2,AA11，点P是线

段B1C1的中点，则异面直线AP与BD1所成角的余弦值为（）

631863

A．B．C．D．

1818189

3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知过点x0,y0,z0且法向量为mA,B,C的平面方程为

Axx0Byy0Czz00，现有一点M1,t,0在平面:x2y3t上，则点P2,3,2到的距离

为（）

17517

A．B．C．5D．17

255

4．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线l过定点A3,3,1,且方向向量为s0,1,1,则点P(4,3,2)到l的距离

为（）

6210

A．B．C．D．2

222

5．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AB上的点，且

AE

3，点P在线段DE上，则点P到直线AD距离的最小值为（）

EB1

3416

A．B．C．1D．

5525

6．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形ABC中AB4，点D,E分别在边AB，边AC上，且AD1，

ADE90,将三角形ADE沿DE折起，将点A翻折至点P处，使得平面PDE平面BCED，则直线PB与

CE所成角的正切值为（）

3103131031

A．B．C．D．

203203

7．（25-26高二上·山东临沂·月考）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1A，BC，

C1D1的中点，A1C1B1D1P，Q平面EFG，若PQ1，则Q的轨迹长度为（）

23π22π6π26π

A．B．C．D．

3333

8．（多选题）（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图，在三棱锥ABCD中，BDBC,AB平面BCD，

ABBCBD2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH

上的动点，则（）

5

A．若N为线段GH上的中点，则MN

2

B．不存在点N，使得MNEH.

C．存在a0，b0，使得GMaGHbGE

10

D．异面直线CE与BH所成角的余弦值为

5

9．（多选题）（25-26高二上·河南·月考）已知菱形ABCD的边长为2，B60，沿对角线AC将ACD折

起，得到如图所示的三棱锥DABC．设ABa,ACb,ADc，E是棱BD上靠近B的三等分点，F是AC

的中点，且EF1，则下列结论正确的有（）

211

A．EFabc

323

1

B．ac

2

C．棱BD的长为3

5

D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为

8

10．（多选题）（25-26高二上·云南曲靖·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的

四棱锥称之为阳马.在阳马PABCD中，PA平面ABCD，且PAABAD2，则（）

π

A．异面直线PD与AC所成的角为

3

B．平面PBD平面PAC

3

C．点A到平面PBD的距离为

3

D．阳马PABCD的外接球的表面积为12π