2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第02讲 空间向量的坐标表示（9大题型）（原卷版）

第02讲空间向量的坐标表示

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组

(x,y,z)，使得pxaybzc．其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常

称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量；如果pxaybzc，则称xaybzc为p在

基底{a，b，c}下的分解式．

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位

正交基底，常用i,j,k表示．

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

知识点3：空间直角坐标系

1、空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点

O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平

面、yOz平面、zOx平面．

2、右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

3、空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A

（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

知识点4：空间直角坐标系中点的坐标

1、空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已

知点相应的一个坐标．

特殊点的坐标：原点0,0,0；x,y,z轴上的点的坐标分别为x,0,0,0,y,0,0,0,z；坐标平面

xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为x,y,0,0,y,z,x,0,z．

2、空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点Px,y,z，则有

点关于原点的对称点是；

PP1x,y,z

点关于横轴（轴）的对称点是；

PxP2x,y,z

点关于纵轴（轴）的对称点是；

PyP3x,y,z

点关于竖轴（轴）的对称点是；

PzP4x,y,z

点关于坐标平面的对称点是；

PxOyP5x,y,z

点P关于坐标平面yOz的对称点是P6x,y,z；

点关于坐标平面的对称点是．

PxOzP7x,y,z

知识点5：空间向量的坐标运算

（1）空间两点的距离公式

若，则

Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2

ABOBOAx2,y2,z2x1,y1,z1x2x1,y2y1,z2z1

①即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

2

222，

|AB|ABx2x1y2y1z2z1

②222

或．

dA,Bx2x1y2y1z2z1

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后

再用模长公式推出．

（2）空间线段中点坐标

xxyyzz

空间中有两点，则线段的中点的坐标为121212．

Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2ABC,,

222

（3）向量加减法、数乘的坐标运算

若，则

ax1,y1,z1,bx2,y2,z2

；

abx1x2,y1y2,z1z2

①；

abx1x2,y1y2,z1z2

②ax1,y1,z1(R)；

③（4）向量数量积的坐标运算

若，则

ax1,y1,z1,bx2,y2,z2

abx1x2y1y2z1z2

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和．

（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若，则

aa1,a2,a3,bb1,b2,b3

（）222222．

1|a|aaa1a2a3,|b|bbb1b2b3

aba1b1a2b2a3b3

（2）cosab(a0,b0)．

|a||b|222222

a1a2a3b1b2b3

知识点诠释：

夹角公式可以根据数量积的定义推出：

①ab

ab|a||b|cosabcosab，其中的范围是[0,]

|a||b|

AC,BDAC,DBCA,BDCA,DB．

②用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）．

③（6）空间向量平行和垂直的条件

若，则

aa1,a2,a3,bb1,b2,b3

x1y1z1

a//babx1x2,y1y2,z1z2(R)x2y2z20

x2y2z2

①

abab0x1x2y1y2z1z20

②规定：0与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直．

题型一：空间向量基本定理及其推论

，，

【例1】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设A1B1aA1D1bAA1c．下

列选项中，可以作为空间中的一组基的是（）

A．a,b,abB．ab,ab,b

C．abc,abc,abD．abc，abc，ab

【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）定义：设e1,e2,e3是空间中的一个基底，若向量pxe1ye2ze3，

则称有序实数组(x,y,z)为向量p在基底e1,e2,e3下的斜坐标，已知{a,b,c}是空间的一个基底，

{ab,bc,ca}是空间的另一个基底，若向量p在基底{ab,bc,ca}下的斜坐标为(3,1,4)，则向量p

在基底{a,b,c}下的斜坐标为（）

A．(1,4,3)B．(1,4,3)

C．(1,2,5)D．(1,2,5)

【变式1-2】（25-26高二上·云南楚雄·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量m，

存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底

s,t,rmse1te2re3s,t,rm

e1,e2,e3下的斜坐标.已知空间向量p在基底a,b,c下的斜坐标为3,1,2，则p在基底ab,ab,c下的斜

坐标为（）

A．2,1,2B．2,1,2C．1,2,2D．1,2,2

【变式1-3】（25-26高二上·安徽池州·月考）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．bc,b,bcB．a,ab,a2bC．ab,2ab,cD．ab,abc,c

题型二：用基底表示向量

【例2】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下

列向量中与相等的向量是（）

B1M

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

【变式2-1】（22-23高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥OABC中，OAa，OBb，OCc，点M

在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则MN（）

211111

A．abcB．abc

322222

211221

C．abcD．abc

322332

【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）在四面体DABC中，点G是ABC的重心，设

DAa,DBb,DCc，则BG（）

222111

A．abcB．abc

333333

121112

C．abcD．abc

333333

【变式2-3】（10-11高二下·浙江宁波·期中）如图，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，点

M在OA上，且满足OM2MA，点N为BC的中点，则MN（）

121211

A．abcB．abc

232322

111221

C．abcD．abc

222332

【变式2-4】（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，过

PF

点A的平面分别与棱PB、PC、PD交于点E、F、G，若PB2PE，PD3PG，则（）

PC

1111

A．B．C．D．

4235

题型三：空间向量基本定理的应用

x

【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量APAByADzAA，

21

若xyz1，则CP的最小值为（）

266

A．B．C．23D．26

33

【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥PABC中，G为ABC的重心，PAPD，PBPE，

114

PC4PF1,1.若PG交平面DEF于点M，且PMPG，则的最小值为（）

3

6789

A．B．C．D．

5555

【变式3-2】（25-26高二上·安徽池州·期中）在四面体OABC中，点M满足3OA4OM，N为BC中点，若

MNxOAyOBzOC，则xyz（）

1135

A．B．C．D．

2444

题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示

【例4】（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影，则OB（）

A．0,2,3B．1,0,0C．1,0,3D．1,2,0

【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量OA2,4,0，OB2,0,6，其中O为坐标原点，若点

C为线段AB的中点，则点C的坐标为（）．

A．0,4,6B．4,4,6C．2,2,3D．0,2,3

【变式4-2】在以O为原点，i,j,k为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点

A0,2,4,B2,3,1,C0,2,0，若ABCD，则D点坐标为（）

A．2,3,5B．2,3,5C．2,3,5D．2,3,5

【变式4-3】（23-24高二下·广东茂名·月考）设点M1,1,3，A2,0,4，O0,0,0，若OMAB，则点B

的坐标为（）

A．1,0,2B．1,1,7C．1,0,2D．3,2,0

题型五：空间向量的坐标表示及运算

【例5】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若a2,0,1，b0,1,2，则2ab（）

A．4,1,4B．4,1,0C．4,1,0D．4,1,4

【变式5-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量a(2,1,2)，向量b(1,3,2)，则3ab（）

A．(6,1,2)B．(7,0,2)C．(7,0,4)D．(7,0,4)

【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A1,1,0，B2,1,1，若点C与

点B关于平面yOz对称，则AC（）

A．3,2,1B．3,2,1C．1,1,1D．1,1,1

【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，D1,1,四点共面，

则（）

23

A．2B．C．1D．

32

题型六：空间向量平行的坐标表示及应用

【例6】（25-26高二上·天津·期中）设x，yR，向量ax,1,1，向量b1,y,1，c3,6,3，且ac，

b//c，则2ab（）

A．10B．3C．4D．32

【变式6-1】（25-26高二上·四川眉山·月考）设x,yR，向量ax,1,1，b1,y,1，c2,4,2，且ac，

b//c，则ab（）

A．22B．10

C．3D．4

【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知向量a2,1,2,bx,2,4，且a//b，那么b（）

A．4B．6C．8D．34

【变式6-3】（25-26高二上·浙江·月考）已知a2,1,3,b4,x,y，且a//b，则（）

A．x2,y6B．x2,y6

C．x2,y6D．x2,y6

题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示

【例7】（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量a1,1,0,b1,0,2，则下列结论正确

的有（）

A．a2

B．ab2

2π

C．a与b的夹角为

3

22

D．与a同向的单位向量是,,0

22

【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知空间向量a(1,2,1),b(3,2,1)，则（）

A．|a|6B．a∥bC．abD．(ab)b10

【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量BA(1,2,4)，BC(0,2,1)，则（）

A．BABC0

B．|CA|26

C．CA在CB上的投影向量为(0,2,1)

255

D．向量0,,是与BC平行的一个单位向量

55

【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量a2,4,4，b3,4,0，c1,2,2，

则（）

A．ab1,8,4

B．3c5b

C．a∥b

5

D．b在c方向上的投影向量为c

9

题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标

【例8】（25-26高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3),B(1,2,3)，则AB．

【变式8-1】（25-26高二上·四川广安·期中）已知三角形ABC的三个顶点分别为A3,3,1，B1,1,5，C0,1,0，

则AB的中点坐标为.

【变式8-2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点A4,5,6，B2,3,4，则AB的中点坐标为.

【变式8-3】（24-25高二上·青海西宁·月考）平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A1,1,3，B3,2,3，

对角线的交点为M1,0,4，则线段AB的中点为，顶点C的坐标为，AC的大

小为.

题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题

【例9】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知A2,0,2，B1,1,2，C3,0,4，设aAB，bAC.

(1)求cosa,b；

(2)若kabka2b，求实数k的值；

(3)2ab在3b方向上的投影数量.

【变式9-1】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知向量a0,3,3，b2,5,3．

(1)求a与ab的夹角；

(2)若ab与atb互相垂直，求实数t的值．

【变式9-2】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知空间三点M2,0,2,N3,1,5,P1,3,4，设aMN,bMP．

(1)若amba，求m的值；

(2)若向量c满足c6，且c//ba，求向量c的坐标．

【变式9-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知A2,0,2，B1,1,2，C3,0,4，aAB，bAC.

(1)求cosa,b；

(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值；

(3)若c3，c∥BC，求c的坐标.

1．（25-26高二上·湖北·月考）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两

两之间的夹角都是60，则BD1（）

A．2B．3C．2D．6

2．（25-26高二上·四川眉山·月考）设x,yR，向量ax,1,1，b1,y,1，c2,4,2，且ac，b//c，

则ab（）

A．22B．10

C．3D．4

3．（25-26高二上·云南丽江·期中）已知a,b,c是空间的一个基底，ab,ab,c是空间的另一个基底，向

量p在基底a,b,c下的坐标为4,2,3，则向量p在基底ab,ab,c下的坐标是（）

A．4,0,3B．3,1,3C．1,2,3D．2,1,3

4．（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，过点A的平面

PF

分别与棱PB、PC、PD交于点E、F、G，若PB2PE，PD3PG，则（）

PC

1111

A．B．C．D．

4235

5．（25-26高二上·安徽·月考）已知空间向量a2,x,3,b3,1,x，若ab，则x（）

A．-2B．-3C．2D．3

6．（25-26高二上·安徽·月考）已知向量p以a,b,c为基底时的坐标为(3,4,5)，则p以a,bc,bc为基底

时的坐标是（）

19199191

A．3,,B．3,,C．3,,D．3,,

22222222

7．（25-26高二上·广东·月考）在四面体ABCD中，点P，Q满足BPPD，AQ2QC，记PQxAByACzAD，

则xyz（）

1111

A．B．C．D．

3663

8．（多选题）（24-25高一下·吉林松原·期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1AADAB1，

A1ADA1ABDAB60，M为A1C1与B1D1的交点，若ABa,ADb,AA1c，则下列正确的是（）

11

A．BMabc

22

B．AC1BD

C．异面直线AA1与B1C所成角为60

2

D．平行六面体的体积为

2

9．（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量a1,1,0,b1,0,2，则下列结论正确的有（）

A．a2

B．ab2

2π

C．a与b的夹角为

3

22

D．与a同向的单位向量是,,0

22

10．（多选题）（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是B1C1的中点，N为

11

平面ABCD内一点，若AMABAAAD,ANAAACAM(,R)，则（）

1111