2026年高二数学寒假自学课（沪教版）专题01几何法与向量法求空间角（原卷版）

专题01几何法与向量法求空间角

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知识点1：求异面直线所成角

1.几何法求异面直线所成角

求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平

面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点

位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再

作平行线,加以解决.

求角的步骤是:一作、二证、三求.

作:通过作平行线,得到相交直线.

证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).

求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它

的补角才是所求的角.

2.向量法求异面直线所成角

设空间直线a,b的方向向量分别为a,b夹角为,a,b所成角的大小为,则或,所以

|ab|

sinsin,cos|cos|.

|a||b|

利用向量法求异面直线所成角的一般步骤:

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量；

v1,v2

vv

(3)代入公式12求解.

cosv1,v2

v1v2

(4)两异面直线所成角的范围是0，,两向量的夹角的范围是[0,],

2

当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角

时,其补角才是异面直线所成角.

知识点2：求线面角

1.几何法求线面角

求线面角的步骤：

（1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影.

（2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。

注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。

若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求

解。

2.向量法求线面角

如图所示,设直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量m与n的

|mn|

夹角为,则有或,所以cossin,sin|cos|

22|m||n|

知识点3：求面面角

1.几何法求面面角

二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种：

一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角；

二是作二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所成的角，即为所求；

三是利用三垂线定理或逆定理,在利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与

二面角的一个半平面垂直.

若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。

在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。

在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的面积与该图像在另一个半平面内射影的面积比求出

二面角的平面角的余弦值，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。

2.向量法求面面角

(1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量,求出其夹角.如图所示,m,n即为所求二面角的平面

角.

(2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.

如图所示,二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,n1,n2,则二面角

l的大小为或.

3.面面角与二面角的区别：

二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平

面叫做二面角的面.

平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称

为平面与平面的夹角.

两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为0，,二面角的取值范围为[0,].

2

若求得的二面角为锐角,则面面角即为二面角;若二面角为钝角,则面面角为其补角.

【考点1几何法求异面直线所成角】

例1（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．

(1)求该三棱柱的侧面积；

(2)求异面直线AB与C1D所成角的大小．

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，E,F分别是空间四边形ABCD中AB,CD的中点，

ACBD2a,EF3a，求异面直线AC与BD所成角的大小.

变式2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为线段

DD1,BD的中点.

(1)求异面直线EF与BC所成角的大小；

(2)求点D到平面AEF的距离.

变式3（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABm，ADAA11，点M是

棱CD的中点.

(1)求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；

(2)是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？并说明理由；

AP

(3)若m2.设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥B1CD1C1与三

AC1

棱锥B1CD1P的体积相等.

【考点2向量法求异面直线所成角】

例2（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P、Q分别是棱BC、B1C1

的中点.

(1)求证：AC平面B1D1DB；

(2)求异面直线D1P与A1Q所成角的余弦值.

变式1（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G

1

在棱CD上，且CGCD，H是CG的中点.

31

(1)求证：EFB1C；

(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.

变式2（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BC的中点，N为

AB的中点，P为BB1中点．

(1)求证：BD1平面MNP；

(2)求异面直线B1D与C1M所成角的余弦值．

变式3（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥PO体积为6π，轴截面的面积为6，A、B为底面圆

周上两点，且OAOB，点D是底面半径OB的中点，点C是底面圆的弦AB的上的点.

(1)求圆锥PO的底面半径R和高h；

(2)若点C是弦AB的中点，求直线OC与直线PD所成角的大小（用反三角函数值表示）；

(3)是否存在这样的点C，使得平面PAD与平面POC垂直，若存在，求AC的长，若不存在，说明理由.

【考点3几何法求线面角】

例3（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，M

为PC中点．

(1)求证：PA//平面MBD；

(2)若ABPA1，求直线AM与平面ABCD所成角的大小．

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是正三角形，PA底面ABC，AG

平面PBC，垂足为G．

(1)G是否可能是PBC的垂心，请说明理由

(2)若G恰是△PBC的重心，求直线AB与平面PBC所成角的大小．

变式2（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，DAB90，AB3，CD2，

AD1，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得二面

角AEFB的大小为．

(1)证明：AB//平面CDF；

(2)已知90，

（ⅰ）求AB与平面EFDA所成角的大小；

（ⅱ）求多面体DAEFCB的体积．

变式3（25-26高三上·上海·月考）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2,ACAA12，且D、

E分别是AC、A1C1的中点.

(1)证明：ACBE；

(2)求直线BD与平面ABE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【考点4向量法求线面角】

例4（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，AB2PA2AC8，

N为AB上一点且满足3ANNB，M，S分别为PB，BC的中点.

(1)求证：CMSN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小.

变式1（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13.

(1)证明：平面A1BD平面ACC1A1；

(2)求直线DD1和平面A1BD所成角大小.

变式2（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M,N分

别为BC,PD中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若PAAB,PA平面ABCD，求直线MD与平面AMN所成角的正弦值．

变式3（24-25高二上·上海·期中）如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为2的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1

的交点，O为AC与BD的交点．

(1)证明：C1O//平面AB1D1；

2

(2)若点C1到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高；

2

(3)若线段CC1上存在点P，使得直线AP与平面AB1D1所成角为60，求线段CC1的取值范围．

【考点5几何法求面面角】

例5（24-25高二下·上海·期中）如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱ABCABC的顶点A、B、C在

圆柱上底面的圆周上，顶点A、B、C在圆柱下底面的圆周上，已知ACB90，BC6，AC8，O为AB

的中点．

(1)求二面角ABCA的正切值；

(2)求B到平面BAC的距离．

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，AC是圆O的直径，PA与圆O所在的平面垂直，且PAAC2,B为

圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点A在线段PC，PB上的投影；

(1)证明：直线AN平面PBC；

(2)当AMN的面积最大时，求二面角APCB的平面角的大小.

变式2（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，AB是圆柱OO的一条母线，BC过底面圆心O,D是圆O上一

点.已知ABBC5，CD3.

(1)求AC与底面BCD所成角的大小；

(2)求二面角ADCB的大小；

(3)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

变式3（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱台ABCDEF中，ABBCAC4，ADFC2，DF2，

N为DF的中点.

(1)求证：ACBN；

(2)若平面ABC平面ACFD，求直线BN与直线AD所成角的余弦值：

(3)设二面角DACB的大小为，直线BE与平面ABC的所成角的大小为，求tan关于的函数表达式

及其定义域，并求tan的取值范围.

【考点6向量法求面面角】

例6（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，四边形ABCD为正方形，P是平面ABCD外一点，设PD平

面ABCD，且PDDA，E为PC中点.

(1)证明：PA//平面BDE；

(2)求二面角DPCB的大小.

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，PAAB,ABBC，

AB//CD，CD3,PAABBC2，E,F分别满足PEED、PC3PF.

(1)求证：BC平面PAB；

(2)求二面角FAEP的余弦值.

变式2（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M,N

分别为BC,PD中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若PAPB5，平面PAB平面ABCD，求二面角DAMN的余弦值．

变式3（25-26高二上·上海·期中）四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，AD∥BC，ABC90，

PAPB，BC1，AB2，AD3，O是AB中点．

(1)求证：CD平面POC；

25

(2)若二面角CPDO的平面角的正弦值为，求出OP的值；

5

CM

(3)在侧棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

PC

一、填空题

1．（25-26高二上·上海·期中）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线B1D与AD1所成角的大小为.

2．（25-26高二上·上海·期中）已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，

垂足为B，且PA2，PB3，若APB60，则与所成二面角为.

3．（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥PABC中，已知PC2,PAPB7,ACBC3，则CA和PB

所成角余弦值的取值范围为.

4．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等，E是SB的中点，则异面

直线AE与SD所成角的大小为.

5．（22-23高二下·上海青浦·期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11,AB2，点E为棱AB的中

点，则二面角D1ECD的大小为．（结果用反三角函数值表示）

6．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则二面角B1ACD1的大

小为.（结果用反三角函数表示）

π

7．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD，点P在底

3

面ABCD的投影是AC与BD的交点，且△PDB是等边三角形，点E在线段AD上，若直线PE与平面PBC所

成角为，则sin的取值范围为．

8．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1

上的动点，且A1F//平面AD1E，则A1F与平面BCC1B1所成角的余弦值构成的集合是.

9．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，

AA3,BD4，且，则异面直线AA与的夹角为．

1AB1BCAD1DC21BD

10．（25-26高三上·上海·期中）《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图所示，若

四面体ABCD为鳖臑，且AB平面BCD，ABBCCD，则AD与平面ABC所成角的正切值为．

11．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M,N分别为棱AB,BC的

中点，若点P为线段B1N上的动点，不包括端点），设异面直线C1P与MN所成的角为，则cos的取值范

围是.

12．（22-23高二上·上海浦东新·月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组

成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围

成一个十面体，则cos的值为.

二、单选题

13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线a、b相交，夹角为60，交点为O.在空间中过点O且与直

线a、b成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（）

A．60B．90C．30D．45

14．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AD4，

ABC90，PA平面ABCD，PAABBC2，下列说法正确的是（）

A．PB与CD所成的角是30

6

B．平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是

3

3

C．PB与平面PCD所成的角的正弦值是

6

43

D．M是线段PC上动点，N为AD中点，则点P到平面BMN距离最大值为

3

15．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则对于翻折

后的几何图形，下列结论不正确的是（）

A．ACBD

B．AB与平面BCD所成角为60°

C．△ADC为等边三角形

D．二面角ABCD的平面角的正切值是2

16．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1

上的动点，且A1F∥平面AD1E．设A1F与平面BCC1B1所成的角为,A1F与AD1所成的角为，那么下列结

论正确的是（）

A．的最小值为arctan2,的最小值为arctan3

B．的最小值为arctan3,的最大值为

2

C．的最小值大于arctan2,的最小值大于arctan3

D．的最大值小于arctan3,的最大值小于

2

三、解答题

17．（23-24高二上·上海·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：

(1)二面角CD1B1C1的大小

19

(2)点M在棱CD上，若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为，判断点M位置并说明理由

19

18．（24-25高二上·上海·期中）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上

的投影是AC与BD的交点O，已知BAD60，△PDB是等边三角形.

(1)求点O到平面PBC的距离；

(2)求二面角PBCA的大小（结果用反三角表示）；

(3)若点E是线段AD上的动点，请找出点E所在的