2026年高二数学寒假自学课（沪教版）专题01几何法与向量法求空间角（解析版）

专题01几何法与向量法求空间角

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知识点1：求异面直线所成角

1.几何法求异面直线所成角

求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平

面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点

位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再

作平行线,加以解决.

求角的步骤是:一作、二证、三求.

作:通过作平行线,得到相交直线.

证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角).

求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它

的补角才是所求的角.

2.向量法求异面直线所成角

设空间直线a,b的方向向量分别为a,b夹角为,a,b所成角的大小为,则或,所以

|ab|

sinsin,cos|cos|.

|a||b|

利用向量法求异面直线所成角的一般步骤:

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量；

v1,v2

vv

(3)代入公式12求解.

cosv1,v2

v1v2

(4)两异面直线所成角的范围是0，,两向量的夹角的范围是[0,],

2

当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角

时,其补角才是异面直线所成角.

知识点2：求线面角

1.几何法求线面角

求线面角的步骤：

（1）根据直线与平面所成角的定义找直线与平面所成角,即在直线上一点作或找平面的垂线、找射影.

（2）计算:得所求角，然后将所求角置于直角三角形中，通过解直角三角形加以解决。

注意：若求垂线有困难，可以通过求几何体的高，利用体积法加以解决。

若求作线面角有困难，可以通过平移斜线至合适位置，作出线面角，再在直角三角形中求

解。

2.向量法求线面角

如图所示,设直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量m与n的

|mn|

夹角为,则有或,所以cossin,sin|cos|

22|m||n|

知识点3：求面面角

1.几何法求面面角

二面角的大小计算主要是转化为平面角来实现的，求作二面角的平面角的方法主要有以下三种：

一是利用定义，即在二面角的两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角；

二是作二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所成的角，即为所求；

三是利用三垂线定理或逆定理,在利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角时，关键是观察是否有直线与

二面角的一个半平面垂直.

若在解题时遇到无棱问题，一般可以作两半平面的交线，再予以解决。

在作二面角的平面角有困难时，可以通过平移平面加以解决。

在解决客观题时，也可以通过一个半平面内几何图形的面积与该图像在另一个半平面内射影的面积比求出

二面角的平面角的余弦值，或通过异面直线上两点间的距离公式求解。

2.向量法求面面角

(1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量,求出其夹角.如图所示,m,n即为所求二面角的平面

角.

(2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.

如图所示,二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,n1,n2,则二面角

l的大小为或.

3.面面角与二面角的区别：

二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平

面叫做二面角的面.

平面与平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称

为平面与平面的夹角.

两者的区别主要是取值范围的不同,平面与平面的夹角的取值范围为0，,二面角的取值范围为[0,].

2

若求得的二面角为锐角,则面面角即为二面角;若二面角为钝角,则面面角为其补角.

【考点1几何法求异面直线所成角】

例1（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．

(1)求该三棱柱的侧面积；

(2)求异面直线AB与C1D所成角的大小．

【答案】(1)12；

5

(2)arccos.

10

【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解.

（2）取AC中点E，连结DE，C1E，利用几何法求出异面直线夹角.

【详解】（1）由正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，

得该三棱柱的侧面积S3S32212

ABB1A1.

（2）取AC中点E，连结DE，C1E，

1

由D为棱BC的中点，得DE//AB，DEAB1，

2

则C1DE是异面直线AB与C1D所成角(或其补角)，DC1EC1415，

222

C1DDEC1E5155

cosC1DE，

2C1DDE25110

5

所以异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos.

10

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，E,F分别是空间四边形ABCD中AB,CD的中点，

ACBD2a,EF3a，求异面直线AC与BD所成角的大小.

π

【答案】

3

【分析】取BC中点G，连接EG,FG，根据已知及异面直线所成角的定义，应用余弦定理求角的大小.

【详解】如图，取BC中点G，连接EG,FG，又E,F分别是AB,CD的中点，

所以EG//AC,FG//BD，则异面直线AC与BD所成角为EGF或其补角，

11EG2FG2EF2a2a23a21

由EGACa,FGBDa,EF3a，则|cosEGF|||||，

222EGFG2a22

ππ

又异面直线所成角范围为(0,]，则异面直线AC与BD所成角为.

23

变式2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为线段

DD1,BD的中点.

(1)求异面直线EF与BC所成角的大小；

(2)求点D到平面AEF的距离.

【答案】(1)arctan2

6

(2)

3

△

【分析】（1）根据直线EF和直线BD1平行，得D1BC异面直线EF与BC所成的角，进而在D1BC中求

解即可；

（2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法列方程求解即可.

【详解】（1）连接D1B，D1C，因为E,F分别为线段DD1,BD的中点，

所以EF//D1B，故异面直线EF与BC所成角为D1BC；

又BC平面DD1C1C，D1C平面DD1C1C，

所以BCD1C，

DC22

所以tanDBC12，

1BC2

故异面直线EF与BC所成的角为arctan2.

（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为线段DD1,BD的中点，

1

所以ED平面ADF，且EDDD1

21

因为F是线段BD的中点，

111

所以SS221，

ADF2ABD22

111

故三棱锥EADF的体积VSED11；

3ADF33

因为E,F分别为线段DD1,BD的中点，

11

所以EFBD233，

212

11

又因为AE5，AFAC222，

22

所以在△AEF中满足EF2AF2AE2，故△AEF为直角三角形，

116

则SAFEF23，

AEF222

设点D到平面AEF的距离为d，

11616

则三棱锥EADF的体积VSdd，解得d，

3AEF3233

6

因此点D到平面的距离为.

3

变式3（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABm，ADAA11，点M是

棱CD的中点.

(1)求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；

(2)是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？并说明理由；

AP

(3)若m2.设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥B1CD1C1与三

AC1

棱锥B1CD1P的体积相等.

【答案】(1)90；

(2)存在，m2，理由见解析；

1

(3)

3

【分析】（1）根据题意只需证明B1C平面ABC1，即可得到B1CAC1，从而可得答案；

（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BMAC1，D1MAC1，即可得到直线AC1

平面BMD1；

mm

（3）计算V，V，设AC1与平面B1CD1的斜足为O，则AO2OC1，则P为AO的中点，

B1C1CD16AB1CD13

从而可得答案.

【详解】（1）连接B1C，由四边形BCC1B1为正方形，可得B1CBC1，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面BCC1B1，

又B1C平面BCC1B1，所以B1CAB.

因为ABBC1B，AB,BC1平面ABC1，所以B1C平面ABC1，

又AC1平面ABC1，所以B1CAC1，

即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90；

（2）存在实数m2，使得直线直线AC1与平面BMD1垂直．理由如下：

2

当m2时，CM，

2

ABBC

因为BC＝1，所以2，所以RtABC~RtBCM，则CABMBC，

BCCM

所以MBCACBCABACB90，即ACBM，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，

又BM平面ABCD，所以CC1BM.

因为ACCC1C，所以BM平面ACC1，

又AC1平面ACC1，所以BMAC1.

同理可证D1MAC1，又D1MBMM，

所以直线AC1平面BMD1；

（3）设AC1与平面B1CD1的斜足为O，

11m

因为V=V1m1，

C1B1CD1B1C1CD1326

m

VVVVVVV4V，

AB1CD1ABCDA1B1C1D1B1ABCB1C1CD1AA1B1D1D1ACDABCDA1B1C1D1B1C1CD13

所以V2V则AO2CO

AB1CD1C1B1CD1,1.

若VV，则VV，故COPO

B1CD1CB1CD1PC1B1CD1PB1CD11.

所以在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1CD1C1与三棱锥B1CD1P的体积相等，则P为AO的中点，即

AP1

．

AC13

【考点2向量法求异面直线所成角】

例2（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P、Q分别是棱BC、B1C1

的中点.

(1)求证：AC平面B1D1DB；

(2)求异面直线D1P与A1Q所成角的余弦值.

【答案】(1)详见解析；

5

(2)

5

【分析】（1）由BB1平面ABCD得到BB1AC，再由BDAC，利用线面垂直的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，得到A1Q2,4,0,D1P2,4,4，设异面直线D1P与A1Q所成的角为，由

coscosA1Q,D1P求解.

【详解】（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，

因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，

所以BB1AC，又BDAC，且BB1BDB，

BB1平面B1D1DB，BD平面B1D1DB，

所以AC平面B1D1DB；

（2）建立如图所示空间直角坐标系：

，

则A14,0,4,D10,0,4,Q2,4,4,P2,4,0，

所以，

A1Q2,4,0,D1P2,4,4

设异面直线D1P与A1Q所成的角为，

A1QD1P125

则coscosAQ,DP.

115

A1QD1P125

变式1（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G

1

在棱CD上，且CGCD，H是CG的中点.

31

(1)求证：EFB1C；

(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

30

(2)

15

【分析】（1）在正方体中建立空间直角坐标系，得到点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量数量积为0

证明线线垂直；

（2）由（1）知道两直线方向向量的坐标，由向量夹角的余弦值的绝对值求得线线角的余弦值.

【详解】（1）在正方体中DD1DA,DD1DC,DADC，

∴以D为坐标原点，DA,DC,DD1为坐标轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，

则D10,0,2，B2,2,0，B12,2,2，C0,2,0，C10,2,2，

4

∴E0,0,1，F1,1,0，G0,,0，

3

∴，，

EF1,1,1B1C2,0,2

∴，

EFB1C220

∴EFB1C

2

（2）由（1）知EF1,1,1，C1G0,,2，

3

设异面直线EF与C1G所成角为，

2

02

EFC1G330

则coscosEF,C1G

215

EFC1G22

32

3

变式2（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BC的中点，N为

AB的中点，P为BB1中点．

(1)求证：BD1平面MNP；

(2)求异面直线B1D与C1M所成角的余弦值．

【答案】(1)答案见解析

15

(2)

15

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量证明即可.

（2）用线线角的向量求解公式处理即可.

【详解】（1）如图以D为原点，建立空间直角坐标系，

易得B(2,2,0)，D(0,0,2)M(1,2,0)N(2,1,0)P(2,2,1)，设面

1,,,,D1B(2,2,2),MN(1,1,0),MP(1,0,1)

MNP的法向量n(x,y,z)，连接C1M，则xy0，xz0，令x1，解得y1，z1，故n(1,1,1)，

，则与平行，可得BD平面

D1BnD1Bn1MNP.

（）易知B(2,2,2)，D(0,0,0)，C(0,2,2)，M(1,2,0)，故，，设异面直

211DB1(2,2,2)C1M(1,0,2)

2415

线B1D与C1M所成角为，故cos

23515

变式3（24-25高三上·上海·期中）如图所示，已知圆锥PO体积为6π，轴截面的面积为6，A、B为底面圆

周上两点，且OAOB，点D是底面半径OB的中点，点C是底面圆的弦AB的上的点.

(1)求圆锥PO的底面半径R和高h；

(2)若点C是弦AB的中点，求直线OC与直线PD所成角的大小（用反三角函数值表示）；

(3)是否存在这样的点C，使得平面PAD与平面POC垂直，若存在，求AC的长，若不存在，说明理由.

【答案】(1)R3，h2；

32

(2)arccos

10

(3)存在点C，使得平面PAD与平面POC垂直，AC的长为22.

【分析】（1）根据圆锥的体积公式，轴截面的面积公式，即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可求解；

（3）由共线关系设ACλAB，表示出平面PAD和平面POC的法向量，由平面垂直得法向量垂直，即数量

积等于零，求解λ的值即可.

1

【详解】（1）由轴截面的面积为6得2Rh6，即Rh6，

2

1

由圆锥PO体积为6π得πR2h6π，即R2h18，

3

Rh6

联立2，解得R3，h2，

Rh18

所以圆锥PO的底面半径R3和高h2.

（2）由题意知PO平面AOB，OA平面AOB，OB平面AOB，

所以POOA，POOB，又OAOB，

所以以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐

标系；

所以O0,0,0，A3,0,0，B0,3,0，P0,0,2，

333

因为点C是AB的中点，点D是OB的中点，所以C,,0，D0,,0；

222

333

所以OC,,0，PD0,,2，

222

设直线OC与直线PD所成角为θ，

9

OCPD432

所以，

cosθ22210

3332

OCPD2

222

32

所以直线OC与直线PD所成角为arccos.

10

（3）存在点C，使得平面PAD与平面POC垂直.

3

由（2）可知AD3,,0，AP3,0,2，

2

设平面PAD的法向量mx,y,z，

3

mAD03xy0

所以，即2，取x2，则y4，z3，m2,4,3，

mAP03x2z0

因为点C是底面圆的弦AB的上的点，当点C与A重合时，平面PAD与平面POA不垂直，所以设ACλAB，

λ0,1，

则ACλ3,3,03λ,3λ,0，所以点C33λ,3λ,0，

所以OC33λ,3λ,0，又OP0,0,2，

设平面POC的法向量nx,y,z，

nOC033λx3λy0λ1λ1

所以，即，取x1，则y，z0，n1,,0，

z0λλ

nOP0

4λ12

若平面PAD与平面POC垂直，则mn0，即20，解得λ=；

λ3

2

所以ACAB，又ABOA2OB232，

3

2

所以ACAB22，

3

故存在点C，使得平面PAD与平面POC垂直，AC的长为22.

【考点3几何法求线面角】

例3（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，M

为PC中点．

(1)求证：PA//平面MBD；

(2)若ABPA1，求直线AM与平面ABCD所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)arcsin

3

【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可．

（2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可．

【详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，连接MO．

因为四边形ABCD为正方形，则点O为AC的中点，

由已知点M为PC的中点，所以PA//MO，

又因为PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA//平面MBD．

（2）由已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且ABPA1，

又由（1）可知PA//MO，所以MO平面ABCD，点O为垂足，

所以MOA为直角三角形，OAM即为直线AM与平面ABCD所成角的平面角．

11112

因为MOPA，ACAB2BC212122，AOAC2，

22222

22

所以22213，

AMAOMO

222

1

MO233

所以sinOAM，则OAMarcsin．

AM333

2

3

综上，直线AM与平面ABCD所成角的大小为arcsin．

3

变式1（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是正三角形，PA底面ABC，AG

平面PBC，垂足为G．

(1)G是否可能是PBC的垂心，请说明理由

(2)若G恰是△PBC的重心，求直线AB与平面PBC所成角的大小．

【答案】(1)不是，理由见解析

(2)

4

【分析】（1）先假设G是垂心，得出BGPC，结合条件推出ABAC，这与已知矛盾，从而可得G不

是△PBC的垂心；

（2）由AG平面PBC，可得ABG为所求的AB与平面PBC所成角大小，利用解三角形知识计算ABG

即得答案.

【详解】（1）如图：假设G是△PBC的垂心，则：BGPC，

又因为AG平面PBC，PC平面PBC，

所以AGPC，又AGBGG,AG,BG平面ABG，

所以PC平面ABG，AB平面ABG，

所以PCAB，又因为PA底面ABC，

所以PAAB，又PAPCP,PA,PC平面PAC，

所以AB平面PAC，所以ABAC，与底面ABC是正三角形矛盾，

所以G不是△PBC的垂心.

（2）因为AG平面PBC，

所以ABG为所求的AB与平面PBC所成角大小，

取BC中点F，连结AF,PF，

不妨设AB2,GFt，则：AF3,PG2t,PF3t，

因为AG平面PBC，所以：AGPF，

又因为PA底面ABC，所以PAAF，

所以在三角形PAF中，有AF2GFPF3t2，

所以t1，所以AG2，又AB2，

所以ABG，

4

所以AB与平面PBC所成角大小为.

4

变式2（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，DAB90，AB3，CD2，

AD1，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得二面

角AEFB的大小为．

(1)证明：AB//平面CDF；

(2)已知90，

（ⅰ）求AB与平面EFDA所成角的大小；

（ⅱ）求多面体DAEFCB的体积．

【答案】(1)证明见解析

5

(2)（ⅰ）90；（ⅱ）

6

【分析】（1）通过证明所以平面AEB//平面CDF，即可证得AB//平面CDF；

（2）（ⅰ）由题可证EB平面EFDA，则BAE是AB与平面EFDA所成角，然后可求正切值即可得到

角；

（ⅱ）由VDAECBVBADEFVBCDF即可求多面体体积.

【详解】（1）由题意知DF1，因为EF//AD，AB//CD，

所以AEFD是平行四边形，所以AE//DF，故AE//DF，

又因为DF平面CDF，AE平面CDF，所以AE//平面CDF；

同理由EB//FC，可得EB//平面CDF，

又EB、AE是平面AEB内的两条相交直线，

所以平面AEB//平面CDF；

又AB平面AEB，所以AB//平面CDF．

（2）（ⅰ）由题意知，平面EFDA平面AEB，且交线为EF，

又EBEF,EB平面AEB，所以EB平面EFDA，

所以BAE是AB与平面EFDA所成角．

在AEB中，AE1，EB2，所以tanBAE2，

故AB与平面EFDA所成角的大小为arctan2．

111115

（ⅱ）VVVS四边形EBSEF121．

DAECBBADEFBCDF3ADEF3CDF3326

变式3（25-26高三上·上海·月考）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2,ACAA12，且D、

E分别是AC、A1C1的中点.

(1)证明：ACBE；

(2)求直线BD与平面ABE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【答案】(1)证明见解析

2

(2)arcsin

3

【分析】（1）结合题意先通过线线垂直得到AC面BDE,进而得到ACBE；

（2）利用等体积法，求出点D到面ABE的距离为d，借助线面角的定义即可求出线面角.

、

【详解】（1）证明：在直三棱柱中ABCA1B1C1中，因为D、E分别是ACA1C1的中点,所以DE//AA1,

由直三棱柱ABCA1B1C1中AA1面ABC,

所以DE面ABC，因为AC在面ABC内，所以DEAC,

因为在ABC中，ABBC2，且D是AC的中点,所以BDAC,

因为DEBDD,且DE、BD在面BDE内，

所以AC面BDE,因为BE在面BDE内,所以ACBE.

（2）等腰ABC中，ABBC2，AC2，从而BD1，

11

所以S△11，

ABD22

，

由DE面ABC，且DEAA12

1111

所以VS△DE2，

EABD3ABD323

1

VV，

DABEEABD3

令点D到面ABE的距离为d，

11

则有VS△d，

DABE3ABE3

ABE中，AB2，AEBE5,

2

123

从而S25.

ABE

222

2

所以d，

3

d2

设直线BD与平面ABE所成角为，则sin,

BD3

2

所以直线BD与平面ABE所成角的大小为arcsin.

3

【考点4向量法求线面角】

例4（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，AB2PA2AC8，

N为AB上一点且满足3ANNB，M，S分别为PB，BC的中点.

(1)求证：CMSN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

π

(2)

4

【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，计算出CMSN0，即可证明；

（2）求出平面CMN的法向量n，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角；

【详解】（1）因为PA平面ABC，ABAC，

如图以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，

则A0,0,0,B8,0,0,C0,4,0,P0,0,4,M4,0,2,S4,2,0,N2,0,0，

所以CM4,4,2,SN2,2,0，

因为CMSN4242200，

所以CMSN.

（2）设平面CMN的法向量nx,y,z，CN2,4,0，

nCM04x4y2z0

则，即，取y1，得n2,1,2，

2x4y0

nCN0

又SN2,2,0，

设直线SN与平面CMN所成角为，

nSN62π

则sincosn,SN，又0,，

SNn32222

ππ

所以，所以直线SN与平面CMN所成角的大小为.

44

变式1（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13.

(1)证明：平面A1BD平面ACC1A1；

(2)求直线DD1和平面A1BD所成角大小.

【答案】(1)证明见解析

22

(2)arcsin

11

【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明BD平面ACC1A1，再根据面面垂直的判定定理完成证明；

（2）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出直线DD1和平面A1BD所成角的正弦值，则所成角的大

小可求.

【详解】（1）连接A1B,A1D,BD,AC,A1C1，如图所示，

因为几何体为正四棱柱，所以四边形ABCD为正方形，所以ACBD，

因为几何体为正四棱柱，所以AA1平面ABCD，又BD平面ABCD，所以AA1BD，

因为AA1ACA，AA1,AC平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1，

又因为BD平面A1BD，所以平面A1BD平面ACC1A1；

（2）以D为原点，以DA,DC,DD1方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

A2,0,3,B2,2,0,D0,0,0,D0,0,3

因为ABAD2，AA13，所以11，

所以，

DB2,2,0,DA12,0,3,DD10,0,3

设平面A1BD的一个法向量为nx,y,z，

DBn2x2y0

所以，取x3，则y3,z2，所以n3,3,2，

DA1n2x3z0

设直线DD1和平面A1BD所成角为，

DD1n622

所以，所以22，

sincosDD1,narcsin

1111

DD1·n322

22

所以直线DD1和平面A1BD所成角大小为arcsin.

11

变式2（25-26高三上·上海·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，M,N分

别为BC,PD中点．

(1)求证：MN//平面PAB；

(2)若PAAB,PA平面ABCD，求直线MD与平面AMN所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

45

(2)

15

【分析】（1）取PA的中点E，连接EN，BE，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得MN//BE，从

而得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出直线MD的方向向量与平面AMN的法向量的坐标，再求出这两个向量的

夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值．

【详解】（1）取PA的中点E，连接EN，BE，

因为底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为BC，PD中点，

1

可得EN//AD，且ENAD，

2

1

而BM//AD，且BMAD，

2

所以EN//BM，且ENBM，

所以四边形BENM为平行四边形，

所以MN//BE，

而MN平面PAB，BE平面PAB，

所以MN//平面PAB；

（2）由题意以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

若PAAB，则D0,2,0，B2,0,0，C2,2,0，P0,0,2，

则M2,1,0,N0,1,1，

所以MD2,1,0,AM2,1,0,AN0,1,1，

设平面AMN的法向量为nx,y,z，

nAN0yz0

则，即，

2xy0

nAM0

令x1，则n1,2,2，

所以nMD2204,n1443,MD415，

nMD445

所以cosn,MD，

nMD3515

设直线MD与平面AMN所成角为，

45

则sincosn,MD．

15

变式3（24-25高二上·上海·期中）如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为2的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1

的交点，O为AC与BD的交点．

(1)证明：C1O//平面AB1D1；

2

(2)若点C1到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高；

2

(3)若线段CC1上存在点P，使得直线AP与平面AB1D1所成角为60，求线段CC1的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

6

(2)

3

(3)6,．

【分析】（1）连接AO1，可证AO1//OC1，根据线面平行的判断定理可得C1O//平面AB1D1；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1h，则可用h表示平面AB1D1的法向量，根据距离公式可求h.

（3）设P2,2,t,0th，则根据夹角公式可得关于t的方程，利用换元法可求h的取值范围.

【详解】（1）证明：连接AO1，

因为ABCDA1B1C1D1是底面边长为2的正四棱柱，

所以AA1CC1,AA1//CC1，

故四边形AA1C1C为平行四边形，则ACA1C1，AC//A1C1，

又为与的交点，为与的交点，

O1A1C1B1D1OACBD

所以AOO1C1，且AO//O1C1，

故四边形AOC1O1为平行四边形，

所以AO1//OC1，又AO1平面AB1D1，OC1不在平面AB1D1内，

所以C1O//平面AB1D1；

（）以A为坐标原点，分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

21A1B1,A1D1,A1A

则B12,0,0,D10,2,0,C12,2,0，设AA1h，则A0,0,h，

设平面ABD的一个法向量为，

11mx,y,z,B1A2,0,h,B1D12,2,0

mB1AmB1A2xhz0

则，则，

mB1D1mB1D12x2y0

hhh

令z1，则xy，故m,,1，

222

hh

0,2,0,,1

B1C1m22h2

点C1到平面AB1D1的距离为：，

mh2h2h22

11

442

6

解得h，

3

6

故正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为h；

3

（3）

设AA1h，则A0,0,h，

hh

由（2）知平面AB1D1的一个法向量为m,,1，

22

设P2,2,t,0th，则AP2,2,th，

APmht3