2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第09讲 双曲线（原卷版）

第09讲双曲线

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定

点叫做双曲线的焦点，两�焦1,�点2间的距离叫做双曲线的焦距．�1�2

对于双曲线的定义，有以下理解:

在双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、

“”F1F2

右焦点，则有如下两种情形:

若点满足，则点在双曲线的左支上．

(1)P|PF2||PF1|2a(a>0)P

(2)若点P满足|PF1||PF2|2a(a>0)，则点P在双曲线的右支上．

补充讲解：若，即，则根据平面几何知识，当时，

(1)2a|F1F2|||PF1||PF2|||F1F2||PF1||PF2||F1F2|

动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点

PF2|PF2||PF1||F1F2|PF1

方向向左的一条射线；

若，即，则与三角形两边之差小于第三边相矛盾，故此时动点的

(2)2a|F1F2|||PF1||PF2|||F1F2|“”P

轨迹不存在；

特别地，当时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直

(3)2a=0|PF1||PF2|PF1F2

平分线．

知识点2：双曲线的标准方程

．焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，焦点分别是，，，．

1x221(a>0b>0)

��

22

�−�=�1−�0�2�0

焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，焦点分别是，，，．

2.y221(a>0b>0)

��

22

�−�=�1−�0�20�

3.a，b，c三者的关系为．且a＞0，b＞0，c＞0.

222

新疆

王新敞

其中a与b的大小关系:可�以=为�a+�b,ab,ab奎屯

在双曲线的标准方程中，长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是

斜边，如图所示．

补充讲解：(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．

焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若

(2)F1F2

x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．

(3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．

x2y2

(4)双曲线的标准方程的特征是1(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为

数Ⅰ数Ⅱ

Ax2By21(AB0)，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法．

椭圆与双曲线的比较如下表：

椭圆双曲线

定义

|MF1||MF2|2a|MF1||MF2|2a

与

2a|F1F2|

2a|F1F2|2a|F1F2|

的关系

a2b2c2c2a2b2

a,b,c的关系

ab0,c0a0,b0,c0

x2y2y2x2x2y2y2x2

标准方程1或1(ab0)1或1(a0,b0)

a2b2a2b2a2b2a2b2

焦点在x轴上焦点在x轴上

图象

知识点3：求双曲线方程的方法

方法内容已知条件或适合题型

通过对条件的分析，根据定

已知a,b,c的值或动点M满足

定义法义确定轨迹是双曲线，求出

MF1MF22a

a,b并写出方程．

由已知条件确定双曲线的类型，设方程，已知双曲线上某点的坐标

待定系数法

代入已知数据，求待定系数或焦点坐标或焦距

①确定动点满足的等量关系，列出方程；

①已知动点满足某种规律；

②建立动点坐标x,y与中间变量

相关点法②已知动点与已知曲线上

x,y之间的关系，消去x,y后得到方

0000的动点之间的关系

程

知识点4：双曲线的相关性质

x2y2y2x2

－＝1－＝1

标准方程a2b2a2b2

(a>0，b>0)(a>0，b>0)

图形

范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)

ba

渐近线y＝±xy＝±x

性质ab

c

离心率e＝，e∈(1，＋∞)

a

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做

实虚轴

双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系c2＝a2＋b2

补充讲解：1．等轴双曲线

新疆

王新敞

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线奎屯

新疆

王新敞

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e2奎屯

22

新疆

王新敞

等轴双曲线可以设为：xy(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯

2．共渐近线的双曲线系

bkb

如果已知一双曲线的渐近线方程为yxx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：

aka

x2y2x2y2

新疆

王新敞

1(k0)或写成奎屯

(ka)2(kb)2a2b2

3．双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限

内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方

逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画

新疆

王新敞

出完整的双曲线奎屯

4．离心率

2cc

新疆

王新敞

双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率奎屯范围：e1

2aa

bc2a2c2

双曲线形状与e的关系：k1e21，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，

aaa2

新疆新疆

王新敞王新敞

这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔奎屯由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯

5．共轭双曲线

新疆

王新敞

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯区别：三

新疆

王新敞

量a,b,c中a,b不同（互换）c相同奎屯

新疆新疆

王新敞王新敞

共用一对渐近线奎屯双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯

新疆

王新敞

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1奎屯

x2y2

共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为(0)，当0时

1k2

新疆

王新敞

交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯

6.准线方程：

yy

F2

A2

F1A1OA2F2xOx

A1

F1

x2y2a2

对于1来说，相对于左焦点F(c,0)对应着左准线l:x，相对于右焦点F(c,0)对应着

a2b211c2

a2

右准线l:x；

2c

a2b2

新疆新疆

王新敞王新敞

位置关系：xa0奎屯焦点到准线的距离p（也叫焦参数）奎屯

cc

y2x2a2

对于1来说，相对于上焦点F(0,c)对应着上准线l:y；相对于下焦点F(0,c)对应着

a2b211c2

a2

下准线l:y

2c

7．焦点弦：

新疆

王新敞

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦奎屯

焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：

设两交点

A(x1,y1)B(x2,y2)

当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

新疆

王新敞

过左焦点与左支交于两点时：奎屯

AB2ae(x1x2)

新疆

王新敞

过右焦点与右支交于两点时：奎屯

AB2ae(x1x2)

当双曲线焦点在y轴上时，

新疆

王新敞

过左焦点与左支交于两点时：奎屯

AB2ae(y1y2)

新疆

王新敞

过右焦点与右支交于两点时：奎屯

AB2ae(y1y2)

8．通径：

2b2

新疆新疆

王新敞王新敞

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯直接应用焦点弦公式，得到d奎屯

a

【题型1双曲线的定义】

x2y2

例1（23-24高二下·上海·月考）设P是双曲线1上一点，F1,F2分别是双曲线左右两个焦点，若

1620

PF19，则PF2等于（）

A．1B．17C．1或17D．5或13

x2y2x2y2

例2（24-25高二下·上海宝山·月考）若椭圆1（mn0）和双曲线1（s,t0）有相同

mnst

的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是（）

1

A．ntB．(nt)C．m2s2D．ms

2

x2y2

变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：1上，F1，F2别是双曲线C的左、右

169

焦点，若PF1F2的面积为20，则点P到x轴的距离为且PF1PF2．

x2y2

变式2（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线Γ:1（a0）的左､右焦点分别为F1､F2.经过F2且

a29a2

π△

倾斜角为的直线与交于第一象限的点A，延长AF2至B，使ABAF1.若BF1F2的面积是63，则双

3

曲线的离心率为.

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）在ABC中，点A为动点，两定点B,C的坐标分别为2,0，2,0，

1

且满足sinCsinBsinA，求动点A的轨迹方程．

2

【题型2双曲线的标准方程】

y2x2

例3（23-24高二上·上海宝山·月考）“m1”是“方程1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）条

m1m5

件

A．充分非必要B．必要非充分条件

C．充要D．既非充分也非必要

15

例4（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点A2,3，B,2，则双曲线的标准方

3

程是．

x2y2

变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）以椭圆1的焦点为顶点，且过点3,6的双曲线标准方程

1625

是．

变式2求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)焦点在x轴上，a25，经过点A5,2；

(2)经过A7,62、B27,3两点．

x2y2

(3)过点P2,2，且与椭圆1有相同焦点双曲线方程.

94

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为F7,0，直线yx1

2

与其相交于M、N两点，线段MN中点的横坐标为，求此双曲线的方程．

3

【题型3双曲线几何性质的简单应用】

y2x2

例5（22-23高二上·上海长宁·期末）双曲线1的焦点坐标为（）

54

A．(1,0)B．(0,1)C．(±3,0)D．(0,±3)

x2y25

例6（22-23高二下·上海浦东新·月考）已知双曲线1的离心率e，实半轴长为4，则双曲线的

a2b24

方程为.

变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）双曲线2x2y2k的焦距是10，则实数k的值为．

k

变式2（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线y（k0，k为常数）在第一象限的焦点坐标是.

x

变式3（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)焦点在x轴上，a25，经过点A5,2；

x2y2

(2)过点P(2,2)，且与椭圆1有相同焦点双曲线方程．

94

【题型4求双曲线的离心率（或范围）】

例7（25-26高二上·上海浦东新·月考）三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外

一个顶点的双曲线的离心率为．

x2y2

例8（24-25高二下·上海·期中）直线l与双曲线:1a0,b0的左、右两支分别交于A、B两点，

a2b2

与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（A,C,D,B从左到右依次排列），若OAOB，且AC，CD，

DB成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是．

22

22xy

变式1（23-24高二下·上海·月考）设圆xy2x4y40与双曲线1的渐近线相切，则双曲线

a2b2

的离心率为．

1

变式2（24-25高二下·上海·月考）若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为.

2

变式3（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，

F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF124，椭圆与双曲

线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是．

变式4（24-25高二下·上海静安·期中）设b0．如图，在平面直角坐标系xOy中，AxA,yA是双曲线

22

xy222

C:1和圆C2:xy4b在第一象限内的交点，曲线C由C1中满足xxA的部分和C2中满足

14b2

xxA的部分构成．

(1)若xA6，求b的值；

(2)设b5，F1、F2分别为C与x轴的左、右两个交点．第一象限内的点P也在C上，且PF18，求F1PF2

的大小；

2

bb2

(3)过点S0,2作斜率为的直线l．若l与C恰有两个不同的公共点，求b的取值范围以及双曲线C1

22

的离心率的取值范围．

【题型5直线与双曲线】

例9（23-24高二下·上海·月考）如果直线l经过双曲线9x24y236的中心，且与该双曲线不相交，则l的

斜率的取值范围是（）

333333

A．,B．,,C．0,D．,0

222222

y2

例10（25-26高二上·上海·月考）曲线x21是双曲线，过点P(1,1)与C恰有一个公共点且斜率存在的

4

直线的所有可能斜率之和为.

变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）直线ykx2与双曲线x2y22有且只有一个交点，那么实数k

的值是．

x2y2

变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线ykx1与双曲线1有且仅有一个公共点，则实

44

数k的取值为．

2

2y

变式3（23-24高二下·上海·期中）双曲线x1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双

b2

曲线交于A,B两点．

π

(1)若l的倾斜角为，FAB是等边三角形，求b的值；

21

(2)设b3，若直线l的斜率等于2，求A,B两点的横坐标之和．

【题型6双曲线有关的最值，定值问题】

x2

例11（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线Γ:y21和直线l:x1，A,B是双曲线Γ的左，右顶点，P

3

是双曲线Γ上异于A,B两点的任意一点，直线AP,BP分别交直线l于M,N两点，设PMN,PAB的外接圆

S1

面积分别为S1,S2，则的最小值为（）

S2

12

A．B．

49

34

C．D．

1625

x2y2

例12（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线1上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任

43

意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k1，k2，则k1k2．

变式1已知P为双曲线x2y21右支上的一个动点，若点P到直线yx2的距离大于m恒成立，则实数m

的取值范围是.

2

2y

变式2（25-26高二上·上海·月考）双曲线C:x1的左焦点为F1．

3

(1)过点F1作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若AB3，求斜率k；

(2)点P在双曲线上，Q5,0，求PQ的最小值．

y2

变式3（24-25高二下·上海金山·月考）已知双曲线x21的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线

3

1

与的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x交于M，N两点，记△APQ的面积为S1，AMN

2

的面积为S2.

(1)求双曲线的离心率；

(2)求证：kAPkAQ为定值；

S

(3)求1的取值范围.

S2

x2y2

变式4（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线C：1a0,b0的离心率为2，点3,1在双曲

a2b2

线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．

(1)求双曲线C的方程．

(2)若M2,0，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不

存在，说明理由．

(3)点P4,2，直线AP交直线x2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1k2为定值．

一、填空题

1．（24-25高二下·上海·月考）若方程9x2ky29k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于．

x2y2

2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）双曲线1a0的右焦点到渐近线距离为.

a22

x2y2

3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值

3mm1

范围是.

4．在ABC中，AB5,AC7,BC6，则以B,C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为.

x2

5．（24-25高二下·上海·月考）已知p0，若双曲线y21的右焦点恰好是抛物线y22px的焦点，则

3

p．

6．（24-25高二上·上海·期中）直线ykx1与双曲线4x2y216只有一个交点，则实数k的值为．

x2

7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知双曲线C:y21a0的焦距为25，则它的两条渐近线的夹

a2

角的余弦值为．

y2

8．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线x21b0的一条渐近线与直线y3x2平行，则

b2

b．

22

9．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知O为坐标原点，A､B是双曲线xy1的右支上任意两点，则OAOB

的取值范围是.

x2

10．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为kk0的直线l过双曲线C:y21的上焦点F，与双

4

曲线C的上支交于A,B两点，FA3FB0，则k的值为．

11．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：2x2y22，过点P1,2的直线l与双曲线C交于M、

N两点，若P为线段MN的中点，则弦长MN.

22

、xy

12．（24-25高二下·上海·月考）已知F1F2是双曲线:1(a0,b0)的左右焦点，l是的一条渐

a2b2

近线，以F2为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为3，则sinPF1F2．

二、单选题

222222

13．（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知方程bxakxbab0ba0的根大于a，则实数

k满足（）

bb

A．kB．k

aa

aa

C．kD．k

bb

14．（24-25高二下·上海闵行·月考）已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存

在上的点Q（P,Q不重合），使得：（1）直线OP与OQ的斜率乘积为定值；（2）线段PQ的中点M在一条固

定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲

线；下列判断正确的是（）

A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，

②不成立

x2y2

15．（25-26高二上·上海·期中）若双曲线1a0,b0上存在点P与右焦点F关于其渐近线对称，