2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第08讲 椭圆（原卷版）

第08讲椭圆

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：椭圆的定义

1．椭圆的第一定义

平面内与两个定点的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两

个定点F1、F2叫做椭圆�的1,焦�2点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．

2．椭圆的第二定义

平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半

焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．

3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a（a＞0）}．

（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；

（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；

（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．

【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨

迹才为椭圆．

知识点2：椭圆的标准方程

椭圆标准方程的两种形式：

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．

两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2

两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

标准方程

（a＞b＞0）（a＞b＞0）

中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上

图形

顶点A（a，0），A′（﹣a，0）A（b，0），A′（﹣b，0）

B（0，b），B′（0，﹣b）B（0，a），B′（0，﹣a）

对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b

2b焦点在长轴长上

焦点在长轴长上

焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）

焦距|F1F2|＝2c（c＞0）|F1F2|＝2c（c＞0）

c2＝a2﹣b2c2＝a2﹣b2

离心率

e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）

准线

x＝±y＝±

知识点3：椭圆的离心率

1离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1．

��

离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

②��

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，

方程为x2+y2＝a2．

【题型1椭圆的定义】

x2y2

例1设P是椭圆1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为（）

64

A．6B．22C．4D．26

例2平面内点P到F13,0、F23,0的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）

x2y2x2y2

A．1B．1

2592516

y2x2y2x2

C．1D．1

2592516

x2y2

变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆1上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点．若PF16，

10036

则PF2．

2

x2

变式2（24-25高二下·上海·月考）已知F1,F2分别为椭圆C:y1的两个焦点，P为椭圆上一点，则

4

PF1PF2的最大值为.

x2y2

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆1的两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于M、

43

△

N两点，则F1MN的周长为．

【题型2椭圆的标准方程】

x2y2

例3（25-26高二上·上海浦东新·月考）方程1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）

m26m

A．2,6B．2,22,6

C．2,6D．2,

例4（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为F10,3,F20,3，且长半轴的长等于5，则该椭圆的

标准方程为.

x2y2

变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为2，则m＝．

10m

变式2求焦点在x轴上，焦距为26，且过点3,2的椭圆的标准方程．

变式3（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.

53

(1)两个焦点的坐标分别为F12,0，F22,0，并且椭圆经过点,

22

(2)椭圆经过点P23,1和Q3,2.

【题型3椭圆几何性质的简单应用】

例5（25-26高二上·上海·月考）下列椭圆中，短轴长等于焦距的是（）

x2y2

A．1

43

y2

B．x21

5

x2y2

C．1

84

x2y2

D．1

45

例6（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为

一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面m千米，远地点（离地面最远的点）B距离

地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（）

千米

A．2mRnRB．mRnRC．2mnD．mn

变式1（25-26高二上·上海·月考）点P(x,y)在曲线3x24y212上运动，则x22y的最大值为

x2y2

变式2（25-26高二上·上海嘉定·月考）若椭圆的方程为1，且椭圆的一个焦点为2,0，则

10aa2

实数a

x2

变式3（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆C:y21a0的焦距为42，点A2,0.

a2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P是椭圆C上任一点，求PA的最大值与最小值.

【题型4求椭圆的离心率（或范围）】

例7（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（）最接近圆.

x2y2x2y2

A．1B．1

491612

C．x29y236D．5x23y230

例8（22-23高二上·上海宝山·月考）如果椭圆的焦距､短轴长､长轴长成等差数列，则其离心率为（）

3139

A．B．2C．D．

53410

x2y2

变式1曲线1的离心率为．

1312

x2y2x2y2

变式2（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线1和椭圆1有共同的焦点，则椭圆的离心率

m22n22m2n2

是．

x2

变式3（25-26高二上·上海·期中）已知a1，椭圆C：y21．

a2

(1)若椭圆C的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆C的方程和离心率e；

(2)设点P的坐标为2,0，Q为椭圆C上的动点，若Q为椭圆C右顶点时，PQ取到最小值，求a的取值范

围．

【题型5直线与椭圆】

x2y2

例9已知2bac，则直线ax+by+c=0与椭圆1的位置关系是（）

65

A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能

x2y2

例10若直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是．

5m

x2y2

变式1（25-26高二上·上海·月考）若过点P1,n的任意直线均与椭圆1相交，则实数n的取值范围

65

是．

x2y2

变式2（25-26高二上·上海·期中）若直线ymx2与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则n的

9n

取值范围是

x2mx

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点P(m,n)在椭圆C：y21之外，作直线l：ny1．证

22

明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点．

【题型6椭圆的中点弦问题】

x2y2

例11若椭圆1的弦AB被点P1,1平分，则AB所在直线的方程为（）

94

A．9x4y130B．4x9y130

C．x2y30D．x3y30

x2y2

例12（25-26高二上·上海·期中）若椭圆1的弦被点1,1平分，则这条弦所在的直线方程是.

84

x2y2

变式1（24-25高二上·上海·期中）过椭圆C：1(ab0)右焦点F的直线l：xy20交C于A、

a2b2

1

B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为.

2

x2y2

变式2已知A,B是椭圆C:1的两点，AB的中点P的坐标为4,1．

369

(1)求直线AB的方程；

(2)求A,B两点间距离．

x2

变式3求所有斜率为1的直线被椭圆y21所截得线段的中点的轨迹．

4

【题型7椭圆有关的最值，定值问题】

x2MD

例13已知过点D（2，0）的直线l与椭圆y21相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则

3MA

的最小值为（）

23266

A．B．C．2D．

332

x2y2

例14（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知F1，F2是椭圆Γ:1的两个焦点，点M在椭圆Γ上，则

95

11

的最大值为．

MF1MF2

x2y2

变式1点A,B是椭圆C:1ab0的左、右顶点，M是椭圆上不同于A,B的任意一点，若直线

a2b2

4

AM,BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为.

9

x2y2

变式2（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆C：1过点M0,2，且右焦点为F2,0．

a2b2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若PAmAF，PBnBF，求证：mn为

定值．

x2y23

变式3（25-26高二上·上海·月考）已知椭圆C:1ab0的离心率为，它的顶点构成的四边

a2b22

形面积为4，过点m,0作x2y2b2的切线l交椭圆C于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.

一、填空题

1

1．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的离心率为，焦点是3,0,3,0，则椭圆方程为.

2

2．（23-24高二下·上海·月考）已知点F13,0,F23,0，有PF1PF26，则点P的轨迹是.

22

xy

3．该椭圆C:1的左右焦点为F1,F2，点P是C上一点，满足F1PF290，则F1PF2的面积

369

为．

x2y2

4．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆1的焦距是2，则实数k．

k3

x2y2

5．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点A3,0，椭圆B：（1a＞0）的右焦点为F，若线段AF的

a3

中点C恰好在椭圆B上，则椭圆B的长轴长为.

6．（24-25高二·上海·随堂练习）设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距

地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为.

22

xy222

7．（24-25高二上·上海·课堂例题）设P为椭圆1上任意一点，其中cab，F1为它的一个焦

a2b2

点，则PF1的最大值为，最小值为．

22

xy

8．（24-25高二上·上海·月考）在椭圆1上任意一点P，左右焦点分别为F1,F2，若有FPFP1，

4212

则点P纵坐标的取值范围为.

x2y2

9．已知P是椭圆1上一个动点，F1是椭圆的左焦点，则PF1的最小值为．

2516

x2y2

10．（24-25高二下·上海·期末）直线l与椭圆1交于A，B两点，F为椭圆左焦点.则△ABF周长最

42

大值是.

x2y2

11．（25-26高二上·上海·期中）已知点Mx，y在椭圆1上运动，则xy的最大值为．

416

x2y2

12．直线l过点P3,2，且与曲线C:1交于A,B两点，若APPB，则直线l的方程为.

2516

二、单选题

x2y2x2y2

13．椭圆1与椭圆1m9的（）

9259m25m

A．长轴相等B．短轴相等C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等

14．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系xOy中，“m0”是“方程x2my21表示的曲线是椭圆”

的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

15．（24-25高二下·上海宝山·期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心

率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC、BD（如图），且

9

两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）

16

3793

A．B．C．D．

44162

16．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进

入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭

圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别

表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

c1c2

①a1c1a2c2；②a1c1a2c2；③c1a2a1c2；④．