2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第06讲 圆的方程（原卷版）

第06讲圆的方程

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：圆的标准方程

1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和

半径.

2.标准方程：圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是（）（）.

22

2

3.图例：�−�+�−�=�

若点M(x,y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2；反之，若点M(x,y)的坐标适

合方程(xa)2(yb)2r2，则点M在圆C上.

知识点2：圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径长为r(其中a，b，r都是常数，r>0).设M（x，y）为该圆上任意

一点，那么圆心为C的圆就是集合P=.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)

�|𝑀=�

满足的关系式为（）（）=r①，①式两边平方，得（）（）

2222

2

�−�+�−��−�+�−�=�

知识点3：求圆的标准方程

求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．

（1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦

的垂直平分线的交点一定是圆心．

（2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确

定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的

定形条件．

知识点4：点与圆的位置关系

圆：222，其圆心为，半径为，点，

C(xa)(yb)r(r0)C(a,b)rP(x0,y0)

设22

d|PC|(x0a)(y0b).

位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点

点在圆外222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆上222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆内222

dr(x0a)(y0b)r

知识点5：圆的一般方程

1．定义

当＞时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其

2222

中圆心为�（+�−，4�0），半径r�=+�+��+��+.�=0

��122

2．推导过程−2−22�+�−4�

把圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开，并整理得x2y22ax2bya2b2r20.取

D2a,E2b,Fa2b2r2，

得：x2y2DxEyF0①.

DED2E24F

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得(x)2(y)2.

224

DE1

当且仅当D2E24F0时，方程表示圆，且圆心为(,)，半径长为D2E24F；

222

DEDE

当D2E24F0时，方程只有实数解x,y，所以它表示一个点(,)；

2222

当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

知识点6：待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

【题型1圆的标准方程】

例1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点3,4，且过原点，则它的方程为（）

2222

A．x3y45B．x3y425

2222

C．x3y45D．x3y425

222

例2（24-25高二下·上海徐汇·期中）曲线C1:ysinx，C2:xyrrr0公共点的个数（）

A．没有B．有，且为奇数个C．有，且为偶数个D．有，但不能确定几个

变式1（25-26高二上·上海·期中）已知圆M的圆心在直线2xy10上，且点3,0和0,1均在圆M上，

则圆M的标准方程为．

变式2（23-24高二上·上海·月考）以A0,1,B2,1为直径端点的圆的标准方程为.

变式3（22-23高二上·上海奉贤·月考）已知圆心C1,1且经过点A1,3圆的标准方程为．

【题型2点与圆的位置关系】

例3（22-23高二上·上海长宁·期末）已知点1,1在圆x2y2axa0外，则实数a的取值范围为（）

A．1,B．1,0

C．1,04,D．,04,

例4（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点P(1,5)，则该点与圆x2y225的位置关系是．

变式1（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ-1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值

范围是

变式2（20-21高二上·上海浦东新·月考）若过点M(1,1)可作圆x2(y2m)210的两条切线，则实数m的

取值范围为.

变式3（23-24高二下·上海·期末）已知圆C经过点A(2,3)和B(2,5)，且圆心在直线l:x2y30上，求

圆C的方程．

【题型3圆的一般方程】

例5（20-21高二上·上海徐汇·月考）已知圆x2y22mx(4m2)y4m24m10的圆心在直线

xy70上，则该圆的面积为（）

A．4B．2C．D．

2

例6（25-26高二上·上海青浦·月考）方程x2y22x4ya0表示圆，则a的取值范围为

变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足OPAP4，

则点P的轨迹方程是.

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过A3,2、B1,1、C2,1三点的圆的方程．

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求圆C:x2y24x2y30关于点M1,1对称的圆的方程．

【题型4求参数范围】

例7（22-23高二上·上海闵行·月考）当m变化时，不在直线1m2x2my23m20上的点所成区域

33

xy

G,Px,y是区域G内的任意一点.则22的取值范围是（）

3x2y2

33

A．,1B．1,2C．,1D．2,3

22

例8（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆C的方程为x2y22xt0，则实数t的取值范围为.

变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）若方程x2y22xmy50表示圆，则m的取值范围为.

变式2（25-26高二上·上海·期中）若方程x2y22x3ym0表示圆，则实数m的取值范围是

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x2y22ax4ay6a10表示圆，求a的取值范围，并求

出圆心坐标和半径．

一、填空题

1．（24-25高二下·上海·月考）圆x24xy20的半径为

2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）以C1,1为圆心，且经过M2,3的圆的方程是.

3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程x2y22ax2y50表示圆，则实数a的取值范围为．

4．（23-24高二下·上海·月考）已知圆心为C1,3，半径r3，写出圆的标准方程．

5．（24-25高二上·上海·期末）以C3,4为圆心，3为半径的圆的一般方程是.

6．（22-23高二下·上海宝山·期末）若2x2m2my22mxm0表示圆，则实数m的值为.

7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆x2y22x2y10的圆心到直线xy10的距离是．

8．（25-26高二上·上海·期中）设A2,1,B4,1，则以线段AB为直径的圆的方程

是.

9．（22-23高二上·上海宝山·期中）方程x2y22aya0表示圆，则实数a的取值范围是.

10．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C:x2y26x2y150，则圆C的圆心坐标为.

11．（22-23高二下·上海浦东新·月考）若点1,1在圆x2y2xay10外，则实数a的取值范围是.

12.（25-26高二上·上海·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，

在建造时，每隔3m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为（精确到0.01m）．

二、单选题

13．（23-24高二下·上海·期中）方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是（）

111

A．m1B．m1C．mD．m或m1

444

．（高二上上海浦东新期末）已知点，，曲线22，2，则点，

1420-21··P(ab)C1:xy1C2:y1x“P(ab)

在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知2a2x2a1y22x10表示圆，则实数a的值为（）

11

A．1B．1C．D．

22

2

16．（24-25高二上·上海·期中）在商场A正东3公里处新落成一家商场B，其占地面积是A面积的，研究

3

表明，在仅考虑A和B两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度F受其面积S，及住户家离商

kS

场距离d的影响，满足关系：F，其中k是大于0的常数，则相比于商场A，商场