小学六年级数学《求阴影部分面积》练习题

小学六年级数学《求阴影部分面积》练习题一、引言在小学六年级的数学学习中，“求阴影部分面积”是我们经常会遇到的一类题型。这类题目不仅考察同学们对基本平面图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等）面积公式的掌握程度，更重要的是考察大家观察图形、分析图形以及运用所学知识解决复杂问题的能力。阴影部分的形状往往不是单一的基本图形，而是由多个基本图形组合、重叠或剪切而成，因此需要我们具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力，灵活运用各种解题策略。二、解题策略与方法归纳在解决求阴影部分面积的问题时，我们通常可以采用以下几种常用方法：1.公式法：当阴影部分本身就是一个我们学过的基本规则图形（如三角形、正方形、扇形等）时，可直接运用相应的面积公式进行计算。这是最直接、最简单的方法。2.和差法：这是最常用的方法之一，包括“整体减空白”和“分割求和”。*整体减空白：如果阴影部分是一个大的规则图形中扣除掉一个或几个小的规则图形后的剩余部分，那么阴影部分面积=整体图形面积-空白部分面积之和。*分割求和：如果阴影部分可以分割成两个或多个我们学过的基本规则图形，那么阴影部分面积=各分割图形面积之和。3.平移法与旋转法：当阴影部分的图形比较分散或不规则时，可以尝试通过平移、旋转等方式，将分散的阴影部分组合成一个或几个规则的图形，再进行面积计算。这种方法能化繁为简，化不规则为规则。4.添补法（或补形法）：有时，我们可以将原图形添补成一个更大的规则图形，使得阴影部分成为这个大图形中一个更容易计算的部分，再利用和差法求解。在实际解题过程中，往往需要我们仔细观察图形特点，综合运用以上多种方法。三、典型例题精析例题1：直接求积法如图，一个正方形的边长为5厘米，其内部有一个最大的圆，求这个圆（阴影部分）的面积。思路分析：阴影部分是一个圆，且该圆是正方形内最大的圆，说明圆的直径等于正方形的边长。解答：圆的直径=正方形边长=5厘米，所以圆的半径r=5÷2=2.5厘米。圆的面积S=πr²=3.14×(2.5)²=3.14×6.25=19.625(平方厘米)答：阴影部分面积是19.625平方厘米。例题2：整体减空白法如图，一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，在它的内部有一个半径为2厘米的半圆（非直径边与长方形的边重合）。求图中阴影部分的面积。思路分析：观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去半圆的面积。解答：长方形面积=长×宽=8×5=40(平方厘米)半圆的半径r=2厘米，半圆面积=(1/2)πr²=0.5×3.14×2²=0.5×3.14×4=6.28(平方厘米)阴影部分面积=长方形面积-半圆面积=40-6.28=33.72(平方厘米)答：阴影部分面积是33.72平方厘米。例题3：分割求和法如图，一个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米。在梯形内有一个以梯形上底为直径的半圆和一个以梯形下底为直径的半圆，两半圆均在梯形内部，求图中阴影部分的面积之和。思路分析：阴影部分由两个部分组成，分别是梯形上底半圆和下底半圆的部分区域。但仔细观察可以发现，这两个半圆的直径之和等于梯形的上底加下底，且它们的面积可以直接计算并相加。（此处假设阴影部分恰好是这两个半圆，具体图形需配合想象，核心是分割成两个半圆求和）解答：上底半圆的半径r1=4÷2=2厘米，面积S1=(1/2)πr1²=0.5×3.14×2²=6.28(平方厘米)下底半圆的半径r2=6÷2=3厘米，面积S2=(1/2)πr2²=0.5×3.14×3²=14.13(平方厘米)阴影部分面积=S1+S2=6.28+14.13=20.41(平方厘米)答：阴影部分面积之和是20.41平方厘米。例题4：平移与旋转法如图，一个边长为6厘米的正方形，分别以其四个顶点为圆心，边长的一半为半径，在正方形内画弧，四条弧相交形成的阴影部分（类似花瓣形）的面积是多少？思路分析：直接计算“花瓣”面积较复杂。观察发现，每个“花瓣”可以看作是由两个相同的弓形组成，而每个弓形是扇形减去一个等腰直角三角形的结果。正方形有四个顶点，即有四个这样的扇形（四分之一圆）。四个扇形拼起来正好是一个完整的圆。这个圆的面积比正方形的面积多出的部分，正好是阴影部分（四个花瓣）的面积。（或者理解为：每个花瓣由两个弓形组成，四个花瓣共八个弓形，每个扇形有两个弓形，四个扇形八个弓形，即圆面积减正方形面积等于阴影面积）解答：正方形边长为6厘米，所以扇形半径r=6÷2=3厘米。一个扇形面积=(1/4)πr²，四个扇形面积=4×(1/4)πr²=πr²=3.14×3²=28.26(平方厘米)正方形面积=6×6=36(平方厘米)阴影部分面积=四个扇形面积（即一个整圆面积）-正方形面积=28.26-36？不对，这里应该是正方形面积减去四个空白部分。或者换个思路：每个空白部分是正方形面积减去两个扇形（即半个圆）后的四分之一？可能之前的思路有误。正确的经典“方中圆”类花瓣面积应该是：4个半圆（即两个整圆）的面积之和减去正方形的面积。因为每个花瓣的一半是半圆的一部分。假设以边长为直径作半圆，四个顶点，应该是两条对角线方向各两个半圆。哦，原题描述是“以四个顶点为圆心，边长的一半为半径”，那么每个扇形的圆心角是90度，半径3cm。四个这样的扇形（90度）拼起来是一个半径为3cm的圆。这个圆在正方形内部，其与正方形的重叠部分之外的区域，或者说，圆的面积比正方形中心那个正方形（边长为6-3*2=0，但不对）。看来最初的思路“圆面积-正方形面积”得到的是负的，显然不对。应该是正方形面积减去四个空白角的面积。每个空白角是正方形的一个角减去一个扇形（四分之一圆）。每个空白角面积=正方形一个角的直角三角形面积（这里就是边长为3cm的等腰直角三角形）-四分之一圆面积？不，空白角就是正方形的一个角被扇形切去后的剩余部分。所以空白角面积=(3×3)-(1/4)πr²=9-7.065=1.935平方厘米。四个空白角面积=4×1.935=7.74平方厘米。所以阴影面积=正方形面积-四个空白角面积=36-7.74=28.26平方厘米。咦，恰好等于那个圆的面积。哦！原来如此，因为四个扇形（四分之一圆）的面积之和就是一个整圆的面积，而这四个扇形覆盖的区域正好是除了四个空白角之外的部分，所以正方形面积=四个扇形面积（圆面积）+四个空白角面积。因此，阴影部分如果是四个扇形覆盖的重叠与非重叠部分的总和，那就是圆面积。但原题描述是“四条弧相交形成的阴影部分（类似花瓣形）”。看来这个例题的图形理解对解题至关重要。如果是花瓣形，那确实是圆面积减去正方形中心的一个正方形，但之前的计算显示圆面积是28.26，正方形面积36，所以这个思路可能不适用。或许这个例题更适合用“分割法”，将花瓣分割成8个弓形，每个弓形面积=(1/4)πr²-(1/2)*r*r(等腰直角三角形面积)。每个弓形面积=7.065-4.5=2.565平方厘米。8个弓形面积=8×2.565=20.52平方厘米。这个答案似乎更合理。看来，对于复杂图形，准确理解题意和图形结构是关键。这个例题提醒我们，仔细观察和正确分析图形是前提。由于文字描述图形的局限性，实际教学中配合图形讲解更为重要。此处我们姑且认为正确的阴影面积是通过分割成弓形计算得到的20.52平方厘米，并以此强调仔细观察和灵活运用方法的重要性。四、练习题请运用上述方法，尝试解决以下求阴影部分面积的问题（π取3.14，注意观察图形特点，必要时可在草稿纸上画出图形辅助分析）：1.基础巩固：一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，阴影部分是一个三角形，它的底是长方形的长，高是长方形的宽。求阴影部分面积。2.整体减空白：一个直径为8厘米的圆形纸片，在它的正中心剪去一个直径为4厘米的小圆，求剩余部分（阴影）的面积。3.分割求和：一个边长为5厘米的正方形，分别连接它对边的中点，将正方形分成四个小长方形。阴影部分是其中两个相对的小长方形，求阴影部分面积之和。4.组合图形：一个梯形，上底5厘米，下底9厘米，高4厘米。在梯形的下底上，以梯形的高为直径画一个半圆（半圆在梯形内部）。求梯形内除半圆外的阴影部分面积。5.平移旋转：一个长8厘米、宽5厘米的长方形，在它的一个角上剪去一个边长为2厘米的小正方形。求剪去后图形的阴影部分（即剩余图形）的面积。（此题虽然简单，但如果阴影是指剪去的部分，则直接用公式法；若指剩余部分，则用整体减空白）6.稍复杂综合：一个半径为4厘米的圆形，其中有一个圆心角为90度的扇形是空白部分，求其余阴影部分的面积。7.挑战提升：两个直径均为6厘米的半圆，如图放置（直径在同一直线上，且圆心重合？或直径相连形成一个整圆？此处假设是两个半圆拼成一个直径为6厘米的整圆，阴影部分是圆内一个最大的正方形）。求这个圆内最大正方形（阴影部分）的面积。8.思维拓展：一个边长为4厘米的正方形，以它的每条边为直径，在正方形内部画半圆。四条半圆相交，求所形成的阴影部分（类似四叶花瓣）的总面积。五、参考答案与提示1.提示：直接运用三角形面积公式。阴影部分为三角形，底=10cm，高=6cm。答案：30平方厘米。2.提示：环形面积=外圆面积-内圆面积。外圆半径4cm，内圆半径2cm。答案：37.68平方厘米。3.提示：每个小长方形的长为5cm，宽为5÷2=2.5cm。阴影为两个小长方形。答案：25平方厘米。（5×2.5×2=25，其实就是正方形面积的一半）4.提示：阴影面积=梯形面积-半圆面积。梯形面积=(5+9)×4÷2=28平方厘米。半圆直径为梯形的高4cm，半径2cm。答案：28-6.28=21.72平方厘米。5.提示：若阴影为剩余部分，则用长方形面积-小正方形面积。8×5-2×2=40-4=36平方厘米。答案：36平方厘米。（若阴影为剪去部分，则为4平方厘米，需根据图形判断，此处按剩余部分理解）6.提示：阴影面积=圆面积-扇形面积。扇形为四分之一圆。圆面积=3.14×4²=50.24平方厘米，扇形面积=50.24÷4=12.56平方厘米。答案：50.24-12.56=37.68平方厘米。7.提示：圆内最大正方形的对角线等于圆的直径。直径6cm，半径3cm。正方形对角线=6cm，设正方形边长为a，则a²+a²=6²，2a²=36，a²=18，即正方形面积为18平方厘米。答案：18平方厘米。8.提示：每个边为直径作半圆，共四个半圆（直径4cm，半径2cm），总面积为4×(1/2)πr²=2×3.14×4=25.12平方厘米。正方形面积=4×4=16平方厘米。阴影部分面积=四个半圆面积之和-正方形面积=25.12-16=9.12平方厘米。（四个半圆正好能覆盖正方形，重叠部分即为花瓣阴影）答案：9.12平方厘米。六、总结与提升求阴影部分面积的题目千变万化，但万变不离其宗。只要我们熟练掌握基本图形的面积公式，善于观察图形的构成，灵活运用“公式法”、“和差法”、“分割平移旋转法”等解题策略，将复杂问题转化为简单问题，就能迎刃而解。在解题过程中，要注意以下几点：*仔细审题，观察图形：看清