第十一章6概率与统计综合题

§11.6概率与统计综合题目录TOC\o"13"\h\u题型1：求复杂事件的概率问题 2题型2：概率与统计综合问题 11频率分布直方图与概率 11回归分析与概率 17独立性检验与概率 24题型3：概率统计与数列的综合 32题型4：概率统计与导数的综合 41【强化训练】 48

题型1：求复杂事件的概率问题方法提炼求解概率计算的综合问题的“三步曲”第一步,确定事件的性质:古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验,把所给问题归结为四类事件中的某一类.第二步,判断事件的运算:和事件、积事件,即至少有一个发生,还是同时发生，分别运用加法、乘法公式.第三步,运用公式:小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解．故选：C．（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（

）【答案】BC【难度】0.65【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】根据题意求解概率，即可结合条件概率以及并事件的概率公式求解.故选：BC如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等，故选：A.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班的女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】由题意设出事件，写出事件的概率以及条件概率，利用全概率公式，可得答案.【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”，“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为．故选：D．【答案】；．【难度】0.65【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、计算条件概率则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件，故答案为：；．【答案】ABD【难度】0.65【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，故选：ABD（多选）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、利用贝叶斯公式求概率故选：C【难度】0.4【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率【分析】根据题意，抽到任何一个袋子的概率为，结合每个袋子中取出白球的概率，利用全概率公式列出等式，计算结果即可．第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：从而第三次取出的是白球的种数为：甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为.【答案】【难度】0.4【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出样本空间、计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情况，即可得解.设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形：故答案为：.某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．(1)求甲获得冠军的概率；(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立重复试验的概率问题【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.（2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.【详解】（1）设“甲胜丙”；“乙胜丁”；“甲胜乙”；“甲胜丁”；“甲获得冠军”，所以甲获得冠军的概率是.（2）记“决赛中甲获胜”，“比赛打满5盘”，甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，题型2：概率与统计综合问题频率分布直方图与概率某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；【难度】0.65【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、频率分布直方图的实际应用【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值.（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解.由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.(1)求a，b的值；【难度】0.65【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、频率分布直方图的实际应用、独立重复试验的概率问题(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）(2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）(3)已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）【答案】(1)不能据此判断(2)(3)0.72【难度】0.65【知识点】null、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算条件概率、总体百分位数的估计【分析】（1）由题干无法得出各成绩层次近视率的情况即可判断结果；（2）先估算出第85百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得结果；【详解】（1）因从题干频率分布直方图不可以看到，不同成绩层次的同学近视率的情况，故不能据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.(1)求频率分布直方图中的值；(2)分布列见解析【难度】0.65【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，，能求出的值，进而估计出概率；（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；若采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，的分布列为：0123由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50，回归分析与概率根据历史资料显示，某种疾病的自然痊愈率为20%．为深入研究该种疾病的痊愈情况与患者身体素质指标的关系，研究人员收集了部分患者的数据，其中8名患者的身体素质综合评分x（满分100分）和痊愈所需时间y（天）的数据如下表所示：编号12345678x4050607080903020y302520151083640(1)根据表中数据，得到痊愈所需时间和身体素质综合评分近似为线性相关关系，建立y关于x的一元线性回归模型（的计算结果精确到小数点后2位）；(2)根据（1）所求的经验回归方程，计算2号患者痊愈时间的残差；(3)某药企针对该疾病研发了一种新药，认为该药可将治愈率提高到80%．医院为检验其疗效，把此药给6个病人服用，试验方案为：若这6个病人中至少有3人痊愈，则认为这种药有效；否则认为这种药无效．求经此试验认定该药无效的概率p，并根据p值的大小解释试验方案是否合理．(2)【难度】0.65【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、建立二项分布模型解决实际问题、求回归直线方程【分析】（1）利用最小二乘法求得回归方程即可；（2）利用（1）的回归方程求得预测值，进而可求得残差；（3）利用二项布求得新药无效的概率，进而分析试验方案的合理性即可.所以这位患者的痊愈天数的预测值为25.4（3）将6个病人服用新药视为6重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率为0.8，且每个病人是否痊愈是相互独立的．由题意可知，如果新药是有效的，则当痊愈的病人数不超过2人时，认定新药无效，此时作出了错误的判断．因为作出错误判断的概率很小，属于小概率事件，所以试验方案是合理的．某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：样本号12345第天12345参观人数2.42.74.16.47.9(1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；(2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．(2)【难度】0.65【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、计算条件概率、求回归直线方程答：第10天入校参观的人数约为14.99千人．答：他们从不同门进校的概率为．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：日期月日月日月日月日月日第天参观人数(2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.【难度】0.65【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的方差、相关系数的计算、求回归直线方程【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程；（2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，故的分布列为：随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份123456收入（百万元）6.88.616.119.628.140.0(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程；(3)该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．参考数据：19.872.8017.50113.756.30(3)【难度】0.65【知识点】利用全概率公式求概率、求回归直线方程、非线性回归【分析】（1）由散点的分布在一条曲线附近，即可选择非线性的.（2）由对数运算，结合最小二乘法即可求解，（3）由概率的乘法公式，结合全概率公式即可求解.（3）设事件为“实验车报废”，事件为“只有一车碰撞实验车”，事件为“恰有两车碰撞实验车”，事件为“三车碰撞实验车”，利用全概率公式得所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．独立性检验与概率喜欢拿铁喜欢美式男性顾客7080女性顾客9060(2)从这名顾客中随机选择名，已知其中至少有名女性顾客，求这名顾客都喜欢拿铁的概率.【答案】(1)认为顾客性别与喜欢的咖啡无关【难度】0.65【知识点】独立性检验解决实际问题、利用对立事件的概率公式求概率、卡方的计算、计算条件概率【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较，即可得出结论；（2）根据条件概率的公式计算得解.【详解】（1）零假设：顾客性别与喜欢的咖啡口味无关.（2）设事件“所选的2名顾客至少有1名女性顾客”，事件“所选的2名顾客都喜欢拿铁”.

年龄次数7555325820344030每周次及以上882416青年中年合计体育锻炼频率低体育锻炼频率高合计附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；(2)分布列见解析，；(3).【难度】0.65【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值、利用贝叶斯公式求概率【分析】（1）根据已知完善列联表，求出卡方值，结合独立检验的基本思想得结论；（2）由分层抽样确定区间人数，再应用超几何概率的求法求对应概率，写出分布列，进而求期望；【详解】（1）提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，青年中年合计体育锻炼频率低13090220体育锻炼频率高70110180合计200200400即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.依题意，的所有可能取值分别为0、1、2，所以的分布列为：012某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注情况合计关注不关注大学生高中生合计(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，40(2)同学应该选择方案一【难度】0.65【知识点】完善列联表、独立事件的乘法公式、卡方的计算（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.【详解】（1）由题意可将列联表补充完整如下：学生群体关注情况合计关注不关注大学生高中生合计记选择方案一通过的概率为，无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.晴天雨天命中4530不命中5200.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828(2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.【答案】(1)答案见解析(2)（i）分布列见解析，（ii）【难度】0.65【知识点】独立性检验解决实际问题、二项分布的均值、卡方的计算、利用二项分布求分布列【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断；（2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得【详解】（1）零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关晴天雨天合计命中453075不命中52025合计5050100根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.X的分布列如下：X0123P题型3：概率统计与数列的综合方法提炼高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：市外游市内游合计男生14620女生81220合计221840(2)在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)无关联【难度】0.65【知识点】独立性检验解决实际问题、构造法求数列通项、计算条件概率【分析】（1）算出卡方值，再根据独立性检验提供的表格对照进行判断即可；【详解】（1）解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联．即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联．（2）解：①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅，即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为．某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：性别排球喜欢不喜欢男生78122女生11288（i）求；0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以认为是否喜欢排球与性别有关联.【难度】0.65【知识点】独立性检验解决实际问题、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、求离散型随机变量的均值【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可；【详解】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联.随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据．男性网民女性网民合计喜欢网络文学4560105不喜欢网络文学554095合计100100200(1)判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关；(2)某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜．（i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望；0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)没有把握；【难度】0.65【知识点】独立性检验解决实际问题、构造法求数列通项、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值【分析】（1）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可.（2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）求出的递推公式，利用构造法求出通项公式，再按奇偶分类讨论求出的最小值.（2）（i）X的可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为X0123P所以的最小值为6.性别男生女生合计报名参加答题活动未报名参加答题活动合计100①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)填表见解析；该校学生报名参加答题活动与性别有关联【难度】0.65【知识点】错位相减法求和、独立性检验解决实际问题、计算条件概率、求离散型随机变量的均值【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的值判断即可；（2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望；性别男生女生合计报名参加答题活动301545未报名参加答题活动203555合计5050100假设该校报名参加答题活动与性别没关联．即该校学生报名参加答题活动与性别有关联．题型4：概率统计与导数的综合方法提炼在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式、数列的有关性质去实现.(1)求二等品质量指标值的范围及一件产品为一等品或二等品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)用样本的频率分布作为总体的概率分布．【难度】0.65【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量所以一件产品为一等品或二等品的概率为0.49．由频率分布直方图得，汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素，我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业快速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份2017201820192020202112345销量万辆1012172026(1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破100万辆；(2)为了了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.【难度】0.65【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程【分析】（1）定义法求线性回归方程，列不等式预测；（2）①先求出购置新能源汽车人数的性别占比，即可结合回归方程得到预测值；电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：线上宣传投入金额（万元）203040506070游客满意度评分（分）606570788085(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；【难度】0.65【知识点】相关系数的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题所以的分布列为：345②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜，【强化训练】（多选）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件【答案】ACD【难度】0.65【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；故选：ACD．（多选）下列命题中正确的为（

）【答案】ACD【难度】0.65【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、计算条件概率【分析】根据条件概率以及相互独立的定义即可求解AC，举反例即可求解B,根据互斥事件的概率公式，即可求解D.故选：ACD哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为.【答案】【难度】0.65【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解.记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，故答案为：；.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为．【答案】【难度】0.65【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球，故答案为：；.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】(1)4(3)【难度】0.65【知识点】独立事件的乘法公式、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解；（3）独立事件的乘法公式即可求解.从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时,使用组中值与频率可估计平均数为（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率【答案】(1)【难度】0.65【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、用频率估计概率【分析】（1）用频率估计概率即可求解；（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望；故的分布列如下表：（3）设为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，统计他们的月均消费次数，得到如下频数分布表：月均消费次数12345678人数406080120120502010(1)从全国各地大学城中随机抽取8000名消费者，估计这8000名消费者中月均消费额大于2000元的人数及样本中500名样本消费者的月均消费额的众数及平均数．(2)从月均消费次数超过5次的样本消费者中按照月均消费次数分层抽样，从中抽取n个人，抽取的月均消费6次的人数比月均消费8次的多4人．①求n的值；②若从抽取的n个人中再随机抽取2个人给予礼品奖励，求这2人的月均消费次数不都是6次的概率．【答案】(1)960，750，1140(2)①8；②【难度】0.65【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，从而即可求出月均消费额大于2000元的人数，根据频率分布直方图即可求出众数和平均数；（2）①根据频数分布表即可求解；②利用分层抽样的定义，列举法及古典概型即可求解．500名样本消费者的月均消费额的众数为750元；500名样本消费者的月均消费额的平均数为（2）①月均消费次数超过5次的样本消费者有80人，②利用分层抽样抽取的8人中，月均消费6次的有5人，分别记为，，，，，月均消费7次的有2人，分别记为，，月均消费8次的有1人，记为c，从这8人中随机抽取2人，，，，，，共28种，其中这2人的月均消费次数不都是6次的结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校301040乙校202040合计503080(2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率．α0.10.050.010.0050.001xα2.706