河南省新高中创新联盟2025届高三模拟卷一数学（25-X-007C-1）（含答案）

绝密★启用前

普通高等学校招生考试模拟卷一

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知向量a=(4,m—1),b=(m+2,—2),若a⊥b,则m=

A.—2B.—3C.—4D.—5

2.

A.2√3B.2√2C.2D.1

3.已知集合A={x|—1≤x≤3},B={—t,t},若BCA,则实数t的取值范围是

A.[—1,0]B.[0,1]

C.(-1,0)U(0,1]D.(—2,0)U(0,2]

4.已知正数a,b满足4—ab=2b+a,则当取得最大值时，a=

A.4+√6B.4C.3√6—4D.4—√6

5.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N分别在C的两条渐近线上，若

四边形OMFN(O为坐标原点)为正方形，则C的离心率为

AB.2C.√2D.3

6.设S,为数列{an}的前n项和，若S,+3=2an+n,则S₁₀=

A.520B.521C.1033D.1034

【模拟卷一·数学第1页(共4页)】25—X—007C—1

7.函数

A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=e

8.已知,则

AB.a>c>b

C.a≤1D.c²=ab

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知a,b是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有

A.若a//β,a//α,b//β,则a,b平行或相交

B.若a⊥β,a⊥a,b⊥β,则a⊥b

C.若aCα,bCβ,a//β,b//a,则a//β

D.若aCα,bCβ,a//β,a⊥b,则α,β平行或相交

10.坐位体前屈(SitAndReach)是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常

使用电动测试仪进行测试.为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于

2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》,坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之

一.已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩ξ(单位：cm)服从正

态分布N(20,σ²),且P(ξ≥22)=0.1,现从该地区高三女生中随机抽取3人，记ξ不在区间

(18,22)的人数为X,则

A.P(18<ξ<22)=0.9B.E(3X+2)=3.8

C.D(√5X)=2.4D.P(X≥1)=0.476

11.已知O为坐标原点，点F(1,0)是抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交C于

M,N两点，P为C上的动点，且点P位于第一象限，过点P向y轴作垂线，垂足为点Q,点

A(2,5),则

A.C的方程为y²=4xB.∠OPQ+∠FON<180°

C.|PA|+|PQ|的最小值为√26D.△OMN面积的最小值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设a+b√2=(1+√2)?(其中a,b∈Q),则a=

13.已知底面圆半径为1,母线长为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的体

积等于_

14.在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F为线段BD₁的三等分点(E在B,F之

间),一动点P满足PF=2PE,则(PA+PA₁)·(PC+PC₁)的取值范围是

【模拟卷一·数学第2页(共4页)】25—X—007C—1

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

(1)求B;

(2)设a=3,b=3√7.

(i)求c;

(ii)求tanA的值.

16.(本小题满分15分)

某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计

了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下：

月份x12345

不满意的人数y1201051009580

(1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，

求其之间的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数；

(2)工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的

关系，得到下表，试根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断能否认为满意度与性别有

关联?

满意不满意

女客户4812

男客户2218

附：经验回归方程为y=bx+a,其中

,其中n=a+b+c+d.

α0.10.050.010.0050.001

Ta2.7063.8416.6357.87910.828

【模拟卷一·数学第3页(共4页)】25—X—007C—1

17.(本小题满分15分)

已知项数为n(n≥2,n∈N*)的数列{an}满足：a₁+a₂+…+an=0且|十

|an|=3.

(1)若n=4,{an}为等比数列，求a₁的值；

(2)若n=9,{an}是等差数列，求公差d的值.

18.(本小题满分17分)

已知椭圆E:1(a>b>0)的离心率,菱形ABCD的四个顶点都在E上.当菱

形ABCD的四个顶点恰为E的四个顶点时，菱形ABCD的面积是6√2.

(1)求E的方程；

(2)证明：AC与BD的交点为坐标原点O;

(3)求菱形ABCD周长的取值范围.

19.(本小题满分17分)

若函数f(x)满足：Vx₁,x₂∈(0,1),均有|f(x₁)—f(x₂)|≤√x₂一xi成立，则称函数

f(x)为“绝对平方根函数”.

(1)判断f(x)=x—2024是否为绝对平方根函数，并说明理由；

(2)证明：f(x)=xlnx为绝对平方根函数.

【模拟卷一·数学第4页(共4页)】25—X—007C—1

普通高等学校招生考试模拟卷一·数学

参考答案、提示及评分细则

1.D因为a⊥b,所以a·b=0,则4(m+2)—2(m—1)=0,解得m=-5.故选D.

故选B.

,解得-1≤t≤1且t≠0,故实数t的取值范围是(-1,0)U(0,1].故选C.

4.D由4—ab=2b+a,得,∵a>0,b>0,∴0<a<4,∴,令t=4—a(0<t<4),则a一

,当且仅当,即t=√6时取等号，此时a=

4—√6.故选D.

5.C由题意知四边形OMFN为正方形，点M,N分别在C的两条渐近线上，得

C的两条渐近线互相垂直，1,所,故C的离心率为

.故选C.

作

6.C令n=1,则a₁=2,由题意，得S+1+3=2an+1+n+1,与S,+3=2a+n

为

差，得到an+1=2a—1,故an+1-1=2(an1),所以{a-1}是以a₁-1=1

首项，2为公比的等比数列，所以an-1=1×2-¹=2”一¹,所以an=2”-¹+1,所以S,=2”+n-1,所以S₁₀=210

+10—1=1033.故选C.

7.A由题意可得,显然函数y=1—

e—x在R上单调递减，且当x=0时，y=0,故当x<0时，f(x)>0,当x>0时，f'(x)<0,当x=0时，

f(x)=0,故0为f(x)的唯一极值点.故选A.

8.B由题可得

,其中,故a>11,c=ab,所以a>c>b.故选B.

9.BD若a//β,a//a,b//β,则a,b平行或相交或异面，故A错误；若a⊥β,a⊥a,b⊥β,则a⊥b,故B正确；若aC

a,bCβ,a//β,b//α,则a,β平行或相交，故C错误；若aCa,bCβ,a//β,a⊥b,则α,β平行或相交，故D正确.故

选BD.

【模拟卷一·数学参考答案第1页(共6页)】25—X—007C-1

10.BC由ξ~N(20,σ2²),则P(≤18)=P(≥22)=0.1,则P(18<ξ<22)=1-P(≥22)-P(≤18)=

0.8,故A错误；不在(18,22)的概率为P(ξ≥22)+P(≤18)=0.2,则X～B(3,0.2),则E(X)=3×

0.2=0.6,E(3X+2)=3E(X)+2=3.8,故B正确；D(X)=3×0.2×(1—0.2)=0.48,D(√5X)=5D(X)

=2.4,故C正确；P(X≥1)=1-P(X=0)=1—0.8³=0.488,故D错误.故选BC.

11.ABDA选项，由题意知·1,故p=2,所以C的方程为y²=4x,故A正确；B选项，由题意知，PQLy轴，

因此PQ//x轴，所以∠OPQ=∠FOP,所以∠OPQ+∠FON=∠FOP+∠FON=∠NOP,又∠NOP是

△NOP的一个内角，所以∠NOP<180°,即∠OPQ+∠FON<180°,故B正确；C选项，由抛物线的性质知，

PA|+|PQ|=|PA|+|PF|-1,因此当P,A,F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，此时|PA|+|PFl

=|AF|=√(2-1)²+(5—0)²=√26,即(|PA|+|PQI)min=√26—1,故C错误；D选项，由题意，设直

线MN的方程为x=my+1,与抛物线C的方程联立，得y²—4my-4=0,故△=(-4m)²—4×(一4)=

16(m²+1>0,y+y₂=4m,yiy2=-4,所以△OMN的面积为

√16m²+16=2√m²+1,又m²≥0,所以△OMN面积的最小值为2,故D正确.

故选ABD.

12.239a=C+2×C+4×C+8×C=239.

13.由题意可得圆锥的高为h=√I²—r2=2√2,设球O的半径为R,作出组合体

的轴截面，如图所示，

在直角△AOO₁中，可得AO²=AO+0O°,即R²=1²+(2√2-R)²,解得,所以

球O的体积为

14.以点B为原点，分别以BC,BA,BB₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E(1,1,1),

F(2,2,2),设P(x,y,z),|PF|=2|PE|,所以(x-2)²+(y—2)²+(z-2)²=4[(x—1)²+(y-1)²

+(z-1)²],所以3x²+3y²+3z²—4x—4y—4z=0,所以,即点P

到点：的距离恒,所以点P在以，为球心为半径的球面上.设棱AA₁

的中点为M,棱CC₁的中点为N,线段MN的中点为G,显然,所以

,故,(PA+PA₁)·(PC+PC)=4PM·PN=(PM+PN)²—(PM-PN)₂

=4(PG²-MG²)=4PG²-18,,故点G在球S外，故当P,S,G三点共线，并且S在PG

【模拟卷一·数学参考答案第2页(共6页)】25X007C一1

之间时，PG取最大值;当P,S,G三点共线，并且P在SG之间时，PG取最小值,所以(PA+PA₁)·

(PC+PC₁)的取值范围是

15.解：(1)因……………………2分

所以,即

所以

因为0<C<π,0<A<π,所以sinC≠0,sinA≠0,所以

又0<B<π,所以………………………6分

(2)(i)因为b²=a²+c²—2accosB,a=3,b=3√7,,所以63=9+c²—3c…………8分

即c²—3c-54=0…………………9分

而c>0,所以c=9………………10分

(ii)|知…………13分

16.解：(1)由表中的数据可知，

……4分

不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为y=—9x+127………………7分

当x=8时，y=-9×8+127=55,

故预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55…………9分

(2)零假设H₀:服务满意度与性别无关联，

由表中的数据可得

根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，故能认为满意度与性别有关联……………15分

17.解：(1)设等比数列{a}的公比为q,显然q≠1.

由a₁+a₂+a₃+a₄=0,,解得q=-1………3分

由|a₁l+|a₂+|a|+|a4=3,得4|a₁|=3,所以或……………6分

【模拟卷一·数学参考答案第3页(共6页)】25—X—007C-1

(2)由a₁+a₂+…十ag=0,得,所以a₁+4d=0,即a₅=0.………………8分

当d=0时，a₁=a2=…=ag=0,此时|a₁l+|a₂|+…+|an|=0(舍去);

当d>0时，则且a5=0,…………11分

即解得……………13分

当d<0时，则且a₅=0,即解得

综上所述，公差d的值为………………………15分

18.(1)解：设E的半焦距为c,依题意，,所以,所以a=√2b,……………2分

,所以2√2b²=6√2,所以b=√3.……………………3分

所以a=√6,所以E的方程…………………4分

(2)证明：当AC的斜率不存在时，则BD的斜率为0,此时菱形ABCD的顶点为椭圆的四个顶点，故AC与

BD的交点为O;

当AC的斜率为0时，则BD的斜率不存在，此时菱形ABCD的顶点为椭圆的四个顶点，故AC与BD的交

点为O;…………………5分

当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为l:y=kx+m(k≠0),A(x₁,y1),B(x₂,y₂),AB的中点

为T(x',y).

联立得(2k²+1)x²+4kmx+2m²—6=0,………………6分

所以△=16k²m²—4(2k²+1)(2m²—6)=8(6k²—m²+3)>0,且

所以,即

因为菱形的对角线互相垂直平分，故直线BD的方程为

化简，得

同理可得BD中点的横坐标..............................................9分

因为x′=x"且k≠0,所以m=0,即点T(O,0),即AC与BD的交点为坐标原点...........................................10分

【模拟卷一·数学参考答案第4页(共6页)】25—X—007C-1

(3)解：当AC的斜率不存在或斜率为0时，BD的斜率为0或不存在，易得菱形ABCD的边长为3,故其周

长为12.………………………11分

当AC的斜率存在且不为0时，由(1)知联立所得的方程为(2k²+1)x²—6=0,

所以

同理

当且仅当k²=1时等号成立.………………15分

令,则,所以AB∈(2√2,3),即周长的取值范围为

[8√2,12].……………………16分

综上所述，菱形ABCD周长的取值范围是[8√2,12].……………………17分

19.(1)解：f(x)=x-2024是绝对平方根函数.理由如下：

设x₁,x₂∈(0,1),则|f(x₁)—f(x₂)|=|x₁-2024—(x₂-2024)|=|x₁-x₂|=|x₂-x₁|,………2分

令t=√x₂-x₁T∈(0,1),函数g(t)=t²—t≤0,所以t²≤t,故|x₂—x₁I≤√x₂—x₁,4分

即|f(x₁)—f(x2)|≤√x₂-x1,

故函数f(x)=x-2024是绝对平方根函数.………………5分

(2)证明：先证明一个结论：对0有

令g(x)=lnx-x+1,则,易得x∈(0,1)时，g'(x)>0,x∈(1,+∞)时，g'(x)<0,故g(x)在

(0,1)上单调递增，在(1,十∞)上单调递减，所以Vx∈(0,十∞),g(x)≤g(1)=0,故x—1≥lnx(当且仅当

x=1时等号成立),所……7分

所以.……………9分

由f(x)=lnx+1,可知当时，f(x)<0,当时，f(x)>0,

所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.…………10分

【模拟卷一·数学参考答案第5页(共6页)】25—X—007C-1

不妨设x₁≤x₂,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.

情况一：当·时，有|f(x1)一f(x2)|=f(x2)一f(x₁)≤(Inx2+1)(x₂—x₁)≤x₂—x₁≤

√x₂-x₁,结论成立；………………………