2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学模拟题库+答案

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2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学模拟题库+答案1.已知函数$f(x)=x^33x+1$，求证：$f(x)$在实数范围内有两个不同的实数根。

【答案】

证明：首先求导，得到$f'(x)=3x^23$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=1$。

当$x<1$时，$f'(x)>0$；当$1<x<1$时，$f'(x)<0$；当$x>1$时，$f'(x)>0$。

因此，$f(x)$在$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$上单调递增，在$(1,1)$上单调递减。

又因为$f(1)=3$，$f(1)=1$，所以$f(x)$在$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$上分别有一个实数根。

2.设$a,b$是方程$x^2+(m1)x+2=0$的两个实数根，且$a+b=2m3$，求实数$m$的取值范围。

【答案】

解：由题意，$a+b=2m3$，又因为$a+b=(m1)$，所以$2m3=(m1)$，解得$m=1$。

此时方程变为$x^2+0x+2=0$，其判别式$\Delta=0^24\times1\times2=8<0$，所以方程无实数根，与题意矛盾。

因此，不存在满足条件的实数$m$。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$，求该数列的通项公式。

【答案】

解：当$n=1$时，$a_1=S_1=3$。

当$n\geq2$时，$a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+n)(2(n1)^2+(n1))=4n1$。

所以，等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=4n1$。

4.设$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a,b$是实数。若$f(x)$在$x=1$处取得极小值，求$a$的取值范围。

【答案】

解：由题意，$f'(x)=2x+2a$，令$f'(1)=0$，解得$a=1$。

当$a=1$时，$f(x)=x^22x+b$，$f'(x)=2x2$。

当$x<1$时，$f'(x)<0$；当$x>1$时，$f'(x)>0$。

因此，$f(x)$在$x=1$处取得极小值，所以$a$的取值范围为$a=1$。

5.已知函数$g(x)=x^33x^2+4$，求$g(x)$的单调区间。

【答案】

解：求导得$g'(x)=3x^26x$。

令$g'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。

当$x<0$时，$g'(x)>0$；当$0<x<2$时，$g'(x)<0$；当$x>2$时，$g'(x)>

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