2025绵阳市绵中实验中学初升高自主招生考试数学试卷及答案

2025绵阳市绵中实验中学初升高自主招生考试数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：f(x)=x²2x+1=(x1)²，当x=1时，(x1)²取得最小值0。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n

B.an=2n1

C.an=n+1

D.an=n1

答案：C

解析：Sn=n²+n=(a1+an)n/2，所以an=(2Sn/n)a1=(2n²+2n)/na1=2n+2a1。因为an=a1+(n1)d，所以d=2。所以a1=1，an=n+1。

3.若函数g(x)=|x3|+|x5|的最小值为m，则m的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.6

答案：D

解析：g(x)=|x3|+|x5|，当x<3时，g(x)=2x+8；当3≤x≤5时，g(x)=2；当x>5时，g(x)=2x8。所以g(x)的最小值为2，m=6。

4.若三角形ABC的面积为S，且a²=b²+c²2bccosA，则S的值为（）

A.1/2bcsinA

B.1/2absinC

C.1/2acsinB

D.1/2abcosA

答案：C

解析：由余弦定理得a²=b²+c²2bccosA，由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。所以S=1/2bcsinA。

5.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n²n，求证数列{an}是等差数列。

证明：

an=SnSn1=(3n²n)[3(n1)²(n1)]=6n4。

所以an+1an=(6(n+1)4)(6n4)=6，所以数列{an}是等差数列。

6.已知函数f(x)=(x²2x+1)/(x²+x+1)，求函数f(x)的值域。

答案：(∞,1)∪(1,+∞)

解析：f(x)=(x1)²/(x²+x+1)=[(x1/2)²+3/4]/[(x+1/2)²+3/4]。所以f(x)的值域为(∞,1)∪(1,+∞)。

7.解方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y3z=1\\

2xy+z=3\\

x+y+4z=5

\end{cases}

\]

答案：

x=1，y=1，z=1。

解析：将第一个方程乘以2，第二个方程乘以1，第三个方程乘以1，然后相加，得到5x+3y+3z=8。再将第一个方程乘以1，第二个方程乘以2，第三个方程乘以1，然后相加，得到5x+3y+5z=11。解得z=1，代入原方程组，解得x=1，y=1。

8.已知数列{an}满足an=1/(2^n1)，求证数列{an}的前n项和Sn<2。

证明：

an=1/(2^n1)<1/(2^(n1))。所以Sn<1+1/2+1/4+...+1/(2^(n1))=21/(2^(n1))<2。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

答案：[1,+∞)

10.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，则该数列的公差d=（）

答案：4

11.若三角形ABC的面积为S，且a²=b²+c²2bccosA，则cosA的值为（）

答案：1/2

12.已知数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，则该数列的通项公式an=（）

答案：an=n+1

13.若函数g(x)=|x3|+|x5|的最小值为m，则m的值为（）

答案：6

三、解答题（每题20分，共60分）

14.解方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y3z=1\\

2xy+z=3\\

x+y+4z=5

\end{cases}

\]

答案：x=1，y=1，z=1。

解析：将第一个方程乘以2，第二个方程乘以1，第三个方程乘以1，然后相加，得到5x+3y+3z=8。再将第一个方程乘以1，第二个方程乘以2，第三个方程乘以1，然后相加，得到5x+3y+5z=11。解得z=1，代入原方程组，解得x=1，y=1。

15.已知数列{an}满足an=1/(2^n1)，求证数列{an}的前n项和Sn<2。

证明：an=1/(2^n1)<1/(2^(n1))。所以Sn<1+1/2+1/4+...+1/(2^(n1))=21/(2^(n1))<2。

16.已知函数f(x)=(x²2x+1)/(x²+x+1)，求函数f(x)的值域。