2025-2026学年福建名校联盟高三下学期2月开学联考数学试卷（含答案）

数学试题2026.2本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x∣1A.(2,3]B.22.若z=1−i1+iA.1B.-1C.iD.-i3.双曲线C:yA.π6B.π3C.π4.已知随机变量X∼N2,σ2,若PX≤A.-1B.0C.1D.25.已知函数fx=x−A.−32B.32C.6.已知α,β为锐角,若cosα+cosA.74B.75C.177.已知等差数列an的各项均为正数,记其前n项和为Sn,若数列Sn是等差数列,且Sn与aA.18B.14C.8.已知函数fx=ax2+bx+lnx恰有两个极值点，且曲线y=A.0,1e3B.0二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=2sinωx+φω>0,φB.fx在区间−5πC.fx的图象关于点π3D.fx的图象关于直线x=−10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,若弦AB的中点为m,2,则A.F的坐标为C.AB=411.已知棱长为1的正四面体的四个顶点A,B,C,D均在球O的球面上，动点PA.△ABQ面积的最小值为B.若恰有两个点P满足OP=m，则m的取值范围是C.Q到平面ABC和到平面ABD的距离之和为定值D.若∠POQ=π2，则△三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单位向量a,b满足a+b=3a−b13.在△ABC中,已知∠BAC的角平分线交BC于D,AB=14.在平面直角坐标系xOy中,设集合U={x,y∣x,y∈{0,1,2}},从U中随机选取2个不同的元素,其对应的点记为A,B,记事件M为“A,四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)为研究某市高三年级学生身高和性别的关系,随机抽取了200名高三年级学生,得到如下列联表:性别身高合计低于170cm不低于170cm女60m男n90合计90200(1)求列联表中的m,n的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取6人，其中不低于170 cm的人数记为X，求(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关.附:P0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.(15分)记数列an的前n项和为Sn，已知(1)求an(2)设bn=an+1an+1−1an+2−1.记数列bn的前n17.(15分)如图，在三棱锥P−ABC中，△PAB与△PBC均为等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，D是PC的中点，E(1)证明:AB⊥BC(2)若直线AD与平面ACE所成角的正弦值为510，求平面ACE与平面ABC18.(17分)在直角坐标系xOy中,点F−1,0,动点P在直线x=5的左侧,且到直线x=5的距离恒为10−(1)求C的方程；(2)设不经过F的直线l的方程为y=kx+mk>0，已知l交C于M，N两点，且(i)求k的值;(ii)是否存在实数m,使得∠FMN=2∠FNM?若存在,求19.(17分)已知函数fx=lnx,g(1)讨论函数hx=(2)若曲线y=fx和y=gx(3)若存在相异实数m,n,使得fm=gn,且f数学试题参考答案1234567891011CABCBDBDACABDACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.π313.79四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为研究某市高三年级学生身高和性别的关系,随机抽取了200名高三年级学生,得到如下列联表:性别身高合计低于170cm不低于170cm女60m男n90合计90200(1)求列联表中的m，n的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取6人，其中不低于170cm的人数记为X，求X的期望.(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关.附:解:(1)由题意,n=90样本中抽中不低于170 cm的频率为20+将样本频率视为概率,若在全市高三学生中随机抽取6人,其中不低于170 cm的人数记为X,则X∼所以EX=(2)零假设为H0:高三年级学生的身高与性别无关，.8由(1)可知χ2=nad−bc根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H016.(15分)记数列an的前n项和为Sn，已知(1)求an(2)若bn=an+1an+1−1an+2−1，记数列bn的前n解:(1)因为3a1=2S1当n≥2时，3a分所以3an−3an则an是首项为1,公比为3的等比数列,4所以an的通项公式为an(2)易知bn=3n3n−13n+1−1=1213n−117.(15分)如图，在三棱锥P−ABC中，△PAB与△PBC均为等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，D是PC的中点，E(1)证明:AB⊥BC(2)若直线AD与平面ACE所成角的正弦值为510，求平面ACE与平面ABC解:(1)证明:∵△PAB与△PBC∴PA取AC中点O,连接PO,BO,则有PO∵平面PAC⊥平面ABC,PO⊂平面PAC,BO⊂平面ABC,平面∴PO⊥∵PA∴△PAC∴PO=BO在Rt△POB中,有PO=在Rt△BCO中,有OC∴AC=2OC=在△ABC中,易知有A∴AB⊥(2)解:由(1)可知PO⊥AC，BO⊥AC，∴如图所示，以O为原点，分别以OB,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z∴A则AD=0,3,∴OE=设平面ACE的一个法向量为n1=x1令x1=λ,则设直线AD与平面ACE的夹角为α,则sinα解得λ=1易得平面ABC的一个法向量为n2=设平面ACE与平面ABC的夹角为β,∴cosβ=∴平面ACE与平面ABC的夹角的余弦值为22.1518.(17分)在直角坐标系xOy中,点F−1,0,动点P在直线x=5的左侧,且到直线x=5的距离恒为10−(1)求C的方程；(2)设不经过F的直线l的方程为y=kx+mk>0，已知l交C于M，N两点，且(i)求k的值;(ii)是否存在实数m,使得∠FMN=2∠FNM?若存在,求解:(1)设Px,yx<5所以x+分两边平方,化简得C的方程为x25(2)(i)设Mx1由(1)可知MF=5+x所以MF−5由y=kx+m,分所以Δ=100且x1分因此x12因为x12+x22的值与解得k=255分(ii)若存在实数m符合题设,则sin∠FNM=sin所以sin∠FNM因为sinα所以sin∠FNM⋅sin∠在△FMN中,由正弦定理,得MF⋅易知NF−MF>0,且NF−所以MN=1所以MN=3NF−MF,所以3所以25+x1=分由(1)可知x12+x22=5,所以x1=−2,x显然这与l不经过F−1,0矛盾,所以不存在符合题设的实数19.(17分)已知函数fx=lnx,g(1)讨论函数hx=(2)若曲线y=fx和y=gx(3)若存在相异实数m,n，使得fm=gn，且f解:(1)易知hx=当a>0时，h′x>0，当a<0时,令h′x=所以当x∈0,−a时,当x∈−a,+∞时，h′x>0综上所述，当a>0时，hx在区间0,+∞上单调递增；当a<0时，hx在区间0,−(2)曲线y=fx在点x0,整理得,y=x曲线y=gx在点x1,整理得,y=−ax所以1x0=−ax12,ln所以lnx0−1=2a−1ax0,整理得,所以Fx在区间0,1e单调递减,在区间1所以Fx的极小值,也是最小值为F所以−2−a≥−2所以a的取值范围是−1e(3)依题意，lnm=an,ln设an=s,即函数φx=exφ′x=exlna−lnx易知