16.2 二次根式的运算（题型专练）（解析版）

16.2二次根式的运算题型一二次根式的乘法1．计算2×6的值为（A．22 B．23 C．32【答案】B【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简．【详解】解：2×故选：B．2．下列各数中，与2的积为有理数的是（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与2的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案．【详解】解：A、2×2B、3×2C、2×D、3×故选：C．3．计算6×7的结果为【答案】42【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，a×b=【详解】解：6×7=故答案为：42．4．计算：3×12【答案】6【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答．【详解】解：3×故答案为：6．题型二二次根式的除法1．计算12÷3的结果是（A．4 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可．【详解】解：12===2，故选：B．2．方程6x=3A．x=33 B．x=22【答案】B【分析】通过等式变形，将x的系数化为1，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为1求解方程是解题的关键．【详解】解：由6x=3得x=3∴x=故选：B．3．6÷3【答案】2【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键．根据二次根式的除法法则计算即可．【详解】解：6÷故答案为：2．4．273=【答案】3【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】解：273故答案为：3．题型三二次根式的乘除混合运算1．计算15÷4A．1 B．354 C．14【答案】C【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】解：原式==1故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序．2．计算18÷34A．32 B．42 C．52【答案】B【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可．【详解】解：18====42故选：B．3．计算8×2【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法和化简，再进行有理数的除法运算即可求解．【详解】解：8==4÷2=2．故答案为：2．4．计算：3÷3×【答案】1【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可．【详解】解：3÷=3×==1，故答案为：1．题型四最简二次根式的判别1．下列各式是最简二次根式的是（）A．0.3 B．6 C．12 D．【答案】B【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可．【详解】解：A．0.3=B．6是最简二次根式；C．12D．12=故选：B．2．若a是最简二次根式，则a的值可以是（

）A．12 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可．【详解】解：∵a=12∵a=4时，4∵a=8时，8∵a=2时，a=2故选：B．3．任意写出一个最简二次根式．【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键；最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可．【详解】解：一个最简二次根式可以为2，故答案为：2（答案不唯一）．4．在2，0.1，32，a2+b2【答案】3【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：∵0.1=∴0.1不是最简二次根式，∵a2∴a2∴最简二次根式有：2，32，a2+故答案为：3．题型五化为最简二次根式1．化简27的结果是．【答案】3【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可．本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键．【详解】解：27=故答案为：32．将二次根式20化为最简二次根式．【答案】2【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：20=故答案为：253．把下列根式化成最简二次根式：(1)24．(2)40．(3)1.5．【答案】(1)2(2)2(3)6【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．（1）把24写成4×6，然后化简；（2）把40写成4×10，然后化简；（3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，再化简；【详解】（1）解：24=（2）解：40=（3）解：1.5=4．化简：(1)209(2)ba【答案】(1)2(2)b【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．（1）利用二次根式的性质化简即可；（2）利用二次根式的性质化简即可．【详解】（1）解：209（2）解：ba题型六同类二次根式1．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（

）A．18 B．9 C．27 D．0.3【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式．【详解】A、18=3B、9=3C、27=3D、0.3=故选：C．2．下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．3和9 B．2和1C．a2b和ab2 D【答案】B【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可．【详解】A、3已是最简，9=3，所以AB、2已是最简，12=22，化简后被开方数均为C、a2b=ab，ab2D、a+1和a-1故选：B．3．下列各式中，化简后能与2合并的是（

）A．20 B．18 C．23 D．【答案】B【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键．判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并．【详解】解：A：20=4×5=4·B：18=9×2=9·C：23=23=D：0.2=15=5故选：B．4．请写出一个23的同类二次根式【答案】3（答案不唯一）【分析】本题考查同类二次根式的知识，比较简单，注意掌握同类二次根式指化为最简二次根式后，被开方数相同．根据同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同可写出3的同类二次根式．【详解】解：由题意得：23是3故答案为：3（答案不唯一）．5．2与8同类二次根式（填“是”或“不是”）．【答案】是【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．【详解】解：∵8=2∴2与8是同类二次根式．故答案为：是．题型七二次根式的加减运算1．计算32+2A．22 B．-2 C．42【答案】C【分析】本题考查二次根式的加法，掌握算法是解决问题的关键．合并同类二次根式即可．【详解】解：32故选：C．2．计算45-A．25 B．25 C．5 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得．【详解】解：原式=35故选：C．3．能与-34-A．-34-7 B．7+3【答案】C【分析】本题考查二次根式的加减，掌握知识点是解题的关键．根据二次根式的加减，逐项计算判断即可．【详解】解：A．-3B．-3C．-3D．-3故选C．4．计算：32+【答案】4【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数.【详解】解：32故答案为42题型八二次根式的混合运算1．化简：48-12÷A．26 B．6 C．3 D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案．【详解】解：48-故答案为：B．2．下列各式计算正确的是（

）A．53-2C．2×3=【答案】C【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可．【分析】解：选项A：53选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而2与3非同类根式，无法直接相加，故错误．选项C：2×选项D：10÷故选：C．3．下列计算正确的是（

）A．-22=-2C．122=6【答案】D【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项、B选项进行判断，根据二次根式的除法法则对C选项、D选项进行判断即可本题考查了二次根式的运算，熟知以上知识是解题的关键．【详解】解：A、-22B、-1C、122D、6÷故选：D．4．1-2【答案】3-2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；使用完全平方公式展开即可求解．【详解】解：1-故答案为：3-225．计算：23×【答案】2【分析】本题考查二次根式的乘法运算以及加法运算．正确求解是解决本题的关键．先根据乘法分配律展开式子，再分别计算各项乘积，最后进行化简和加法运算．【详解】解：2====2．故答案为：2．3．计算8+28【答案】6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解．【详解】解：8+28-2=8故答案为：6．7．计算：1-23【答案】12-4【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后算加减法即可．【详解】解：1-2=1-4=1-4=12-4337．计算：(1)75-(2)14【答案】(1)6(2)-【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：75=5=（2）解：1===-8．计算：(1)48+(2)20+(3)3+5【答案】(1)53(2)3-23(3)23【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．（1）先根据二次根式的乘法法则运算，再化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后根据二次根式的除法法则运算；（3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．【详解】（1）解：48=4=5（2）解：20===3-2（3）解：3+=9-5-=4-4+2=2题型九比较二次根式的大小1．下列各数中，大于3的数是（）A．22 B．7 C．10 D．【答案】C【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及实数大小的估算解答本题的关键．对选项A、B、C分别与3=9进行比较，选项D估值与3【详解】解：A中，22B，7<C中，10>D中，2π故选：C．2．已知m=32，则下列数中比m大的是（A．23 B．4 C．17 D．【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键．把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解．【详解】∵m=3∴m2A.23，∵232=12<18B.4，∵42=16<18，∴C.17，∵172=17<18，∴D.25，∵252=20>18故选：D．3．比较大小：2310．（选填“>”、“=”、“<”【答案】>【分析】此题主要考查实数的大小，二次根式性质，解题的关键是熟知实数的性质．利用二次根式性质，比较实数的大小即可．【详解】解：∵(23)2∴23故答案为：>．4．比较大小：7667（填“>”或“<【答案】>【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案．【详解】解：∵762=294>∴76故答案为：>．5．比较大小：3-14

3(用“>”、“<”或“=”【答案】<【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解．【详解】解：3-14-3由于3>0，所以-因此-1-3故3-故答案为：<．题型十二次根式的应用1．如图，矩形ABCD中，相邻两个正方形EFGH和MNCD的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（

）A．2 B．4-22 C．22-【答案】C【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可．【详解】解：由图可得，正方形EFGH和MNCD的边长分别为2，∴AE+∴S阴影故选：C．2．如图，从一个大正方形中裁去面积为12cm2和27cm

A．36cm2 B．39cm2 C．【答案】A【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【详解】解：∵两个小正方形面积为12cm2和∴大正方形边长为：12+∴大正方形面积为53∴留下的阴影部分面积和为：75-12-27=36cm故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．3．三角形的一边长是30 cm，这条边上的高是42 A．635 cm2 B．335【答案】B【分析】根据三角形的面积公式S=12【详解】解：由题意得：1故选：B．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的乘法，熟记二次根式乘法法则是解此题的关键，注意将结果化为最简二次根式．4．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为wp=v21600，其中wp为风压（单位：kN/m2），v为风速（单位：【答案】16【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案．【详解】解：由题中给出的公式可知，当风压为0.16kN/m2时，风速为故答案为：16．5．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式t=2hg（不考虑风速的影响，g的值取【答案】该物品落地的时间为25【分析】本题考查二次根式的计算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知条件代入所给公式进行计算，最终化为最简二次根式即可．【详解】解：在t=当h=24t=2×2410答：该物品落地的时间为25306．某居民小区有块形状为长方形绿地ABCD，长BC为128米，宽AB为50米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30

【答案】1680元【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．【详解】解：128=80-2×12=56（平方米），则56×30=1680（元），∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元．题型一根据最简（同类）二次根式求参数的值1．最简二次根式2x-1与11-2x【答案】4【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可【详解】解：由最简二次根式2x-1∴x-解得x=4故答案为：4．2．若最简二次根式8-3k与8能合并，则k的值可以是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．【详解】解：∵最简二次根式8-3k与8∴8-3k解得：k=2故选：C3．若二次根式3m+9是最简二次根式，则m可取的最小整数为（A．1 B．0 C．-1 D．【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．【详解】解：∵3m∴m≥-3，当m=-3时，当m=-2时，3故m可取的最小整数为-2故选：D．4．已知最简二次根式2x-3与5可以合并，则x【答案】4【分析】本题考查了同类二次根式的定义．根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同．【详解】解：由题意，2x-3因此它们是同类二次根式，故被开方数相等，即2x解方程：2x移项得2x解得x=4故答案为：4．5．如果最简根式a+ba+b与【答案】10【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式．根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．【详解】解：∵最简根式a+ba∴a+b=解得：a=-1,∴a2故答案为：10．题型二二次根式中的新定义运算1．用x表示不超过x的最大整数，例如：2.94=2，-3.89=-4．已知mA．4 B．23 C．-4 D．23【答案】A【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出0<2-3<1，根据题中新定义规定可求得m和-m，进而求出a【详解】解：∵1<3<∴-2<-∴0<2-3∵m=2-∴m=∵-m∴-1<∴-m∴a=m-∴1a故选：A．2．对于任意的正数m、n，定义运算为：mⓧn=A．1 B．2 C．2 D．3【答案】C【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算3ⓧ2和【详解】解：∵3>2，∴3ⓧ∵8<12，∴8ⓧ∴3ⓧ故选：C．3．对于正整数n，定义fn=1n+nA．2025-1 B．2026-1 C．【答案】B【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将f(n)【详解】解：∵f∴f==2026故选：B．4．定义两种新运算，规定：a★b=a-b，a☆(1)求5★15☆1(2)求2★1【答案】(1)4(2)x【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程．（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；（2）根据新定义得到方程，进而求解即可．【详解】（1）解：5★1==5-1=4；（2）解：2★===-1∵2★1∴-1方程两边同乘-x(x-解得：x=经检验，x=∴2★1x-题型三二次根式的估算1．估计6×6+A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】D【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可．【详解】解：6×∵1<2<4，∴1<2∴7<6+2故选：D．2．估计3-52×A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算．先将原表达式化为90-5，然后通过估计【详解】解：3-5∵81<90<100，∴9<90∴4<因此，值在4到5之间．故选：C．3．估计314-2A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间【答案】B【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为37-2，然后通过估计【详解】解：∵(3==3=37又∵37∴7<37∴5<37∴原式的值在5与6之间；故选：B．题型四二次根式中与整数部分有关的计算1．已知m=5+1，那么mA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题关键．将m=【详解】解：∵m=∴m∵4<5<9，∴2<5∴13<55∴3<13∵552=125∴55∴55∴3<5∴m+1m故选：C．2．设8-10的整数部分为a，小数部分为b，则a+10A．6 B．210 C．12 D．【答案】A【分析】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练地求解a，b的值是解本题的关键．先判断4<8-10<5得到【详解】解：∵3<10∴-4<-∴4<8-10∴a=4,∴a故选：A．3．已知x-10-x+5A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平方差公式可得x-10-x+5x-【详解】解：x-又∵x-10∴x-10①+②得，解得：x=11∴x=∵9<∴3<11∴与x最接近的整数是3．故选：B．4．若3的整数部分为x，小数部分为y，则3x-y的值是（A．32-3 B．3 C．1【答案】C【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算．先根据算术平方根的定义得到1<3<2，可得x=1， y=【详解】解：∵1<3<4∴1<3∴3的整数部分为1，小数部分为3-∴x=1∴3x故选：C．5．若7的整数部分是a，小数部分是b，求7+abA．7-27 B．3 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出2<7<3，从而可得a=2，b【详解】解：∵4<7<9，∴2<7∵7的整数部分是a，小数部分是b，∴a=2，b∴7+故选：B．6．实数110-3的整数部分a=【答案】610【分析】本题主要考查了分母有理化、估算无理数的大小等知识点，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先进行分母有理化，然后再估算，从而确定其整数部分和小数部分．【详解】解：110∵9<∴3<10∴6<10∴10+3的整数部分为6，即实数110-∴小数部分b=故答案为：6，10-题型五二次根式中较复杂的代数式求值1．已知a=3-12A．-3 B．3 C．-3+2【答案】A【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．先利用a=3-12，分别求出2【详解】解：当a=3-6a所以a2所以2a2=2-3，所以2===-3故选：A．2．设n为正整数且n<126-22A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子126-【详解】解：126-∵49<63<64，∴7<63∴6<63∴6<126∴n=6故选：A．3．当1<a<2时，代数式（aA．2a-3 B．1 C．-【答案】A【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键．根据给定条件1<a【详解】解：∵1<a∴a-∴a-∴2-a∴2-a∴原式=a故选：A．4．已知a-1a=2，则A．22 B．±22 C．23【答案】A【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据a-1a=2推出a+【详解】解：∵a-∴a≥0且a∴a>0∴a>0∴a+∴a+∴a+1a故选：A．5．如果x2-3A．5 B．3 C．5 D．2【答案】C【分析】先根据已知等式求值x+【详解】解：由题意可知，x≠0∵x∴x-3+∴===5故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．6．已知实数m满足2025-m+m-2026A．2025 B．-2025 C．2026 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键．根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可．【详解】解：根据题意得m-解得m≥2026∵2025-∴m∴m∴m∴m故选：C．7．小芬在解决问题：已知a=12+∵a∴(∴a∴a∴2a请你根据小芬的解答过程，解决如下问题：(1)计算：12(2)若a=①求4a②求3a【答案】(1)44(2)①3；②-【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式化简的方法是解题的关键．（1）根据分母有理化法则整理各项，再结合二次根式的加减运算法则计算求解，即可解题；（2）①类比于小芬的解答过程求解，即可解题；②由①可知a2-2a=1，将式子变形为3【详解】（1）解：1=2-===45-1=44；（2）①解：a=∴a∴(即a2∴a∴4a②解：由①可知a23=3=3=-6=-6=-6×1-12=-18．题型六数学文化与二次根式的应用1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222．已知△ABCA．3 B．23 C．33 D【答案】B【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．把a、【详解】解：将a=2S===12故选：B．2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=pp-ap-b【答案】56-7【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可．先计算半周长p，再代入公式求面积S，最后估算S的整数部分并求小数部分m．【详解】解：由题意，p=S=由于49=7<所以S的整数部分为7，小数部分m=S-故答案为：56-7或3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=pp-ap-b【答案】96-9【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可．【详解】解：由题意知，p=∴S∵9<46∴m的值为96-故答案为：96-4．北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a,b,S=S=请选择合适的公式解决以下问题．（1）若一个三角形的三边长分别是5,6,（2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为【答案】262【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键．（1）利用秦九韶公式计算即可；（2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解．【详解】解：（1）由题意得，a=5，b=∴a2b2∴这个三角形的面积S=故答案为：262（2）由题意得，a=5，b=6，∴p=∴这个三角形的面积S=∴这个三角形三条边上的高之和为2×66故答案为：21465．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp-ap-bp-【答案】24【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可．【详解】解：p=∴△ABC的面积==246故答案为：2466．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式S=pp-ap-bp-材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14a2b2-a(1)利用材料1解决下面的问题：当a=(2)利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是a=x+1①当x=2时，请直接写出△②若x是满足0<x≤4的整数，当C△【答案】(1)3(2)①△ABC中最长边的长度为3【分析】（1）依据题意，由a=5,（2）①依据题意，由x=2，则a②依据题意，由0<x≤4，则5-x2=5-x，4-4-x2=4-4-x=本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．【详解】（1）解：由题意，当a=∴p∴p∴p∴S∴三角形的面积为3；（2）解：①由题意，∵x∴a∴△ABC中最长边的长度为3②∵0<x∴5-∴==x∵C△ABC当x=4时，此时三边为5，1，4∵5∴不合题意舍去，当x=3时，三边为2，2，3∵2+2>3，∴C∴==3∴△ABC的面积为3题型七分母有理化1．下列二次根式中，与a+b互为有理化因式的是（A．-a+b B．a-b C【答案】A【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于a+b，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式a+【详解】解：∵a+∴-a+b与故选A．2．化简21+3+A．42 B．43 C．44 D．45【答案】C【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可．【详解】解：原式====45-1=44．3．阅读下列解题过程：1====52===26观察上面解题过程，310-7A．310+7 B．10+7 C．【答案】B【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键．根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案．【详解】解：3====10故选：B．4．【阅读材料】材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式．材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：12+材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：2+3【问题解决】任务一：请写出2的一个有理化因数为______；任务二：11-5与-5【知识应用】（1）请利用分母有理化知识，化简：11+（2）请利用分子有理化知识，比较大小：2025-2024与【答案】任务一：2；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：66-1；（2【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法．任务一：根据有理化因式的定义，寻找与2相乘后结果为有理数的式子；任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式；知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简；（2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论．【详解】解：任务一：∵2∴2的一个有理化因式为2；任务二：∵(=-=-(11-5)=-6，-6∴11-5与知识应用：（1）111⋯165∴1=(=66（2）2025-2024==12026===1∵2026∴1即2026-5．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如53，23，53=5×23=2×323+1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．2323+1=(1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简25(2)【拓展应用】化简：13【答案】(1)5(2)2【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化：（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）先分母有理化，再和并即可求解．【详解】（1）解：方法一：25方法二：25（2）解：1===题型八二次根式中的规律类问题1．观察下列各式：1+13=213，2+14=31A．2019+12021=2020C．2021+12023=2022【答案】C【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为n+1n+2=【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为n+1n∴第2021个等式为2021+1故选：C．2．如图，原图是一块边长为1，面积记为S的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为12正三角形纸板后得到图①，面积记为S1，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图②、③面积依次记为S2，S3，……，记第2025n≥3块纸板的面积为A．341220232 B．34【答案】C【分析】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键．由题意，Sn表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．S2024和S2025分别表示剪去2024个和2025【详解】解：∵第n个被剪去的小正三角形的边长an∴其面积An∵A∴S2024故选：C．3．将一组数2，2，6，22，10，23，…，2n则第七行左起第1个数是．【答案】2【分析】本题考查二次根式中的规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前六行共有21个数，从而可得第七行左起第1个数是第22个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：前六行共有1+2+3+4+5+6=21（个）数，可得第七行左起第1个数是第22个数，∵原组数为2，4，6，8，10，12，⋯，2n，∴第22个数为2×22=2即第七行左起第1个数是211故答案为：2114．观察下列计算：121212……从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：12+1【答案】2009【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【详解】解：1===(=2010-1=2009，故答案为：2009．5．观察下列等式：a1=11+3=3按照上述规律，回答以下问题：(1)请写出第7个等式：________；(2)请写出第n个等式：________；(3)求a1【答案】(1)a(2)a(3)41【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律．（1）从等式中找出规律，第二个等式：5=2×2+1，3=2×2-1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可；（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n（3）a1+a【详解】（1）解：观察，如a2的下标2，与5-3中被开方数：5和3，得出5=2×2+1，3=2×2-1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2写出第7个等式：a故答案为：a7（2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，所以第n个等式为an故答案为：an（3）解：a===题型九求参数的取值范围1．若a-52=5-aA．a>5 B．a<5 C．a≥5【答案】D【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．【详解】解：a∴5-a解得a≤5故选：D．2．若x3+4x2=-A．x≤0 B．x≥-4 C．-4≤【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵x3∴x≤0∴-4≤故选：C．3．已知关于x的方程x2-2x+1A．-3<t<0 B．t>-3且t≠-1 C．t≥-1【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题，解决本题的关键是画出函数图象．设y=x2-2【详解】解：设y==x当x<1时，==1-=5-2x当1≤x<2===3，当2≤x<3===7-2x当x≥3时，===2x∴y=画函数图象如下图，要使原方程恰好有两个实数解，∴y=x2∴1<t+4<3，解得-3<t<-1∴t的取值范围是t>-3且t故选B．4．若代数式(2020-a)2+(A．a≥2023 B．a≤2020 C．a=2020或a【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分a＜2020，2020≤a【详解】解：当a＜原式=2020-a+2023-a当2020≤a原式=a当a＞原式=a故选：D．题型十二次根式中最值问题1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数a，b，∵(∴a∴a+b≥2ab（当且仅当【获得结论】在a+b≥2ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥如：若x>0，则∴x+1x≥2，当且仅当x=1【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若x>0，则2x+(2)已知x>0，m是一个大于0的常数，若m2x2-(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC⊥BD，AC=BD=6【答案】(1)8(2)17(3)8【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式：（1）根据2x（2）根据m2x2（3）设AO=x，则BO=4x，CO【详解】（1）解：根据题意，得2x+8x≥22x⋅故答案为：8（2）m2x2-x+m根据题意，得2m∴16===将2m原式==17．（3）设AO=x，则BO=4xS△因为12x+3x≥212x⋅3所以当12x+3x=12时，2．阅读下面材料：我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：7-6=7-67+67+6=17解：由x+2≥0，x-2≥0可知x≥2，而y=x+2-x-2解决下述问题：(1)由材料可知，________=(2)比较13-12和(3)式子Y=x+1【答案】(1)3(2)13(3)2【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；（2）模仿题干过程，进行整理，即可作答．（3）模仿题干过程，进行整理，即可作答．【详解】（1）解：3-故答案为：3-（2）解：依题意，13-12∴13-12=∵13+∴1∴13-（3）解：x+1∵Y=∴由x+1≥0，x-1≥0则Y当x=1时，分母x+1+∴Y的最大值是221．先化简，再求值：1-ba+b-a【答案】a-2【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出a,b的值，然后把【详解】解：原式=1-=1-=1-==a∵a-∴a-∴a=1,∴原式=1-22．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：2+13+4+5+(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．(2)利用上面的规律，计算12(3)请利用上面的规律，比较2025-2024与【答案】(1)6(2)9(3)2025-【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可；（2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可；（3）将两式都看为分母为1的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可．【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为6+故答案为：6+（2）解：1=2-==10-1=9；（3）解：设a=2025-则a=b=∵2026+∴12025即a>∴20253．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0,b>0时，∵a-(1)当x>0时，x+1x的最小值为；当x<0(2)当x>-1时，求代数式x(3)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为【答案】(1)2，-(2)9(3)75【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．（1）当x>0时，直接根据公式a+b≥2ab计算即可；当x<0时，先将（2）x>-1时，则x+1>0，将原式变形为x+1（3）设S△AOD=x，根据等高三角形的性质得到【详解】（1）解：当x>0时，1x>0∴x+1x当x<0时，-x>0∴-x∴x+∴当x<0时，x+1（2）解：x>-1时，则x==≥2（3）解：设S△∵△AOD与△AOB等高，△COD∴S△由题知S△AOB=12∴12:x∴S△∵S=12+27+324∵324x∴S四边形∴四边形ABCD面积的最小值为75．4．观察下列等式：121314…(1)求下列各式的值：①17+②132③1n+1+n(2)已知x=12+3，y=12-3，若x的整数部分是m