2026届新高考数学三轮热点复习 椭圆

2026届新高考数学三轮热点复习

椭圆(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔_________________；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔__________________；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔_________________．

回归教材Δ>0⇔有______交点⇔相交；Δ＝0⇔有______交点⇔相切；Δ<0⇔_____交点⇔相离．两个一个无【思路】该题有两种解题思路，一是由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式Δ≥0求参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点，可得定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m的不等式，解之即可．m≥1且m≠5【解析】方法一：由椭圆的方程，可知m>0，且m≠5.将直线与椭圆的方程联立，整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝(10k)2－4×(5k2＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0.方法二：因为直线y－kx－1＝0过定点P(0，1)，综上，m的取值范围为m≥1且m≠5.【讲评】本题中的方法二更为简捷，根据直线系方程，抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握直线系方程，另外抓住题中“任意k∈R”这个条件并结合图形，也很容易想到直线必过定点．题型四

直线与椭圆的综合问题【答案】(2)±1状元笔记(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．题型三

中点弦问题(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．【答案】(2)证明见解析【解析】(2)证明：当直线与椭圆相交时，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．状元笔记

中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点的坐标后，代入椭圆方程，并将系了弦中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率．(2)判别式法：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．x＋2y－3＝0【解析】方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∵P在椭圆内，∴此直线与椭圆恒有两个交点，方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，题型三

中点弦问题【答案】不能，理由见解析状元笔记直线与双曲线相交所得弦的中点问题常用点差法，但是点差法只是代数运算，所以还需验证直线与双曲线是否相交．√

思考题3已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(

)一、圆锥曲线第三定义及其应用【人教A版选修一P108例3，P109练习T4】圆锥曲线的第三定义：平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(除去A1，A2两点)，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线(除去A1，A2两点)，当－1<e2－1<0时，轨迹为椭圆(除去A1，A2两点)．√8.7双曲线题型一

双曲线的定义及应用

(1)【多选题】(2025·江苏四校联考)已知圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则Q的轨迹可能为(

)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线

D．圆√√√【解析】连接QA，MA，因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以|QA|＝|PQ|，若A在圆M内部，且不为圆心，则|MA|<4，|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝4，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确．若A在圆M外部，则||QA|－|QM||＝||PQ|－|QM||＝|PM|＝4，|MA|>4，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确．若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M.若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确．不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．故选ABD.【解析】由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.243【解析】方法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2方法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直状元笔记(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即轨迹是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点的位置．

思考题1

(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________________．【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2，则A，B分别在MC1和MC2上，

根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.4【解析】如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，且|PQ|＝|PF2|，M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，题型二

双曲线的标准方程

根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2，2)；【解析】(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将(2，2)代入上述方程，得22－4×22＝λ，∴λ＝－12.状元笔记求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，注意：①双曲线与椭圆方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线方程的设法：(ⅰ)已知a＝b的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知过两点的双曲线的方程可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；右焦点分别为F1，F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e·sin∠PF1F2＝1，且S△F1PF2＝4a2，则双曲线C的渐近线方程为(

)A．2x±y＝0 B．x±2y＝0C．3x±y＝0 D．x±3y＝0√【解析】设|PF1|＝t(t>0)，则|PF2|＝t－2a，渐近线状元笔记

(4)焦点到渐近线的距离恒为b.线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．【解析】不妨令A在x轴上方，设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，且|FA|＝b，又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点，所以△F1BF为等腰三角形，且|F1B|＝|F1F|.又|FB|＝4b，∴|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，微专题2求双曲线的离心率2【解析】P在以F1F2为直径的圆上，∴∠F1PF2＝90°，又2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∵|PO|＝|OF2|＝c(O为坐标原点)，∴△POF2为等边三角形，√【解析】设坐标原点为O，双曲线的另一个焦点为F′，连接MF′，NF′，由对称性知|OF|＝|OF′|，|OM|＝|ON|，所以四边形MFNF′是平行四边形，√状元笔记双曲线离心率的求法(1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.思考题4

(1)已知双曲线的渐近线方程是2x±y＝0，则该双曲线的离心率等于________________．【思路】因为只知道渐近线方程，无法确定焦点在x轴上还是在y轴上，所以需分情况求解．由渐