2026届新高考数学三轮热点复习二项式定理

2026届新高考数学三轮热点复习二项式定理

二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝______________________________________________．(2)第r＋1项Tr＋1＝_________．(3)第r＋1项的二项式系数为__________________．

二项式定理的常用变形(1)(a－b)n＝Cn0an＋(－1)1Cn1an－1b＋…＋(－1)rCnran－rbr＋…＋(－1)nCnnbn.(2)(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn.

回归教材Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)Cnran－rbrCnr(r＝0，1，…，n)

二项式系数与项的系数的区别(a＋bx)n的展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中第r＋1项的二项式系数是Cnr，而该项的系数是Cnran－rbr.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1＋x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的.

二项式系数的性质(1)对称性：当0≤r≤n时，Cnr与Cnn－r的关系是_____．(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减．①当n为偶数时，第______项的二项式系数最大，最大值为_____，②当n为奇数时，第_______________项的二项式系数最大，最大值为__________________．(3)各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝____，Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝____，Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝____．

相等2n2n－12n－1题型一

求展开式中的特定项(微专题)(2)在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2的展开式中，含x2项的系数是多少？【答案】Cn＋33－1【解析】(1＋x)k(3≤k≤n＋2)中x2的系数为Ck2，从而含x2项的系数是C32＋C42＋…＋Cn＋22＝C33＋C32＋C42＋…＋Cn＋22－1＝C43＋C42＋…＋Cn＋22－1＝Cn＋33－1.(3)(2025·南师大附中模拟)设(2x－3)2023＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2023(x－1)2023，则a2023＝________．22023【解析】∵(2x－3)2023＝[2(x－1)－1]2023＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2023(x－1)2023，∴T1＝C20230[2(x－1)]2023(－1)0，∴a2023＝22023.

二项展开式中特定项的求法(1)求二项展开式中的有理项，是求通项公式中未知数的指数恰好都是整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．(2)求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方法与求有理项一致．状元笔记√∴r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项共有31－6＝25(项)．故选D.(2)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若an＝256，则n＝________，a4＝________．81120【解析】因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，所以an＝(－2)n，又an＝256，所以(－2)n＝256，解得n＝8.又(1－2x)8的展开式的通项为Tr＋1＝C8r(－2x)r＝C8r(－2)rxr，令r＝4，则T5＝C84(－2)4x4＝1120x4，所以a4＝1120.微专题2两个多项式积的展开式

(1)(2025·河北调研)已知(x＋2)4(2x2＋3x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a4＝________．72【解析】(x＋2)4的展开式的通项为Tr＋1＝C4rx4－r·2r，则T2＝C41x3·2＝8x3，T3＝C42x2·22＝24x2，则a4＝24×2＋8×3＝72.－28(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．【解析】(x＋y)8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以

(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.

求几个多项式积的展开式中特定项(系数)的方法(1)对每一个二项式展开，利用多项式乘法法则对其展开即可．(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开．状元笔记√

思考题2

(1)(2019·课标全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(

)A．12 B．16C．20 D．24【解析】由题意得x3的系数为C43＋2C41＝4＋8＝12.故选A.

(2)(2025·河北省高三质量监测)已知(x＋2)2(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a3＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________．4－4【解析】x2·C43·x·(－1)3＋4x·C42·x2·

(－1)2＋4·C41·x3·(－1)＝－4x3＋24x3－16x3＝4x3，故a3＝4.令x＝0，即4＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－4.(3)(x＋2y)5的展开式中，含x3y2项的系数是________．150【解析】(x＋2y)5展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r(2y)r＝2rC5rx5－ryr，则含x3y2的项由

与含x2y3的项相乘产生，或由

与含x4y的项相乘产生，所求系数为2×23C53－2C51＝150.√微专题3三项展开式的特定项(1)(2025·浙江杭州开学考)在

的展开式中，

的系数为(

)A．60 B．－60C．120 D．－120(2)(2025·黑龙江大庆实验中学月考)已知

的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的常数项为(

)A．－40 B．81C．80 D．121√【解析】令x＝1，则a5＝32，解得a＝2.令r－2k＝0，得r＝k＝0或r＝2，k＝1或r＝4，k＝2.∴该展开式中的常数项＝1－C52×2C21＋C54×22×C42＝81.故选B.

求三项展开式中特定项(系数)的方法(1)通过变形先把三项式化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项展开式的通项求解．(3)利用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项需看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．状元笔记√

思考题3

(1)在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为(

)A．－674 B．－675C．－1080 D．1485【解析】(x2－2x－3)5＝(x－3)5(x＋1)5，则x10的系数为1，x2的系数为C54(－3)4C54＋C53(－3)3＋C55(－3)5C53＝－675，所以在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为－675＋1＝－674.故选A.(2)的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)【解析】

表示6个因式x2－

＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－

，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是C63C32×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.－120题型二

展开式的系数和问题

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；【答案】(1)－2【解析】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.

(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)a1＋a3＋a5＋a7；【答案】(2)－1094【解析】(2)(

－

)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝

＝－1094.(3)a0＋a2＋a4＋a6；【答案】(3)1093【解析】(3)(

＋

)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝

＝1093.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【答案】(4)2187【解析】(4)∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．∴由(2)(3)即可得其值为2187.本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法．(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝

，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝

.状元笔记√√√(2)【多选题】(2025·辽宁实验中学校考模拟预测)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则(

)A．展开式中所有项的系数和为－1B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C.D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＝2023√√【解析】令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－2)2023＝－1，A正确；因为n＝2023，所以展开式中二项式系数最大的项为第1012项与第1013项，B错误；令x＝0，则a0＝1，令x＝

，则a0＋

=

＝0，所以

＝－1，C正确；已知关系式两边同时求导，则2023(1－2x)2022×(－2)＝a1＋2a2x＋…＋2023a2023x2022，令x＝1，则a1＋2a2＋…＋2023a2023＝2023×(1－2)2022×(－2)＝－4046，D错误．故选AC.题型三

展开式系数最大值问题

已知

的展开式中前三项的系数成等差数列．(1)求二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．1.二项式系数最大项的确定方法(1)若n是偶数，则中间一项

的二项式系数最大．(2)若n是奇数，则中间两项

的二项式系数相等且最大．2．二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，应用

解出r.状元笔记

思考题5

(1)(2024·全国甲卷，理)的展开式中，各项系数中的最大值为________．5(2)【多选题】关于(a－b)11的说法，正确的是(

)A．展开式中的二项式系数之和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小√√√【解析】由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2048，故A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确．(3)(2023·上海)已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________．49【解析】xk的系数为ak＝C100k2023k＋C100k2023100－k(－1)k＝C100k2023k[1＋2023100－2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak<0，则k必为奇数，且2023100－2k>1，∴100－2k>0，即k<50，∴k的最大值为49.题型四

二项式定理的综合应用(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，则a等于(

)A．0 B．1C．11 D．12√【解析】因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512025＋a＝(52－1)2025＋a＝C20250·522025－C20251·522024＋C20252·522023－…＋C20252024·52－C20252025＋a，因为512025＋a能被13整除，所以－C20252025＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(

)A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34√【解析】1.056＝(1＋0.05)6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋…＋0.056≈1.34.【答案】证明见解析(1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈