组合数-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修三

6.2.4课时2组合数

2.组合数：3.组合数公式：

4.组合数性质：长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程,奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务,需要选拔若干名航天员参加该次任务.例1.北京时间2024年10月30日凌晨4时27分,搭载神舟十九号载人飞船的（1）若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人,且至少有一名女航天员,共有多少种不同的选法?（结果用数字作答）（2）若从7名航天员中选出4名航天员,分配到2个不同的实验室去,每个实验室至少一名航天员,每个航天员只能去一个实验室,共有多少种不同的选派方式?（结果用数字作答）（3）若从7名航天员中选出4名航天员,分配到3个不同的实验室去,每个实验室至少一名航天员,每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加,但不能分配在同一个实验室,请问共有多少种不同的选派方式?（结果用数字作答）解：（1）方法一:“直接法”,分成3种情况讨论:

例2甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球.若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有(

)A.150种B.180种C.300种D.345种

故共有225+120=345种不同的取法.D

解析：4个球中恰有3个红球，可分为两种情况：归纳☆解决组合问题的一般思路

对于“至少”或“至多”取某类元素的组合问题，既可以采用直接法，也可以采用排除法.计数时要做到不重不漏，先分类再计数常可避免重复计数.

首先合理地进行分类或分步，再将问题化归为组合问题，利用组合数计数.例3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？英语6人日语2人1人

解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.（方法一）分两类.

所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)不同的选法.（方法二）设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.

第一类：甲入选.

故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).第二类：甲不入选，可分两步：

综上，共有8+12=20(种)不同的选法.

解决“多面手”问题时，依据“多面手”参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.典型例题

例42025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片.现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看.(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？典型例题

解决排列与组合问题，首先要把握问题的实质，并结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序.此外还应遵循以下原则：（1）先组合后排列；（2）先特殊后一般.典型例题例5

将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子.解：（1）先把6个相同的小球排成一行，相同元素然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，

（2）恰有一个空盒子，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，

归纳☆相同元素的分配问题用“隔板法”，步骤：相同元素分配问题的处理策略（2）定空位：将元素排成一行，确定可插挡板的空位数；（1）定个数：确定分成的组数；（3）插挡板：根据组数要求，确定需要的挡板个数，插入挡板，利用组合数求解不同的分数种数.注意：

①根据题意转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”问题，才能合理使用“隔板法”解决问题.

②不同元素的分配问题不能用“隔板法”.例6

按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(2)分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本；(6)分给甲、乙、丙三人，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)分给甲、乙、丙三人，甲1本，乙2本，丙3本；(8)分给甲3本，另外两人中有1人分1本，1人分2本.解:（1）这是无序非均匀分组问题

（2）这是有序非均匀分组问题（即非均匀分配问题）

（3）这是无序均匀分组问题

（4）这是有序均匀分组问题（即均匀分配问题）

（5）这是无序部分均匀分组问题

（6）有序部分均匀分组问题（即部分均匀分配问题）

（7）这是直接分配问题

归纳☆“分组”与“分配”问题的解法

(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.能力提升1、2024年12月7日西南大学附属中学校举行了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品A、B，乙同学喜欢作品B、C、D，丙同学除了不喜欢E作品，其他作品都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有(

)A.50种B.48种C.45种D.40种D

能力提升

C能力提升

B能力提升

能力提升

解：(1)队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，

故一共有120种不同的分组方案.能力提升(2)总共可分为三种情况，如下：

能力提升