2026年高考数学二轮复习模块二 函数与导数（天津）（解析版）

模块二函数与导数（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误；对于B，函数是偶函数，故B错误；对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误；对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确.故选：D.2．已知，则的函数值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C3．设，则的值为（

）A． B． C．2 D．10【答案】C【详解】因为，所以，.故选：C4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，故.故选：B5．已知命题，命题，则命题是命题的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出，即充分性成立；由可推出，不能推出，即必要性不成立；因此命题是命题的充分不必要条件.故选：A6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（

）天.（参考数据：，，A．9 B．15 C．25 D．35【答案】D【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，所以，故选：D.7．函数的大致图像是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】易得的定义域为，因为，所以，则是奇函数，关于原点对称，故C，D错误，令，解得，而当时，，故B错误.故选：A8．函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由题设且定义域为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，当或时，故在定义域上有2个零点.故选：C9．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，⸫当时，至少有四个根，令，则解得：，⸪，⸫，即，当时，，①若有4个零点，此时，即；②若有5个零点，此时，即；③若有6个零点，此时，即；当时，，令，解得：，①若，没有零点；②若，，有1个零点；③若，，且对称轴，当时，即，有2个零点；当时，即，有1个零点综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足，或或解得故选：A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．函数，当时，则的值为.【答案】或0【详解】由，则，当时，，即；当时，，即或（舍去）.综上所述，或.故答案为：或0.11．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是．【答案】【详解】因为即：，即的图像只有两个整数点位于的下方，只有两个整数x，使得，当时：，此时，令，解得，此时有两个整数满足即或，结合图像可得的取值范围是，故答案为：.12．若函数在处取得极值，则．【答案】【详解】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：13．已知下列命题：①命题：“，”的否定是：“，”；②若，则，；③若，则，；④等差数列的前项和为，若，则；⑤在中，若，则.其中真命题是.（只填写序号）【答案】①②④⑤【详解】对于①，全称命题的否定为特称命题，所以命题：“，”的否定是：“，”，故①正确；对于②，因为，所以，所以，故②正确；对于③，，所以，当今当，即，所以（舍去），所以，故③错误；对于④，等差数列中，，因为，所以，故④正确；对于⑤，在中，若，则，所以，所以，故⑤正确；故答案为：①②④⑤14．设函数，，若存在，使得，则的最小值为.【答案】1【详解】因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，且存在，使得，所以，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以,即,当时取等号.所以（当时取等号，此时满足题意），所以的最小值为1.故答案为：1.15．已知函数，若，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】因为当时，是单调递增函数，此时，当时，是单调递增函数，此时，

所以是定义在上的单调递增函数，所以若即，则，解得.故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在内的最大值为2，求的值；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)；(3)．【详解】（1）求导得，当时，，则，得，，得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，解得或，当时，，则，得或，，得，则在内单调递减，在和上单调递增；当时，，，则在区间上单调递增；当时，，则，得或，，得，则在区间内单调递减，在和上单调递增，综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在内单调递减，在和上单调递增；时，在区间上单调递增；时，在区间内单调递减，在和上单调递增.（5分）（2）由（1）知，当时，在内单调递增，则，解得与矛盾；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，令则，则在上单调递减，又，故；综上，.（10分）（3）由可得，即，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则，则，故，令，则，令，解得，则当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则，所以，故的取值范围为．（14分）17．（15分）已知函数，其中，.(1)若，求：实数的值；(2)若时，求不等式的解集；(3)求不等式的解集；【答案】(1)(2)(3)答案见解析【详解】（1）由，则.（3分）（2）当时，，由，则，解得，所以不等式的解集为.（8分）（3）由，则，即，当时，，解得或；当时，，不等式无解.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（15分）18．（15分）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明对于任意的实数x，总有；(3)若是的极值点，求a的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）当时，，，则，，所以曲线在处的切线方程为，即．（4分）（2）当时，，则，令，则，当且仅当时等号成立．所以在R上单调递增．又，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．（9分）（3），则．当时，可证恒成立，令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，所以，．所以．可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去；当时，令，则，且．令，则．显然，在R上单调递增．令，解得．①当时，，可得当时，，故在上单调递增．又，故当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意；②当时，，可得当时，，故在上单调递减．又，故当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．又，所以当时，，在上单调递减，故不是极值点，不合题意；③当时，，可得当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，所以，则在R上单调递增．又，所以当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以是的一个极小值点，满足题意．综上，当且仅当时，是的极值点．（15分）19．（15分）已知函数，，（）(1)当时，求的值；(2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围；(3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由题设，则；（2分）（2）由题设恒成立，即恒成立，所以，只需，可得；（6分）（3）由题设，在，，有成立，对于，，易知，对于，，当，时，，显然，满足；当，时，，只需，可得；当，时，，只需，无解；综上，.（15分）20．（16分）已知函数，(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)当时，讨论函数单调性(3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；(4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围．【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3)(4)【详解】（1）由得：，则，又由直线的斜率为，根据题意可知：；（4分）（2）由（1）可知，令，得，故函数在区间上单调递增，令，得，故函数在区间上单调递减，综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（9分）（3）当时，不