2026年高考数学二轮复习模块三 平面向量（天津）（解析版）

模块三平面向量（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，若，则y的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】由，则，解得.故选：D.2．已知，，与夹角的大小为，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】因为.故选：B3．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，，所以.故选：B4．如图，在四边形中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由解得，因为，所以，，结合图象可得与方向相同，所以，所以.故选：C.5．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【详解】抛物线的焦点，准线，，由对称性，不妨令点在第一象限，设，则，由B在线段AD上，得，整理得，而，则，由P，B，F共线，得，整理得，解得，于是，过作于，所以.

故选：B6．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【详解】在中，，所以，所以，即，即，可得，因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：.7．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意知，可得，因为，所以，所以是等边三角形，不妨设，，且因为，可得，即，所以，解得，又因为，可得或或或，此时，可得可行域为矩形及其内部的区域，其中，区域的面积为.故选：D.8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.9．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，（且），则（且），则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为；则在上的投影向量的长度的取值范围是．故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则（用，表示）；若，，且，则.【答案】/【详解】由条件可知，,所以；由，得，得，所以，得，且，，所以，得,,所以.故答案为：11．若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，；（ⅱ）的最小值为．【答案】【详解】由于，则，，（ⅰ）当，则，故，（ⅱ）,由于为相反向量，故，所以，由，故当时，取最小值，而的最大值为，因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为，故答案为：，12．如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则；若点F为线段上的动点，则的取值范围为．

【答案】【详解】由题意所以，设，，，，，设，对称轴是，故单调递增，从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为.故答案为：；.13．在中，，，，分别为边，的中点，若点在线段上，且，，则.若，点为线段上的动点，则的最小值为.【答案】【详解】依题意，又，且、不共线，所以，所以；如图建立平面直角坐标系，则，，所以，，所以，因为点为线段上的动点，所以设，，则，则，所以，，所以，所以当时取得最小值，最小值为；

故答案为：；14．如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则．【答案】/【详解】由题设，又三点共线，则，可得，如下图，延长交于，由，若，则，而三点共线，所以，即，由，分别过作，交于，若，则，，所以，，即，，综上，，则，为边长为1的正三角形，所以.故答案为：，15．在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.【答案】【详解】由条件可知，,，所以，所以，，，，，当时等号成立，所以的最小值为；在上的投影向量为，则，即,因为，所以，得，，则.故答案为：；.三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得，又离心率为，解得，，故椭圆的方程为.（5分）（2）设直线的方程为，，，由，得，由，得，则，因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角，因不共线，所以，故，即，因所以解得，因为，则得，解得或，故实数的取值范围为.（14分）17．（15分）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．(1)求中线AM的长；(2)求的余弦值；(3)求面积．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为为BC的中点，，，.（4分）（2）因为,，.（10分）（3）为中线的交点，为重心，，，，.（15分）18．（15分）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求向量与的夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，解得，，则．（5分）（2）由题意，又，，解得，则，，，，即向量与的夹角的余弦值为．（15分）19．（15分）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点．（1）求曲线的方程；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于，所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆，则，，，点的轨迹.（5分）（2）设，，联立，整理得，则，，因为，所以，即，整理得，则，整理得，解得.（15分）20．（16分）已知点A(－1，0)，B(1，－1)和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明:为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线PQ恒过一个定点.【答