八年级最短路径问题30题

八年级最短路径问题30题最短路径问题是初中几何中的经典题型，它巧妙地结合了几何图形的性质与“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等基本公理，不仅能锻炼同学们的空间想象能力，更能提升逻辑推理与数学转化的素养。八年级阶段接触的最短路径问题，多以轴对称变换为主要解题工具，通过化折为直，将复杂问题转化为我们熟悉的基本模型。下面，我们将通过三十道典型例题，系统梳理这类问题的常见类型与解题策略，希望能助同学们一臂之力。一、基础模型回顾与方法提炼在正式开始题目演练之前，让我们先回顾一下解决最短路径问题最核心的几种思想方法：1.轴对称法（翻折法）：这是解决最短路径问题的“利器”。通过作某个点关于某条直线的对称点，可以将直线同侧的点转化为异侧，或将折线转化为直线，从而直接应用“两点之间线段最短”的公理。2.“两点之间线段最短”公理：这是所有最短路径问题的理论基石。3.“垂线段最短”公理：当涉及到点到直线的距离时，此公理常用来确定最短距离。在解题时，首先要仔细分析题目中的几何图形特征，明确动点的约束条件（即在那条线上运动），以及要优化的路径表达式（通常是几条线段之和或差）。然后思考如何通过对称变换等手段，将所求路径进行转化。二、典型例题分类解析与练习（一）单一直线背景下的最短路径（“一线两点”模型）此类问题的核心是：直线l同侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。解决方法是作其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线l的交点即为所求点P。题目1：如图，直线l是一条公路，A、B是公路同侧的两个村庄。现要在公路l上修建一个公交站P，使公交站P到A、B两村的距离之和最小，请确定公交站P的位置。（请同学们自行在草稿纸上画出示意图并思考）题目2：已知直线l外有一点A，直线l上有一点B，点P是直线l上的一个动点。若AB=5，点A到直线l的距离为3，求PA+PB的最小值。题目3：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,5)，直线l为x轴。在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小，并求出这个最小值。题目4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AC的中点，点E在BC上，且CE=1。点P是AB边上的一个动点，求△PDE周长的最小值。（提示：△PDE的周长=PD+PE+DE，其中DE是定值，故只需PD+PE最小）题目5：已知点A(0,3)，点B(4,0)，点P是x轴上的一个动点（不与点B重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交y轴于点Q。问是否存在点P，使得AQ+BQ的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（提示：先找出点Q坐标与点P坐标之间的关系，再转化为熟悉的模型）（二）角或相交线背景下的最短路径（“两线一点”模型）此类问题通常涉及一个角的内部有一点，需要在角的两边各找一个点，使得三点构成的路径最短；或者在两条相交直线的背景下找点。题目6：如图，已知∠AOB=60°，点P为∠AOB内部一点，且OP=6。点M、N分别是OA、OB边上的动点，求△PMN周长的最小值。（提示：分别作点P关于OA、OB的对称点）题目7：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=6。点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点。求DE+DB的最小值。（提示：作点B关于AC的对称点）题目8：如图，点P是锐角∠AOB内部一点，OP=5。点M、N分别在OA、OB上运动，求△PMN周长的最小值。若∠AOB=45°，则这个最小值是多少？（提示：与题目6思路类似，最小值可结合特殊角的三角函数值求出）题目9：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2。点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点。在AC边上是否存在一点F，使得DE+EF的值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由。（提示：先确定F点的位置，再求DE+EF的最小值，或者反过来）题目10：如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃分别与l₁、l₂交于点A、B，点P是l₁上一定点。点M是l₃上的动点，点N是l₂上的动点。求PM+MN+NP的最小值。（提示：考虑将折线PM+MN+NP进行转化，注意MN是l₂上的一段，方向是固定的吗？）（三）三角形、四边形等多边形背景下的最短路径这类问题需要结合多边形的性质（如对称性、边的关系等）来寻找对称点或利用特殊性质。题目11：如图，在等边△ABC中，AB=4。点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点。将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B’。求CB’长度的最小值。（提示：折叠问题中，对应点连线被折痕垂直平分，B’的轨迹是什么？）题目12：如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°。点E是BC边的中点，点P是对角线AC上的一个动点。求PB+PE的最小值。（提示：菱形的对角线是对称轴）题目13：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。点E是边CD上的一个动点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D’。连接D’B，求D’B长度的最小值。（提示：D’的轨迹是以A为圆心，AD长为半径的圆弧）题目14：如图，在正方形ABCD中，AB=4。点E是AB边的中点，点P是对角线AC上的一个动点。求PE+PB的最小值。（提示：正方形的对角线是对称轴，B点关于AC的对称点是哪个点？）题目15：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。点D、E分别是AC、BC边上的动点，且DE=2。求四边形ABED周长的最小值。（提示：四边形ABED的周长=AB+BE+ED+DA，AB和ED是定值，故只需BE+DA最小，可考虑平移其中一条线段）（四）含动点或动态几何图形的最短路径此类问题中，点或图形的位置是变化的，需要在运动过程中找到使路径最短的临界位置。题目16：如图，点P是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD于点Q。将△PQC沿PQ折叠，点C的对应点为C’。在点P运动过程中，点C’到点A的最小距离是多少？（提示：先找出C’点的运动轨迹或约束条件）题目17：如图，已知点A(0,2)，点B(4,0)。点P是x轴上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ。连接OQ，求OQ长度的最小值。（提示：设出点P坐标，用代数方法表示出点Q坐标，再求OQ的最小值）题目18：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12。点D是BC边上的一个动点，以AD为直径作⊙O，交AB于点E。连接CE，求CE长度的最小值。（提示：直径所对的圆周角是直角，OE的长度是定值吗？）题目19：如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，点B(0,4)。点P是直线y=x+2上的一个动点。求PA+PB的最小值。（提示：这是“一线两点”模型在坐标系中的应用，直线y=x+2是那条“线”）题目20：如图，点M是边长为2的等边△ABC的边BC上的一个动点，连接AM，以AM为边作等边△AMN（点N在直线AM的右侧）。连接CN，求CN长度的最小值。（提示：通过全等三角形将CN转化为其他线段）（五）造桥选址与其他经典模型拓展题目21：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（桥与河岸垂直），使得从A地到B地的路径AMNB最短。请确定桥MN的位置。（提示：由于桥长是固定的，可将A点沿垂直于河岸的方向平移桥长的距离）题目22：如图，直线l₁∥l₂，且两直线间的距离为d。点A在l₁上，点B在l₂上。要在l₁、l₂以及这两条平行线间的区域内分别建一座桥MN和PQ（桥均与l₁垂直），使得从A到B的路径A→M→N→P→Q→B最短。如何确定桥的位置？（提示：多次平移）题目23：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6。点M是BC边上的一个动点，点N是AC边上的一个动点。求BM+MN的最小值。（提示：作点B关于AC的对称点B’，则BM+MN=B’M+MN≥B’N，当B’、N、M共线且B’N⊥BC时，B’N最小？）题目24：如图，已知点A(1,3)，点B(5,1)。点P是x轴上的动点，点Q是y轴上的动点。求四边形APQB周长的最小值。（提示：四边形APQB的周长=AP+PQ+QB+BA，BA是定值，AP+PQ+QB可以通过两次轴对称转化）题目25：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点D是AB的中点，点E、F分别是AC、BC边上的动点，且DE⊥DF。求EF长度的最小值。（提示：延长ED至G，使DG=DE，连接FG、BG，尝试转化）（六）综合与拔高题目26：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)。点P是抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点Q。连接AP，求AP+PQ的最大值。（提示：注意是求最大值，AP+PQ可以表示为关于P点横坐标的函数）题目27：如图，点O是坐标原点，点A(3,0)，点B(0,4)。点P是△AOB内部的一个动点，且满足∠OPB=90°。求线段PA长度的最小值。（提示：点P的轨迹是什么？）题目28：如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10。点P是△ABC内一点，且点P到三边的距离之和为d。求d的最小值。（提示：连接PA、PB、PC，用面积法）题目29：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4。点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一个动点。将△BDE沿DE翻折，点B落在点B’处。连接AB’，求AB’长度的最小值。（提示：B’的轨迹是以D为圆心，DB为半径的圆）题目30：如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上的一个动点（不与B、C重合）。连接AE，过点E作EF⊥AE交正方形外角∠DCG的平分线于点F。设BE=x，△AEF的面积为y。求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值。（提示：先证明△ABE与某三角形全等，用x表示出EF，再求面积）三、解题策略总结与反思解决最短路径问题，关键在于“转化”二字。同学们在解题时应注意以下几点：1.仔细审题，明确目标：清楚题目要求的是哪几条线段之和（或差）的最值，以及动点的运动范围。2.善用对称，化折为直：轴对称变换是解决最短路径问题最常用的手段，要熟练掌握如何通过对称将不在同一直线上的线段转移到同一直线上，从而应用“两点之间线段最短”。3.依托图形，联想性质：结合已知图形（如三角形、四边形、圆等）的性质，寻找解题的突破口。例如，菱形、正方形的对称轴，直角三角形斜边中线性质等。4.动静结合，以静制动：对于动态问题，要分析动点的运动轨迹，找到其运动规律，从而确定最值点的位置。有时可以