小学六年级比例问题专题训练题

比例，作为小学数学中的重要概念，不仅是六年级学习的重点，也是解决实际问题的有力工具。它如同桥梁，连接着具体的数量与抽象的关系，帮助我们更清晰地理解世界的数量规律。掌握比例，能让我们在分配、缩放、比较等问题上迎刃而解。今天，我们就针对小学六年级比例问题进行一次专题训练，希望能帮助同学们巩固知识，提升解题能力。一、比例的核心概念与性质回顾在开始训练之前，我们先来梳理一下比例的核心概念和性质，这是解决所有比例问题的基础。1.比与比例的区别：两个数相除又叫做两个数的比。表示两个比相等的式子叫做比例。例如，3:2是一个比，而3:2=6:4才是一个比例。2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这是解比例最根本的依据。比如在比例a:b=c:d中，ad=bc。3.正比例与反比例：（此部分为初步认识，为后续学习铺垫）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果它们的比值一定，这两种量就成正比例关系；如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例关系。二、基础比例问题训练（一）比例的意义与基本性质应用例题1：判断下面哪组中的两个比可以组成比例？（1）6:10和9:15（2）20:5和1:4解题思路点拨：要判断两个比能否组成比例，有两种方法。一是分别求出两个比的比值，看是否相等；二是利用比例的基本性质，假设能组成比例，看两外项积是否等于两内项积。解答：（1）方法一：6:10=6÷10=0.6；9:15=9÷15=0.6。比值相等，所以能组成比例，即6:10=9:15。方法二：假设6:10=9:15，则外项积6×15=90，内项积10×9=90，90=90，所以能组成比例。（2）20:5=4，1:4=0.25，比值不相等，所以不能组成比例。（或外项积20×4=80，内项积5×1=5，80≠5）巩固练习1：1.用3、4、6、8这四个数组成一个比例。2.在比例里，两个内项分别是8和3，其中一个外项是6，另一个外项是多少？（二）按比例分配问题这类问题是比例应用中最常见的类型之一，关键在于理解“按一定的比进行分配”的含义。例题2：学校把一批图书按3:4:5的比例分给四、五、六年级，已知六年级分到60本，这批图书共有多少本？解题思路点拨：首先要明确3:4:5表示四、五、六年级分到的图书本数之比。六年级占了5份，对应的是60本，那么可以先求出1份是多少本，再求出总份数（3+4+5）份对应的总本数。解答：总份数：3+4+5=12（份）六年级占5份，是60本，所以1份是：60÷5=12（本）这批图书共有：12×12=144（本）答：这批图书共有144本。巩固练习2：1.一个三角形三个内角的度数比是2:3:4，这个三角形三个内角分别是多少度？它是什么类型的三角形？2.甲乙丙三个数的和是60，它们的比是2:3:5，甲数是多少？（三）正反比关系的简单应用（初步）例题3：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4小时可以到达。如果每小时行驶80千米，几小时可以到达？解题思路点拨：从甲地到乙地的路程是固定不变的。速度越快，所用时间就越短，速度和时间的乘积（路程）一定，所以速度和时间成反比例关系。我们可以设所需时间为x小时，根据路程相等列出方程。解答：解：设每小时行驶80千米，x小时可以到达。60×4=80×x（路程一定，速度×时间=路程）240=80xx=240÷80x=3答：3小时可以到达。巩固练习3：1.一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧20天。实际每天烧2吨，实际可以烧多少天？2.小明看一本故事书，每天看15页，8天可以看完。如果他想6天看完，平均每天要看多少页？三、稍复杂比例问题训练（一）比例中的不变量例题4：一个书架，上层书与下层书的本数比是5:3。如果从上层拿10本到下层，这时上层书与下层书的本数比是3:2。原来上层有多少本书？解题思路点拨：这类问题中，虽然上下层书的本数发生了变化，但书架上书的总本数是不变的。我们可以把总本数看作单位“1”，先求出原来上层书占总本数的几分之几，再求出变化后上层书占总本数的几分之几，这两个分率的差对应的就是拿走的10本书，从而求出总本数，再求原来上层的本数。解答：原来上层书占总本数的：5÷(5+3)=5/8后来上层书占总本数的：3÷(3+2)=3/5总本数：10÷(5/8-3/5)=10÷(25/40-24/40)=10÷1/40=400（本）原来上层有：400×5/8=250（本）答：原来上层有250本书。巩固练习4：1.甲乙两筐苹果的重量比是5:4，如果从甲筐取出2千克放入乙筐，这时甲乙两筐苹果的重量比是8:7。两筐苹果共重多少千克？四、综合运用与拓展例题5：某工厂要生产一批零件，原计划每天生产50个，12天完成任务。实际每天生产的个数与原计划的比是6:5，实际多少天可以完成任务？解题思路点拨：这道题可以先根据原计划求出总任务量，再求出实际每天的生产量，最后用总任务量除以实际每天生产量得到实际天数。这里“实际每天生产的个数与原计划的比是6:5”是关键信息。解答：方法一：总任务量：50×12=600（个）实际每天生产个数：原计划每天生产50个，看作5份，所以1份是10个，实际6份就是6×10=60（个）实际天数：600÷60=10（天）方法二：实际每天生产个数与原计划比是6:5，工作效率比是6:5，那么在工作总量一定时，工作时间比与工作效率比成反比，即实际时间:原计划时间=5:6。原计划时间是12天，对应6份，所以1份是2天，实际时间5份就是5×2=10（天）答：实际10天可以完成任务。巩固练习5：1.一项工程，原计划20天完成，实际每天的工作效率提高了25%，实际多少天可以完成？（提示：工作效率比）五、总结与方法提炼比例问题的解决，首先要深刻理解比例的意义和基本性质，这是基石。在面对具体问题时：1.仔细审题：明确题目中涉及的量以及它们之间的关系，是成正比例还是反比例，或者是按比例分配。2.找准对应关系：特别是在按比例分配和涉及不变量的问题中，要找出具体数量对应的份数或分率。3.灵活运用方法：可以利用比例的基本性质列方程求解，也可以通过份数思想、转化思想（如转化为分数应用题）等方法简化计算。4.多思多练：比例问题形式多样，但万变不离其宗。通过练习不同类型