苏教版小学数学二升三年级衔接精讲 混合运算（不含括号）知识清单

苏教版小学数学二升三年级衔接精讲混合运算（不含括号）知识清单

一、核心概念与运算基石：重构混合运算的认知体系

（一）运算情境的升级：从单一到复合★基础【重要】在二年级下册的学习中，我们已经熟练掌握了加、减、乘、除这四种基本的运算，能够解决如“买3支铅笔，每支2元，一共多少钱？”或“有10个苹果，吃了4个，还剩几个？”这样的一步计算问题。升入三年级，我们将面临更加复杂、更贴近现实生活的数学问题。这些问题往往需要将两种或两种以上的运算结合起来，例如“小明带了20元，想买4块橡皮，每块3元，还剩多少钱？”这个问题的解决，就需要先计算买橡皮的总价（乘法），再从20元里减去它（减法）。这就是我们今天要学习的核心——两步计算的四则混合运算。它标志着我们从处理单一数量关系，迈向了处理复合数量关系的新阶段，是数学思维发展的一次重要飞跃。

（二）运算顺序的铁律：先乘除，后加减★核心★高频考点【非常重要】当加、减、乘、除在没有括号的同一个算式里相遇时，我们必须遵循一个统一的、不容置疑的运算顺序规则：先算乘除法，后算加减法。这个规则是数学运算的宪法，保证了全世界每个人计算同一个算式都能得到唯一正确的结果。可以将其理解为数学世界的交通法规，乘除法是拥有优先通行权的“特种车辆”，而加减法则是需要避让的“社会车辆”。例如，在算式“6+3×4”中，我们必须先计算“3×4=12”，然后再计算“6+12=18”。如果我们无视规则，从左到右依次计算“6+3=9，9×4=36”，就会得出完全错误的答案。因此，牢牢掌握并自觉应用这一规则，是学习本专题的第一要务。

二、考点精析与题型突破：四大核心考点深度解码

（一）考点一：混合运算的规范书写与格式训练★基础【重要】

1、运算步骤的清晰呈现：两步混合运算的解答过程，不再是简单地写出一个结果。我们需要分步书写，清晰地展示每一步的计算过程和结果。这不仅是解题格式的要求，更是我们思维过程的物化体现。它帮助我们理清思路，也为检查错误提供了清晰的线索。

2、脱式计算的引入与规范：我们将学习一种全新的书写格式——脱式计算（也称递等式计算）。其核心是“不写等号，不抄全题，步步递等”。具体操作如下：

[1]第一行，将原算式照抄下来，但先不写等号。

[2]在第二行，先写上等号（位置一般在算式左下方），然后根据运算顺序，写出第一步计算的结果，并将第一步没有参与计算的部分，连同它前面的运算符号，原样、准确地抄写下来。

[3]在第三行，再写一个等号（与上行等号对齐），接着完成最后一步计算，写出最终结果。

例如：计算15-18÷3

15-18÷3

=15-6

=9

3、易错点警示：最常见的错误是“丢三落四”，即在写出第一步结果后，忘记或抄错未参与运算的数字和运算符号。必须养成“一步一回头”的检查习惯，确保抄写的部分与原式完全一致。

（二）考点二：乘、除（第一步）与加、减（第二步）的混合运算（乘除在前）★高频考点【热点】

1、典型题型特征：算式中，乘法或除法运算位于整个算式的前面部分，后面跟着加法或减法。例如：4×6+9，24÷3-5。

2、解题策略与步骤：

[1]第一步：精准识别并优先计算算式最前面的乘法或除法。

[2]第二步：将第一步计算得到的“积”或“商”与后面的数进行相加或相减。

示例精讲：计算32÷4+17

32÷4+17

=8+17

=25

解析：算式以除法“32÷4”开头，我们优先计算它，得到8。此时，原式在思维上转化为“8+17”。最后进行加法运算，得出结果25。

3、考查方式：通常以基本的计算题形式出现，旨在考察学生对“先乘除”规则的直接应用能力。

（三）考点三：加、减（第一步）与乘、除（第二步）的混合运算（乘除在后）★难点【非常重要】

1、典型题型特征：算式中，加法或减法位于整个算式的前面部分，而乘法或除法运算紧随其后。例如：7+16÷8，20-3×4。

2、核心思维挑战：这类题型的视觉顺序（从左到右）与运算规则要求的顺序（先算后面的乘除）产生了冲突。这是学生最容易出错的地方，也是本专题的思维难点所在。我们必须建立“运算顺序优先于书写顺序”的坚定信念。

3、解题策略与步骤：

[1]第一步：进行全局审视，不急于从左到右计算。首先发现算式中间或后面隐藏的乘除法。

[2]第二步：坚定地执行“先乘除”规则，优先计算后面的乘法或除法。

[3]第三步：将第一步计算得到的“积”或“商”代入算式，再与前面的数进行加法或减法。

示例精讲：计算25-3×6

25-3×6

=25-18

=7

解析：虽然从左边看起是“25-3”，但我们不能先做减法。因为根据规则，乘法“3×6”具有优先权。我们先算出3×6=18，算式转化为“25-18”，最后算出结果是7。

4、易错点警示：常见错误是25-3=22，22×6=132，完全错误。必须反复强调，遇到加、减后面跟着乘、除时，要格外警惕，先“跳过”加减法，去完成后面的乘除法。

（四）考点四：混合运算在实际问题中的应用（列综合算式）★综合应用★热点

1、现实情境的数学化：将生活中的实际问题，用两步计算的综合算式表达出来，是数学应用能力的核心体现。

2、常见题型分类：

[1]“先乘除后加减”型问题：例如，“一支钢笔8元，一个笔记本比买2支钢笔的钱还多5元，一个笔记本多少钱？”分析思路：先算出2支钢笔的总价（乘法），再加上多的5元（加法），综合算式为“8×2+5”。

[2]“先加减后乘除”思维冲突型问题：注意，这里的问题情境虽然需要先解决加减法问题，但列出的不含括号的综合算式，必须利用“先乘除”的规则来体现。这是解决问题的核心技巧。例如，“妈妈买了4斤苹果，付给售货员50元，找回18元，每斤苹果多少元？”分析思路：要求每斤苹果的价格，需要先算出买苹果实际花了多少钱（减法：50-18），再除以买的斤数（除法）。但是，根据不含括号的运算规则，如果列成“50-18÷4”，就会先算除法，与我们的解题思路相悖。因此，解决这类必须“先加减”的问题，我们不能用本专题的不含括号的综合算式，而必须分步列式，或者引入下一阶段要学习的“括号”。在本专题范围内，我们的应用重点是那些解题顺序与运算顺序自然吻合的“先乘除后加减”的问题。

3、列综合算式的关键步骤：

[1]分步解析：将问题分解为两个连续的子问题。首先，明确“第一步算什么？”（通常是求总数、求单价、求剩余等）。

[2]整合算式：将第二步需要参与运算的数，用第一步的算式来代替，从而形成一个包含两步运算的综合算式。

[3]检验顺序：检查所写的综合算式，在不加括号的情况下，其运算顺序是否与我们解决问题的步骤一致。如果一致，则正确；如果不一致（即需要先算加减才能算乘除），则说明这个情境在本专题无法用综合算式表达，需用分步解答。

示例精讲：王老师买来5盒铅笔，每盒8支，又买来12支圆珠笔，王老师一共买了多少支笔？

分步：第一步，铅笔总数：5×8=40（支）

第二步，笔的总数：40+12=52（支）

综合算式：5×8+12

检验：先算乘法（5×8，求铅笔数），再算加法（加上圆珠笔数，求总数），与解题步骤完全吻合，正确。

4、解答要点：在实际问题解答中，必须包含完整的解题步骤：先简要分析，再列出正确的综合算式（或分步算式），接着用脱式计算展示计算过程，最后完整地写出答句。

三、思维进阶与易错辨析：构建无懈可击的运算防线

（一）常见错误类型深度剖析

1、【运算顺序错误】这是最根本的错误。表现为无视“先乘除后加减”的规则，机械地从左到右依次计算。例如，12-4×2错算成8×2=16。

2、【计算符号与数字抄写错误】在脱式计算过程中，由于注意力不集中或草稿潦草，容易将“+”抄成“-”，或将“3”看成“8”，导致后续计算全盘皆输。

3、【脱式格式不规范】如未参与运算的部分没有抄写，或抄写位置错乱；等号不对齐；在一步计算中连写两个等号等。

4、【应用题理解偏差】无法准确提取题目中的数量关系，搞不清第一步应先求什么。例如，看到“一共”就用加法，看到“剩下”就用减法，而不考虑问题发生的先后逻辑。

（二）避错策略与思维训练

1、【审题三步法】每做一题，先做三看：一看算式中有几种运算符号；二想运算顺序是什么，哪一步先算；三心算或在脑中模拟第一步计算后的算式形态。

2、【规范草稿与书写】培养在草稿纸上清晰列竖式的习惯，并与脱式计算过程相互印证。主卷上的脱式，要求字迹工整，等号对齐，数字间距合理。

3、【逆向检验法】计算出结果后，可以尝试将结果代入原题情境（对于应用题）或根据加减、乘除的互逆关系（对于纯计算）进行粗略检验，判断结果是否在合理范围内。

4、【对比练习强化】专门进行如“6+4×5”和“(6+4)×5”的对比练习（后者是未来要学的内容），通过对比，深刻理解运算顺序的差异对结果产生的巨大影响，从而固化“先乘除”的意识。

四、拔尖拓展与跨学科视野：超越课本的数学思考

（一）探寻算式中的规律与美感

1、等式的构造：给定几个数字和结果，尝试通过添加运算符号（不加括号）的方式构造等式。例如，用2、3、4、5四个数和+、-、×、÷运算组成一个结果为17的算式（5×3+4-2=17）。这类题目能极大锻炼逆向思维和数感。

2、探索“1”的妙用：思考在混合运算中，乘以1或除以1对结果无影响，但加上0或减去0也无影响。如何利用这些特性简化计算或进行巧算？虽然目前接触不多，但可以埋下思考的种子。

（二）跨学科联结：在生活与科学中发现数学

1、科学课中的应用：在科学实验中，常常需要计算平均值。例如，测量一个物体长度3次，分别为12厘米、13厘米、11厘米，求平均长度。这就可以用综合算式“(12+13+11)÷3”来表达，虽然目前不会计算带括号的算式，但可以分步计算，理解其中的“先求和再平均”的思想，这与混合运算中“先乘除后加减”的思想是一脉相承的。

2、体育课中的应用：计算投篮命中率。例如，小明投了20次，投中8次，他的命中率是多少？这虽然涉及除法，但可以作为一个引子，让学生思考数据与运算的关系。

3、美术与手工课中的应用：制作一个长方形画框，需要计算所需的木条总长度。如果长是宽的2倍，且宽已知，那么列出的综合算式就是“宽×2×2+宽×2”（长方形周长公式的变形应用），这里面就包含了连续的乘法与加法运算，需要严格遵循运算顺序。

（三）数学思想的初步渗透

1、【转化思想】将两步混合运算通过“先算一步”转化为一个简单的、只有一步的算式。整个解题过程，就是一个不断将复杂问题转化为简单问题的过程。

2、【模型思想】“单价×数量+单价×数量=总价”，“部分量+部分量=总量”等，都是初步的数学模型。混合运算的学习，正是对这些模型进行形式化表达和运算的第一步。

3、【符号意识】深刻理解运算符号（+、-、×、÷）不仅仅是计算的指令，更是描述现实世界中数量关系的语言。脱式计算的格式，就是用数学符号和特定格式，精确、清晰地讲述一个完整的数学故事。

五、综合能力训练场：精选精炼，融会贯通

（一）基础巩固型（旨在熟练规则与格式）

计算下列各题，并严格按照脱式计算格式书写。

1、23+6×7

2、81÷9-5

3、4×9÷6（乘除同级运算，从左到右）

4、54-27÷3

5、16÷2+4×3（同一算式中既有乘除，又有加减，先同时计算所有乘除，再算加减）

（二）变式提升型（旨在灵活应用与辨析）

1、下面的计算对吗？把不对的改正过来。

（1）24-8×2（2）15+15÷5

=16×2=30÷5

=32=6

2、在○里填上“>”“<”或“=”。

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