第6课时一元二次方程及其应用

第二单元方程（组）与不等式（组）第6课时一元二次方程及其应用1.

一元二次方程的概念定义含有

个未知数，并且未知数的最高次数为

⁠的整式方程

叫做一元二次方程一般

形式

⁠1

2

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）2.

一元二次方程的解法方法选择适用情况配方法将二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程开平方法（1）方程缺少一次项，即ax2＋c＝0（a≠0，ac＜0）或ax2

＝c（a≠0，ac＞0）；（2）形如（x＋n）2＝p（p≥0）的方程方法选

择适用情况因式分

解法（1）方程缺少常数项，即ax2＋bx＝0（a≠0）；（2）方程的一边为0，另一边易分解为两个一次因式的乘积，

即（x－a）（x－b）＝0；（3）方程两边含有相同的因式公式法适用于所有一元二次方程3.

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的情况

与判别式

的关系（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程

⁠的实数

根；（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程

⁠的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程

⁠实数根根与系数

的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，

则x1＋x2＝－

，x1x2＝

.使用前提：①a≠0；②方程必须化为一般形式；③b2－

4ac≥0.有两个不相等有两个相等没有

5054 050－4类型之二一元二次方程根的判别式4.

［2024•广安］若关于x的一元二次方程（m＋1）x2－2x＋1＝0有两个

不相等的实数根，则m的取值范围是（

A

）A.

m＜0且m≠－1B.

m≥0C.

m≤0且m≠－1D.

m＜05.

［2025•绵阳模拟］关于x的方程kx2＋x－2＝0有实数根，则k的取值范

围是（

B

）A.

k≥

且k≠0B.

k≥－

C.

k＞－

D.

k≤－

AB

A.

1B.

－1C.

2D.

－27.

［2024•成都］若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，

则m＋（n－2）2的值为

⁠.B78.

［2025•南充］设x1，x2是关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2的两根.（1）当x1＝－1时，求x2及m的值.

（1）解：把x1＝－1代入方程（x－1）（x－2）＝m2，得m2＝6，∴m＝

∴（x－1）（x－2）＝6，即x2－3x－4＝0，解方程，得x1＝－1，x2＝4，

（2）求证：（x1－1）（x2－1）≤0.（2）证明：方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.∵Δ＝4m2＋1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2，∴（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝2－m2－3＋1＝－m2≤0，∴（x1－1）（x2－1）≤0.（2）证明：方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.∵Δ＝4m2＋1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2，∴（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝2－m2－3＋1＝－m2≤0，∴（x1－1）（x2－1）≤0.类型之四一元二次方程的应用9.

［2025•绵阳模拟］据调查，某村2022年的人均收入为30 000元，2024年

的人均收入为36300元.若从2022年到2024年该村人均收入的平均增长率

不变，按此平均增长率预测2025年该村的人均收入是

元.39 93010.

［2025•达州］为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文

旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售

价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以

多售出10件.（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是

⁠

件.（60＋10x）

（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天

的利润是630元？解：（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意，得（40－30－x）（60＋10x）＝630，整理可，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.由于要让利于游客，∴x＝3.答：该款巴小虎吉祥物降价3元，文旅公司每天的利润是630元.解：（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意，得（40－30－x）（60＋10x）＝630，整理可，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.由于要让利于游客，∴x＝3.答：该款巴小虎吉祥物降价3元，文旅公司每天的利润是630元.（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少

元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则W＝（40－30－x）（60＋10x）＝（10－x）（60＋10x）＝－10x2＋40x＋600＝－10（x－2）2＋640.∵－10＜0，∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时售价为38元.答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.解：（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则W＝（40－30－x）（60＋10x）＝（10－x）（60＋10x）＝－10x2＋40x＋600＝－10（x－2）2＋640.∵－10＜0，∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时售价为38元.答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.

一元二次方程图解法

BA.

AC的长

B.

AD的长C.

BC的长

D.

CD的长

一、选择题1.

［2023•广元］若一元二次方程x2－2kx＋k2＝0的一个根为x＝－1，则

k的值为（

A

）A.

－1B.

0C.

1或－1D.

2或02.

［2025•泸州模拟］已知△ABC中，AB＝3，AC＝5

，第三边BC的长

为一元二次方程x2－7x＋10＝0的一个根，则三角形的周长为（

D

）A.

10B.

11C.

12D.

13AD3.

［2024•内江］某市2021年底森林覆盖率为64％，为贯彻落实“绿水青

山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森

林覆盖率已达到69％.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么符

合题意的方程是（

B

）A.

0.64（1＋x）＝0.69B.

0.64（1＋x）2＝0.69C.

0.64（1＋2x）＝0.69D.

0.64（1＋2x）2＝0.69B4.

［2025•遂宁］已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＋1＝0有实数

根，则实数m的取值范围是（

D

）A.

m＜

B.

m≥

C.

m＞

D.

m≤

A.

－

B.

C.

－6D.

6DA

110％

－3≤t＜1三、解答题10.

解方程：（1）x2－1＝3（x－1）；（1）x1＝1或x2＝2.（2）x2－6x＋2＝0；

（3）3（x－1）2－12＝0.（3）x1＝3，x2＝－1.（1）x1＝1或x2＝2.

（3）x1＝3，x2＝－1.11.

［2025•泸州］某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每

件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均

下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，由题意，得125（1－

x）2＝80，解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（舍去）.答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20％.解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，由题意，得125（1－

x）2＝80，解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（舍去）.答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20％.（2）2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100

件，求最少购进多少件甲种商品.解：（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100－m）件，由题意，得（125－25×2）m＋80（100－m）≤7 800，∴75m＋8 000－80m≤7 800，解得m≥40，∴m的最小值为40，即最少购进40件甲种商品.答：最少购进甲种商品40件.解：（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100－m）件，由题意，得（125－25×2）m＋80（100－m）≤7 800，∴75m＋8 000－80m≤7 800，解得m≥40，∴m的最小值为40，即最少购进40件甲种商品