小学数学四年级下册：《带括号的四则运算》复习知识清单

小学数学四年级下册：《带括号的四则运算》复习知识清单

一、运算体系的基石：四则运算的意义与关系

（一）四则运算的基本概念【基础】

数学中的四则运算，即加法、减法、乘法和除法，是人类理解数量关系最基本的方式，也是构建一切复杂数学体系的基石。

1.加法：把两个或两个以上的数合并成一个数的运算。它代表着数量的增加、累加或合并。相加的各数称为加数，所得的结果称为和。

2.减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。它与加法互为逆运算。减法代表着从整体中移除一部分、求剩余、或求两个数量的差。已知的和称为被减数，已知的加数称为减数，所求的另一个加数称为差。

3.乘法：求几个相同加数的和的简便运算。它代表着将相同的数重复相加，是加法的特殊形式。相乘的各数，通常将被乘数（表示相同加数）和乘数（表示相同加数的个数）统称为因数，所得的结果称为积。

4.除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它与乘法互为逆运算。除法代表着将一个数平均分成若干份（等分除），或者求一个数里包含几个另一个数（包含除）。已知的积称为被除数，已知的因数称为除数，所求的另一个因数称为商。当除数不能整除被除数时，会产生余数。

（二）四则运算各部分间的关系【重要】

理解并灵活运用这些关系，是进行验算和解方程（后续学习）的基础。

1.加法各部分间的关系：

和=加数+加数

一个加数=和—另一个加数

2.减法各部分间的关系：

差=被减数—减数

被减数=减数+差

减数=被减数—差

3.乘法各部分间的关系：

积=因数×因数

一个因数=积÷另一个因数

4.除法各部分间的关系：

商=被除数÷除数

被除数=除数×商（适用于整除情况）

除数=被除数÷商（适用于整除情况）

在有余数的除法里：被除数=商×除数+余数

二、混合运算的法则：运算顺序的确定【核心】

当一道算式里同时包含多种运算时，必须遵循既定的运算顺序，才能得到唯一正确的结果。这是本单元知识清单的核心内容。

（一）无括号的四则混合运算顺序【基础】

1.同级运算：在一个算式中，如果只含有同一级运算（即只有加减法或只有乘除法），要按照从左到右的顺序依次计算。这体现了运算的序列性。

示例：25+18—12=43—12=31

示例：36÷4×3=9×3=27

2.两级运算：在一个算式中，如果同时含有加、减法（第一级运算）和乘、除法（第二级运算），要先算乘除法，后算加减法。这体现了乘法/除法作为加法/减法的简便运算，具有更高的优先级。

示例：15+30÷5=15+6=21

示例：8×7—24÷6=56—4=52

（二）含括号的四则混合运算顺序【高频考点】【非常重要】

括号的作用是改变原有的运算顺序。在数学中，规定括号内的运算优先于括号外的运算。这体现了数学语言的精确性和逻辑性。

1.含有小括号的运算：小括号“（）”是圆括号，具有最优先的运算级别。在计算时，必须先计算小括号里面的式子，然后再按照“先乘除、后加减”的顺序计算括号外面的。

示例：(15+30)÷5=45÷5=9（小括号改变了运算顺序，先求和再求商）

示例：72÷(12—3)×2=72÷9×2=8×2=16（先算括号内的减法，然后括号外从左到右依次计算）

2.含有小括号和中括号的运算：中括号“[]”是方括号，通常在需要改变已经使用了小括号的算式的运算顺序时使用。它的运算级别低于小括号，但高于其他运算。计算时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。

示例：84÷[(8+6)×2]=84÷[14×2]=84÷28=3

运算顺序详解：

第一步：先算最里面的小括号，8+6=14，算式变为84÷[14×2]。

第二步：再算中括号里面的乘法，14×2=28，算式变为84÷28。

第三步：最后算括号外面的除法，84÷28=3。

3.括号的嵌套与层级：在一个复杂的算式中，可能有多层括号嵌套，运算顺序的原则是“由内而外，逐层脱去”。即先计算最内层的小括号，然后计算次内层的中括号（或大括号“｛｝”），直至所有括号都被去掉。

示例：｛[(50—20)÷3]×4｝+5=｛[30÷3]×4｝+5=｛10×4｝+5=40+5=45

【难点辨析】很多同学在遇到多层括号时容易混淆顺序或忘记先计算括号内的运算。务必牢记：括号是“特权符号”，括号内的算式自成一体，必须独立计算出一个结果，再用这个结果参与括号外的运算。

三、0的运算特性【易错点】

0是一个特殊的数，它在四则运算中的行为有着明确的规则，也是考试中常见的易错点。

1.一个数加上0，还得原数。例如：a+0=a，0+a=a。

2.一个数减去0，还得原数。例如：a—0=a。

3.一个数减去它本身，结果为0。例如：a—a=0。

4.一个数乘0，结果为0。例如：a×0=0，0×a=0。

5.0除以一个非0的数，结果为0。例如：0÷a=0（a≠0）。

【非常重要】6.0不能作除数。这是数学中的一个基本原则。

原因：如果0作除数，会产生无意义的结果。

若除数为0，被除数非0（如5÷0），找不到任何一个数与0相乘等于5。

若除数为0，被除数也为0（如0÷0），任何数与0相乘都得0，商不唯一。

因此，数学中规定“0不能作除数”。在涉及除法运算的题目中，要特别注意除数不能为0这一隐含条件。

四、实际问题的建模与解决：从算式到应用【核心素养】

学习四则运算的最终目的是解决现实世界中的实际问题。将实际问题转化为数学表达式（脱式计算）的过程，就是数学建模的初步体验。

（一）解决问题的一般步骤【解题步骤】

1.审题与理解题意：仔细阅读题目，明确题目中描述的故事情境，弄清楚已知条件是什么，需要求解的问题是什么。可以圈画出关键信息和数据。

2.分析数量关系：这是最关键的一步。思考已知条件和未知问题之间存在怎样的内在联系。例如，是求总和、求剩余、求平均数，还是求一个数是另一个数的几倍？尝试用语言或简单的图形描述这种关系。

3.拟定解题计划：根据数量关系，确定先算什么，再算什么。思考是否需要使用括号来改变运算顺序，以使计算过程符合题意。这一步对应着列综合算式。

4.执行计划并解答：按照拟定的运算顺序，正确列出综合算式并进行脱式计算。计算过程要规范，等号要对齐，步骤要清晰。

5.回顾与反思：检查计算的结果是否正确，更重要的是，检验这个结果是否符合实际情境。例如，求得的人数不可能是小数，求得的物品单价应该在合理范围内。最后，完整地写出答语。

（二）常见题型与数量关系模型【高频考点】

1.两积之和（差）问题：

模型：甲的数量×甲的单价+乙的数量×乙的单价=总价。

或：甲数×a+乙数×b=总和。

示例：学校买来5个篮球，每个80元；又买来8个足球，每个65元。一共花了多少钱？

综合算式：5×80+8×65

示例：果园有苹果树15行，每行12棵；梨树比苹果树少40棵。梨树有多少棵？

综合算式：15×12—40

2.两商之和（差）问题：

模型：总数A÷份数A+总数B÷份数B=平均每份量的和。

示例：张师傅3小时加工了24个零件，李师傅4小时加工了36个零件。张师傅比李师傅每小时少加工多少个？

综合算式：36÷4—24÷3

3.归一问题（先求单一量）：

模型：总数÷份数=单一量，再用单一量×新的份数=新的总数。

示例：一辆卡车4次运货20吨。照这样计算，7次可以运货多少吨？

解题步骤：先求每次运货吨数：20÷4；再求7次运货吨数：(20÷4)×7

综合算式：20÷4×7

【重要】如果问题变为“运货35吨需要几次？”则综合算式为：35÷(20÷4)

4.归总问题（先求总量）：

模型：份数×单一量=总量，再用总量÷新的单一量=新的份数。

示例：同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？

解题步骤：先求总人数：20×18；再求每行24人时的行数：(20×18)÷24

综合算式：20×18÷24

5.行程/工程问题基础模型：

模型：速度×时间=路程；工作效率×工作时间=工作总量。

示例：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，4小时到达。返回时用了3小时，返回时平均每小时行多少千米？

分析：先求甲乙两地距离（总量），再求返回速度。

综合算式：60×4÷3

6.含括号的复杂问题：

模型：当需要先计算总和或总差，再进行后续运算时，必须使用括号。

示例：王老师带了200元钱，买了3个篮球，每个35元，剩下的钱买了5个同样的足球。每个足球多少钱？

分析：先求买篮球花了多少钱（35×3），再求剩余钱数（200—35×3），最后求足球单价。为了先算减法和乘法，需要利用括号改变运算顺序吗？此题中，根据运算顺序，乘优先于减，因此不需要括号。但若题目改为“先买篮球花了105元，再用剩余的钱买5个足球”，则为(200—105)÷5。

但若题目是：一批货物，上午运了3车，每车装4吨，下午运了5车，每车装6吨，这一天平均每车运多少吨？必须先求总吨数和总车数。

总吨数：3×4+5×6

总车数：3+5

平均每车运：(3×4+5×6)÷(3+5)这里的总车数作为除数，必须用括号括起来，否则运算顺序会出错。

【非常重要】当需要先计算加减法，再计算乘除法时，一定要用括号将需要先算的加减法括起来。

五、思维拓展与高阶认知【难点】【热点】

（一）逆推法（还原问题）

已知最终结果，求最初数量。这类问题需要从结果出发，逐步逆向推理，每一步都使用与原来相反的运算。

示例：一个数加上8，再乘8，再减去8，最后除以8，结果还是8。这个数是多少？

解题步骤：从结果8开始逆推。

除以8之前是：8×8=64；

减去8之前是：64+8=72；

乘8之前是：72÷8=9；

加上8之前是：9—8=1。

所以原数是1。可以列成综合算式：(8×8+8)÷8—8=1

（二）等量代换思想

在复杂问题中，用一个量去代替与之相等的另一个量，从而使关系简化。

示例：已知△+△+○=25，○=△+5，求△和○各是多少？

分析：将第二个式子代入第一个式子，得△+△+(△+5)=25，即3×△+5=25，然后解出△，再求○。

（三）从算式到方程：代数思维的萌芽【跨学科视野】

本单元学习的四则运算各部分间的关系，实际上就是简易方程的雏形。

例如，解方程x+15=40，依据就是“一个加数=和—另一个加数”，所以x=40—15。

又如，解方程3x=24，依据就是“一个因数=积÷另一个因数”，所以x=24÷3。

理解并熟练掌握这些关系，能为后续学习更复杂的方程和代数知识奠定坚实的基础。

六、考点聚焦与题型突破

（一）直接写得数【基础】

考查对0的运算、基本口算、以及简单运算顺序的瞬间反应。

示例：0÷18=()，25×4÷25×4=()（注意，此题易错，应按顺序计算，结果是16，而不是1）。

（二）脱式计算（递等式计算）【必考】【非常重要】

考查对运算顺序法则的准确、规范运用。

示例：计算520×(80—540÷18)

易错点：有些同学可能会先算520×80，或者算完括号内的减法后忘记括号外的乘法。正确步骤是先算括号内的除法（540÷18=30），再算括号内的减法（80—30=50），最后算括号外的乘法（520×50=26000）。

【解题规范】等号一律写在算式的左边，且上下对齐。没参与计算的部分要照抄下来，直到算出最终结果。

（三）填空题【基础与拓展】

1.考查概念：在计算（23+12）×5时，应该先算（）法，再算（）法，结果是（）。

2.考查关系：根据36×18=648，直接写出下面两题的得数：648÷18=()，648÷36=()。

3.考查0的特性：一个数加上0得（），一个数乘0得（），0除以一个（）的数得0。

4.考查列综合算式：根据24+36=60，75—60=15，300÷15=20，列成一个综合算式是（）。【热点题型】这需要逆向思维，先看最后一步运算（300÷15），用前面的算式替换15，并考虑是否需要括号。替换后得300÷(75—(24+36))，由于括号内运算顺序，最内层小括号可以省略，最终结果为300÷(75—24—36)？不对，这样会改变运算顺序。正确写法应为300÷[75—(24+36)]。

（四）判断题【易错辨析】

1.0除以任何数都得0。（×）【解析】必须是非0的数。

2.在有小括号和/or中括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。（√）

3.两个数的和乘一个数，可以把两个加数分别乘这个数，再把两个积相加。（√）这实际上是乘法分配律的初步渗透，但在本单元不要求掌握名称，重在计算顺序的理解。

4.25×4÷25×4=1。（×）【解析】这是最经典的错误，错误原因是受“25×4=100”的定势影响，认为抵消了。正确计算应是从左到右：100÷25×4=4×4=16。

（五）选择题【概念辨析】

1.下面各式中，第一步计算除法的是（）。

A.28÷4+12×2

B.28÷(4+12)×2

C.(28÷4+12)×2

【解析】A选项有除法和乘法，是同级运算，从左到右，第一步是除法；B选项有小括号，第一步先算括号内的加法；C选项有小括号，第一步先算括号内的除法。此题若单选第一步计算除法的，A和C都符合，但如果是单选题，往往C更典型，因为它体现了括号内优先的原则。需根据具体选项判断。

2.把35+45=80，80×6=480，1000—480=520合并成一个综合算式是（）。

A.1000—35+45×6

B.1000—(35+45×6)

C.1000—(35+45)×6

D.(1000—35+45)×6

【解析】先算加法，再算乘法，最后算减法。所以要给加法和乘法加上括号，但乘法本身优先级高于减法，所以只需要给加法加括号即可。综合算式为1000—(35+45)×6。选C。

（六）列式计算【基础题型】

1.48与32的和去除以25与15的差，商是多少？

【关键点】理解“去除”和“除以”的区别。“A去除B”意思是“B除以A”。此题是“和”去除“差”，即(差)÷(和)。综合算式：(25—15)÷(48+32)

2.180减去15乘6的积，差是多少？

综合算式：180—15×6

（七）解决问题【综合应用】

1.经典题型：某服装厂原计划用240米布做一批衣服，每套用布2.4米。实际改进工艺后，每套节省用布0.4米。这批布实际可以做多少套衣服？

考点：归总问题，且涉及小数，考查思维的连贯性。

解题步骤：先求计划做的套数（240÷2.4），再求实际每套用布（2.4—0.4），最后求实际套数。

综合算式：240÷2.4÷(2.4—0.4)？不对。思路应是：总布量÷实际每套用布量。

正确算式：240÷(2.4—0.4)这是错误的，因为计划用布量与实际用布量无关。计划的总布量就是实际的总布量。所以第一步求出的计划套数是多余条件？仔细分析：总布量240米是已知的，实际每套用布2.4-0.4=2米，所以实际套数=240÷2。与计划套数无关。如果问题改为“实际比计划多做多少套？”则需先求计划套数和实际套数，再求差。

因此，本题的陷阱在于审题。正确列式应为：240÷(2.4—0.4)=240÷2=120（套）。如果题目是“计划做100套，每套用布2.4米，实际每套节省0.4米，这批布实际可以做多少套？”则列式为(100×2.4)÷(2.4—0.4)。此题强调了审清已知条件的重要性。

2.创新题型：为庆祝六一儿童节，四（1）班要购买奖品。笔记本每本12元，钢笔每支8元。班长带了200元，先买了8本笔记本，剩下的钱准备买12支钢笔，够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，还差多少钱？

考点：四则运算的综合应用，涉及比较和判断。

解题步骤：先求笔记本总价（12×8），再求剩余钱数（200—12×8），再求钢笔总价（8×12），将剩余钱数与钢笔总价比较。

综合算式：200—12×8=200—96=104（元），8×12=96（元），104>96，所以够，还剩104—96=8（元）。

也可以列成一个大算式：200—12×8—8×12=200—96—96=8（元）。

七、易错点诊疗室与反思

（一）运算顺序混淆