（单元复习）第二单元圆柱和圆锥-苏教版数学六年级下册重点难点举一反三讲义

第二单元圆柱和圆锥苏教版六年级下册单元复习举一反三培优讲练CONTENTS目录1.导图指引知识点梳理2.3.4.重点难点考点讲练难度分层训练5.真题实战演练导图指引01导图指引知识点梳理02知识点一：圆柱的认识和特征1.圆柱的形成圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。2.圆柱的特征（1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。（2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。名称意义特征圆柱的底面圆柱的上、下两个面叫做底面圆柱的底面是上下两个完全相等的圆圆柱的侧面圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面圆柱的侧面是一个曲面，展开是一个平面圆柱的高圆柱两个底面之间的距离叫做高一个圆柱有无数条高知识点二：圆柱的侧面展开图当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。2.当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。3.当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。知识点三：圆柱的侧面积和表面积1.圆柱的侧面积。当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此：圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。2.圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。3.在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。4.在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。知识点四：圆柱的切拼问题1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。2.圆柱中横切引起的表面积变化。横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。3.圆柱中竖切引起的表面积变化。竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。4.如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。知识点四：圆柱的切拼问题5.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。知识点五：圆柱的旋转构成法1.圆柱的旋转构成。一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。2.在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。知识点五：圆柱的旋转构成法旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。知识点六：圆柱的体积

1.圆柱的体积和容积。（1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。（2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。2.圆柱体积的推导方法。将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。知识点六：圆柱的体积

3.体积和容积单位进率。1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。4.根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即：①S底=V柱÷h②h=V柱÷S底知识点七：圆柱体积中的两种关系

其一：比例关系。1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。其二：倍数关系。1.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）；2.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱1.长方体中的最大圆柱。在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。2.圆柱中的最大长方体。圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。3.正方体中的最大圆柱。把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。知识点九：排水法求不规则物体的体积1.转化法求不规则物体的体积。在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算，2.排水法求不规则物体的体积的步骤如下：（1）在容器中注入适量的水，记下水位。（2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。（3）用尺子测量容器里现在水面的高度。（4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积。3.排水法求不规则物体的体积公式。形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；

②V物体=S×(h现在-h原来)；

③V物体=S×h升高。注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。知识点十：圆锥的认识和特征1.圆锥的形成。圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。2.圆锥的组成和特征。圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。知识点十一：圆锥的切面积问题将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题1.底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的

。2.体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。3.体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。重点难点考点讲练03（24-25六年级下·山西太原·期中）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择。（接头处忽略不计）（1）你选择的铁皮的编号是（

）和（

）。（2）用你选择的铁皮来制作，这个水桶最多能装水多少升？（3）请你再写出一种不同的方案，选择的铁皮的编号是（

）和（

）。典例精讲高频考点一：圆柱的展开图

典例精讲高频考点一：圆柱的展开图（24-25六年级下·江苏·假期作业）如图所示，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶。这个水桶的表面积是多少？（接头处忽略不计）变式训练高频考点一：圆柱的展开图

典例精讲高频考点二：圆柱的侧面积

变式训练高频考点二：圆柱的侧面积

典例精讲高频考点三：圆柱的表面积

变式训练高频考点三：圆柱的表面积

（2023六年级下·江苏无锡·专题练习）如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是()平方分米。[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80＝[25.12＋50.24]÷2＋80＝75.36÷2＋80＝37.68＋80＝117.68（平方分米）所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。典例精讲高频考点四：组合体的表面积（圆柱)（2020六年级下·江苏·专题练习）一个零件（如图），它的正中间有一个圆柱形圆孔，上下都穿透。这个零件的表面积是()平方分米。（π取3.14）圆柱侧面积：2×3.14×5＝6.28×5＝31.4（平方分米）底面积：3.14×（2÷2）²＝3.14×1＝3.14（平方分米）变式训练高频考点四：组合体的表面积（圆柱)正方体表面积：5×5×6＝25×6＝150（平方分米）零件表面积：31.4＋150－3.14×2＝181.4－6.28＝175.12（平方分米）（24-25六年级下·山西太原·期末）把一个棱长为6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱的体积是（

）立方分米。A．50.24 B．84.78 C．169.566÷2＝3（分米）3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方分米）把一个棱长为6分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱的体积是169.56立方分米。故答案为：C典例精讲高频考点五：圆柱的体积

变式训练高频考点五：圆柱的体积

典例精讲高频考点六：圆柱的容积（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）如图，要把三堆圆锥形的沙堆分别装在圆柱形的铁桶中（铁皮桶的厚度不计）。下列是3名同学经过测量后得到的结论。小红说：“第一堆和铁桶等底等高，能装下。”小明说：“第二堆和铁桶等底，高是铁桶高的2倍，能装下。”小丽说：“第三堆和铁桶等高，底面积是铁桶底面积的2倍，能装下。”（

）的说法是正确的。A．小红、小明、小丽 B．小红、小明C．小明、小丽 D．小红、小丽典例精讲高频考点六：圆柱的容积

典例精讲高频考点六：圆柱的容积

典例精讲高频考点七：立体图形的切拼（圆柱）

变式训练高频考点七：立体图形的切拼（圆柱）

典例精讲高频考点八：圆柱与圆锥体积的关系

典例精讲高频考点八：圆柱与圆锥体积的关系

（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是()立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是()立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是()立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是()立方厘米。变式训练高频考点八：圆柱与圆锥体积的关系

变式训练高频考点八：圆柱与圆锥体积的关系

变式训练高频考点八：圆柱与圆锥体积的关系

（24-25六年级下·江苏徐州·期中）把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，要削去3.2立方厘米，原来圆柱钢坯的体积是()立方厘米，如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是()厘米。3.2÷（3－1）×3＝3.2÷2×3＝1.6×3＝4.8（立方厘米）所以原来圆柱钢坯的体积是4.8立方厘米。4.8×3÷12＝14.4÷12＝1.2（厘米）所以如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是1.2厘米。典例精讲高频考点九：圆锥的体积（容积）

变式训练高频考点九：圆锥的体积（容积）

典例精讲高频考点十：体积的等积变形(圆柱、圆锥)（24-25六年级下·安徽六安·期末）把一个底面积是251.2平方厘米、高是20厘米的圆柱形钢锭，熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？251.2×20＝5024（立方厘米）1分米＝10厘米3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米）5024×3÷314＝15072÷314＝48（厘米）答：这个圆锥的高是48厘米。变式训练高频考点十：体积的等积变形(圆柱、圆锥)（21-22六年级下·河南平顶山·期中）把一个底面周长为25.12分米的圆锥木料沿顶点向底面垂直劈开，表面积增加了80平方分米，则圆锥的高是()分米。（80÷2）×2÷（25.12÷3.14）＝40×2÷8＝80÷8＝10（分米）典例精讲高频考点十一：立体图形的切拼（圆锥）

变式训练高频考点十一：立体图形的切拼（圆锥）24-25六年级下·广西防城港·期中）求出下面图形的体积。典例精讲高频考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥)

变式训练高频考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥)

典例精讲高频考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）

变式训练高频考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）（1）3.14×32×6＝3.14×9×6＝28.26×6＝169.56（立方厘米）169.56立方厘米＝169.56毫升答：明明注入了169.56毫升水。变式训练高频考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）

真题实战演练04

演练一真题演练

演练二真题演练

（2023·山西太原·小升初真题）把一个圆锥形铁块完全浸没在一个底面积是8平方厘米、高15厘米的圆柱形水槽内，水面上升了3厘米（水没溢出），这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？8×3＝24（立方厘米）答：这个圆锥形铁块的体积是24立方厘米。演练三真题演练难度分层训练051．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）求一个圆柱形通风管需要多少材料，就是要计算它的（

）。A．容积 B．侧面积 C．表面积 D．底面积根据分析可知，求一个圆柱形通风管需要多少材料，就是要计算它的侧面积。故答案为：B基础夯实能力提升2．（24-25六年级上·广西防城港·期中）一个橘子浸没在盛有200mL水的量杯中，这个橘子的体积是()立方厘米。如果不让水溢出，这个量杯最多能放(