（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第07讲 函数与方程 讲义+随堂检测（原卷版）

第页第07讲函数与方程一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.五、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.【典例例题】题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（

）A． B．0 C．2 D．4【变式1-1】已知是函数的一个零点，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知函数的零点依次为，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（

）A． B． C． D．【解题总结】求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-1】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-2】已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】已知实数，满足，，则________.【变式3-1】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（

）A．且B．且C．且D．且【变式4-1】定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【解题总结】2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-1】已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式5-2】已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【解题总结】题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【变式6-1】若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为A． B． C． D．【变式6-2】设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】已知函数有唯一零点，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【变式7-1】已知函数有唯一零点，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知函数有唯一零点，则负实数A． B． C． D．或【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-1】已知函数，若函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．5【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：等高线问题【例9】已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-1】已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．第07讲函数与方程1．函数在区间上的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（

）A．B．C．D．3．函数在区间内的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数若存