（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第3章 第02讲 三角恒等变换 讲义+随堂检测（教师版）

第页第02讲三角恒等变换知识点一．两角和与差的正余弦与正切①；②；③；知识点二．二倍角公式①；②；③；知识点三：降次（幂）公式知识点四：半角公式知识点五．辅助角公式（其中）．【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形；．2、降幂公式与升幂公式；．3、其他常用变式．4、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．题型一：两角和与差的三角函数公式【例1】已知，则（

）A．－1B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，则，得，则，所以．故选：A．【变式1-1】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，，即，故，故选：A【变式1-2】设，则等于（

）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【解析】因为，所以，故，故选：C．【变式1-3】已知，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.【解题方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形【例2】已知，，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，且，则，整理得，则，整理得，所以.故选：D.【变式2-1】已知，，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，两式相加得，.故选：C.【变式2-2】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，即，化简可得，即，所以，，即，，可得．故选：C．【变式2-3】已知第二象限角满足，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且为第二象限角，所以，于是.故选：D.【解题方法总结】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．题型三：角的变换问题【例3】已知，则（

）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由，解得，所以.故选：A.【变式3-1】已知，则（

）A．B．C．D．3【答案】D【解析】因为，所以，解得=，则，故选：D.【变式3-2】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，所以，则，所以.故选：D【变式3-3】已知，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以；.故选：A.【变式3-4】已知，，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为=-.，；，，所以，故．故选：D.【解题方法总结】常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．题型四：给角求值【例4】式子化简的结果为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式.故选：B.【变式4-1】若，则实数的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.【变式4-2】（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】．故选：A．【变式4-3】求值：（

）A．1B．C．D．【答案】D【解析】原式，故选：D.【解题方法总结】（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．（2）给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．题型五：给值求值【例5】已知，则________.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.【变式5-1】已知，则______．【答案】【解析】由题意可得，.故答案为：【变式5-2】若，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，即.所以，解得.所以.故答案为:.【变式5-3】已知，则_______.【答案】【解析】因为，故可得，则故答案为：.【变式5-4】已知，则________．【答案】【解析】由两角差与和的余弦公式，等式右边变为：，等式左边将看作整体，按照两角差的正弦公式展开，左边得到：.于是根据左边等于右边得到：，即，显然，否则，这与矛盾，于是等式两边同时除以，得到.故答案为：【解题方法总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．题型六：给值求角【例6】已知，，且，，则的值是___________.【答案】【解析】因为，，且，，所以，，且，则，所以.故答案为：.【变式6-1】若为锐角，，则角__________.【答案】【解析】由于为锐角，所以，所以，所以，所以.故答案为：【变式6-2】已知，，则______．【答案】【解析】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．故答案为：【变式6-3】已知，且，求的值为_____．【答案】/【解析】，则，注意到，于是，不妨记，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：，而，于是.故答案为：.【变式6-4】已知，，，，则______．【答案】【解析】因为，，则，，，所以，，，所以，，因此，.故答案为：.【解题方法总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．题型七：正切恒等式及求非特殊角【例7】已知，满足，则______．【答案】【解析】∵，即，∴，即，∴．故答案为：.【变式7-1】____________．【答案】【解析】．故答案为：.【变式7-2】若角的终边经过点，且，则实数______.【答案】【解析】因为角的终边经过点，所以因为，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，则，所以，所以，所以，所以，故答案为：【变式7-3】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，则，即，所以，即，又，，则，所以，，，则所以有即.故选：A.【解题方法总结】正切恒等式：当时，．证明：因为，，所以故．题型八：三角恒等变换的综合应用【例8】已知函数(1)求函数的对称轴和对称中心；(2)当，求函数的值域．【解析】（1）因为，令，解得；令，解得；所以函数的对称轴为，对称中心.（2）因为，则，当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值；所以函数的值域为.【变式8-1】已知.(1)求在上的单调递减区间；(2)若，求的值.【解析】（1），由，解得，又，函数在上的单调递减区间为.（2）由（1）知，又，，，.【变式8-2】已知函数；(1)若在中，，，求使的角．(2)求在区间上的取值范围；【解析】（1）由题意，在中，，，，∴或，∴在三角形中得或.所以当时，由勾股定理得，∴,是等腰直角三角形，∴.当时,由正弦定理得,，即，∴，解得：或，∵,∴,∴,综上所述,为或.（2）由题意，在中，，∵，∴，∴，∴,由正弦函数的性质可知，当,即时,取最小值,当,即时,取最大值，所以在区间上的取值范围是.【变式8-3】已知．若的最小正周期为．(1)求的表达式和的递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）因为，所以，所以，所以，因为的最小正周期为，，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函数的单调递增区间为，（2）因为，所以，所以，即，所以当时，函数取最大值，最大值为，当时，函数取最小值，最小值为.第02讲三角恒等变换1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.故选：B.2．已知，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，因为，所以，所以，即，所以.故选：B3．已知，则的值是（

）A．B．2C．D．【答案】D【解析】由，则.故选：D4．若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.5．已知，则（

）A．0B．C．D．【答案】A【解析】，，又，则，则故选：A6．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知，则，.则.故选：B.7．已知，，则（

）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】由得，进而可得，所以，故选：D8．已知，则______.【答案】【解析】