（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第4章 第03讲 复数 讲义+随堂检测（教师版）

第第页第03讲复数知识点一、复数的概念（1）叫虚数单位，满足，当时，．（2）形如的数叫复数，记作．=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．注意：复数加、减法的几何意义以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．3、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即．②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．题型一：复数的概念【例1】已知的实部与虚部互为相反数，则实数（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于,的实部与虚部互为相反数，故，故选：A【变式1-1】已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以所以的虚部为.故选：A.【变式1-2】若复数为纯虚数，则实数的值为（

）A．2B．2或C．D．【答案】C【解析】因为复数为纯虚数，则有，解得，所以实数的值为.故选：C【变式1-3】若是纯虚数，，则的实部为______.【答案】1【解析】是纯虚数，且，则有，故，实部为1.故答案为：1.【解题方法总结】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．题型二：复数的运算【例2】已知复数，则（

）A．B．1C．D．【答案】A【解析】依题意，，则，所以.故选：A【变式2-1】若，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，故.故选：B.【变式2-2】已知复数z满足，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.【变式2-3】已知复数满足，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：由得，所以，故选．解法二：由得，所以，即，故选：．【解题方法总结】设，则（1）（2）（3）题型三：复数的几何意义【例3】复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由题得，即复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A．【变式3-1】已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，所以．故选：B．【变式3-2】在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（

）A．2B．C．D．1【答案】C【解析】由题意，知，，所以，所以．故选：C.【解题方法总结】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．题型四：复数的相等与共轭复数【例4】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（

）A．9B．1C．D．【答案】B【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则，即，即，解得，故.故选：．【变式4-1】已知，，，若，则（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，所以有，解得或.故选：C.【变式4-2】已知复数，且，其中a是实数，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，解得.故选:B.【变式4-3】已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（

）A．2B．C．4D．【答案】B【解析】设，则，则，即，所以，解得，所以，所以的共轭复数的虚部为.故选：B.【解题方法总结】复数相等：共轭复数：．题型五：复数的模【例5】若，则_______．【答案】【解析】由可得，故，则，故答案为：【变式5-1】已知复数满足，则__________．【答案】【解析】设，则，所以，解得，当时，，故，；当时，，故，，故答案为：-8【变式5-2】设复数，满足，，则=_______.【答案】【解析】方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴.题型六：复数的三角形式【例6】1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；对于B，，故选项B正确；对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．故选：D．【变式6-1】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1B．C．D．i【答案】B【解析】，；故选：B．【变式6-2】欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（

）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由欧拉公式知：，，，的虚部为．故选：B【变式6-3】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由棣莫弗公式知，，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．【解题方法总结】一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．题型七：与复数有关的最值问题【例7】若，则的最大值与最小值的和为___________.【答案】【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，则.故答案为：【变式7-1】在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.【答案】6【解析】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，而，即点到定点距离的最大值，所以的最大值为.故答案为：【变式7-2】设是复数且，则的最小值为（

）A．1B．C．D．【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故选：C【变式7-3】复平面内复数满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，所以点的轨迹方程为，设，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：B．【变式7-4】已知复数满足，则的最大值为（

）A．B．C．4D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为．故选：B第03讲复数1．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A．B．C．3D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，∴.故选：B.2．设，则在复平面内所表示的区域的面积是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，则在复平面内所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：所以，在复平面内所表示的区域的面积是.故选：C.3．若复数满足.则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，因为，所以，解得：，，故.故.故选：C.4．已知复数为纯虚数，则（

）A．0B．1C．D．2【答案】C【解析】因为纯虚数，所以，解得，所以.故选：C.5．已知复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．1B．-1C．iD．-i【答案】B【解析】由已知可得，，所以，所以，复数z的虚部为.故选：B.6．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（

）A．6B．4C．2D．1【答案】C【解析】设（且），代入原方程可得．所以，解得，因为，所以．故选：C．7．已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（

）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】设复数在复平面中对应的点为，由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1，所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，因为表示表示复平面中点到定点的距离，所以，即的最大值为3.故选：C.8．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，依题意，，当时，，B正确，ACD错误.故选：B9．复数满足，则__________．【答案】【解析】因为复数满足，所以，故答案为：.10．若为虚数单位，则计算___________．【答案】【解析】设，，上面两式相减可得，，