2026中考数学高频考点一轮复习：有理数（含解析）

中考数学一轮复习有理数一．选择题（共10小题）1．（2025春•阳新县期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果6452．（2025春•扬州期末）式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（）A．12 B．14 C．7 D3．（2025•兴庆区校级四模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的点表示的数是（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．34．（2024秋•西陵区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“7cm”分别对应数轴上“﹣1.2cm”和“xcm”，则x的值为（）A．2.8 B．3.8 C．4.8 D．65．（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（）A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.116．（2025•市南区校级模拟）﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|7．（2025•市南区校级模拟）设A=48×(132-4+142-4A．18 B．20 C．24 D．258．（2024秋•济源期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（）A．（+5）+（﹣3）＝+（5﹣3） B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣（5﹣3） C．（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3） D．（﹣3）﹣（﹣5）＝（﹣3）+5＝29．（2025•海淀区校级模拟）一根普通的头发丝的直径约为0.00007m，而光刻机的精度可以达到7nm级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知1nm＝10﹣9m，则h约为（）A．10﹣3 B．10﹣4 C．104 D．10310．（2025•富阳区三模）如图，在数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（）A．若t＜﹣1，则BQ＞AQ B．若t＜0，则AQ＞OQ C．若t＞0，则BQ＜OQ D．若t＞1，则AQ＜OQ二．填空题（共5小题）11．（2025春•崇明区期末）在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮B啮合，齿轮B与齿轮C啮合，且齿轮A有32齿，齿轮B有24齿，齿轮C有48齿，齿轮A的转速为180圈/分钟，那么齿轮C的转速是圈/分钟．12．（2025春•崇明区期末）ETC是电子不停车收费系统，车辆安装车载ETC不仅能节省在收费站的通行时间，还能享受九五折优惠．林叔叔开着装有车载ETC的小汽车从崇明到上海，高速公路过路费原需缴纳50元，实际节省了元．13．（2025春•红桥区期末）计算：（﹣1）2025﹣|﹣1|＝．14．（2024秋•西陵区期末）2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．据了解，载人飞船的运行高度大约是飞机飞行高度的50倍，飞机飞行的高度是8×103米，那么载人飞船的运行高度约是m．（结果用科学记数法表示）15．（2025春•青岛期末）在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3×108kg的煤所产生的能量．我国约9.6×106km2的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧kg的煤所产生的能量．（结果用科学记数法表示）三．解答题（共5小题）16．（2025春•西湖区期末）定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4．（1）求（﹣4）*2的值．（2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值．17．（2025春•青秀区校级期末）对于两个数a、b，我们定义：①M（a，b）表示这两个数的平均数，例如：M(-1，②max（a，b）表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max（a，b）＝a；当a＜b时，max（a，b）＝b；例如：max（﹣1，3）＝3．根据以上材料，解决下列问题：（1）M（2024，0）＝，max（2025，0）＝；（2）若M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），求x的值．18．（2025春•浦东新区校级期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约450km，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为6400km，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到0.1km/min）19．（2025春•江都区期末）如图，数轴上点A、B分别表示数a+b，a﹣b．（1）a+b0，a﹣b0；（2）比较a2与b2的大小，并说明理由．20．（2025•裕华区校级三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：﹣6﹣□×2+5．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“□”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况．（1）第1次转动转盘后，求算式的计算结果；（2）某次转动转盘后，算式的计算结果是﹣7，求指针所指区域的数；（3）多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果．

中考数学一轮复习有理数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•阳新县期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果645【考点】有理数的乘法．【专题】新定义；推理能力．【答案】B【分析】先根据“铺地锦”的方法退出格子中的各数，在根据斜行加起来分别等于b、a+1、b+1，通过解方程求出a、b的值，在做出判断．【解答】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格，因此b＝4+2+0＝6，故A正确，不符合题意，5a﹣10＝6﹣1，解得a＝3，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意，a+1＝3+1＝4，b+1＝6﹣1＝5，因此乘积结果是645，D正确，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查了新定义“铺地锦”的理解，能推出格子各数列出方程，求出a、b是解题的关键．2．（2025春•扬州期末）式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（）A．12 B．14 C．7 D【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】设a＝log3（x+12），b＝log3x，c＝log3（x+2），则3a＝x+1，3b＝x，3c＝x+2，再根据同底数幂的乘法及新定义得到（x+12），x和（x+2）的关系，求解即可．【解答】解：设a＝log3（x+12），b＝log3x，c＝log3（x+2），∴3a+b＝x（x+12），32c＝（x+2）•（x+2）＝（x+2）2，∴a+b＝log3x（x+12），2c=log∴log∴x（x+12）＝（x+2）2，解得：x=1故选：A．【点评】本题考查新定义，同底数幂的乘法，正确理解新定义是解题的关键．3．（2025•兴庆区校级四模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的点表示的数是（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3【考点】数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】数轴上一点到原点的距离为该点表示的数的绝对值，据此比较出四个数的绝对值大小即可得到答案．【解答】解：∵1＜2＜3＜4，∴与原点距离最近的点表示的数是1，故选：C．【点评】本题主要考查了数轴上两点的距离，熟练掌握该知识点是关键．4．（2024秋•西陵区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“7cm”分别对应数轴上“﹣1.2cm”和“xcm”，则x的值为（）A．2.8 B．3.8 C．4.8 D．6【考点】数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据数轴上两点距离计算公式可得x﹣（﹣1.2）＝7﹣1，解之即可得到答案．【解答】解：由题意得x﹣（﹣1.2）＝7﹣1，∴x＝4.8，故选：C．【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2024秋•西陵区期末）小华称得一个物体的质量为2.108kg，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（）A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11【考点】近似数和有效数字．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】对千分位数字8，四舍五入即可．【解答】解：2.108精确到0.01的近似值为2.11，故选：D．【点评】本题主要考查有效数字．熟练掌握四舍五入是关键．6．（2025•市南区校级模拟）﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|【考点】数轴；绝对值．【专题】实数；符号意识．【答案】C【分析】依据题意，根据﹣a，b两数在数轴的位置，确定a，b的符号，并利用得到的结论对四个选项进行逐一判断．【解答】解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．∵﹣a＞0，∴a＜0．∴A选项不正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，∴a＞b．∴B选项不正确．∵﹣a＞0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴C选项正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，∴|b|＞|a|．∴D选项不正确．故选：C．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值．解题的关键是应用绝对值的几何意义判断数轴上的点对应的数的符号．7．（2025•市南区校级模拟）设A=48×(132-4+142-4A．18 B．20 C．24 D．25【考点】有理数的混合运算．【专题】规律型．【答案】D【分析】利用等式1n2-4=1【解答】解：利用等式1n2-4=1A=48×(1＝48×14（＝12×（1-1＝12×[（1+12+1＝12×（1+1而12×（1+12故选：D．【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强．8．（2024秋•济源期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（）A．（+5）+（﹣3）＝+（5﹣3） B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣（5﹣3） C．（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3） D．（﹣3）﹣（﹣5）＝（﹣3）+5＝2【考点】有理数的混合运算；数学常识．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据“异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和”，即可求解．【解答】解：（+5）﹣（﹣3）＝+（5+3），故选：C．【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握该知识点是关键．9．（2025•海淀区校级模拟）一根普通的头发丝的直径约为0.00007m，而光刻机的精度可以达到7nm级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知1nm＝10﹣9m，则h约为（）A．10﹣3 B．10﹣4 C．104 D．103【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】先用科学记数法表示出0.00007＝7×10﹣5，再根据同底数幂的除法则计算即可．【解答】解：0.00007＝7×10﹣5，7nm＝7×10﹣9m，（7×10﹣5）÷（7×10﹣9）＝104，即h约为104，故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂相乘，科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．10．（2025•富阳区三模）如图，在数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（）A．若t＜﹣1，则BQ＞AQ B．若t＜0，则AQ＞OQ C．若t＞0，则BQ＜OQ D．若t＞1，则AQ＜OQ【考点】数轴；倒数．【专题】证明题；数据分析观念．【答案】A【分析】本题涉及数轴上的点坐标关系及距离比较．已知点A（﹣1）、点B（1）、原点O（0），点P的坐标为t，点Q是P的倒数点（即Q=1t，要求t≠选项基于不同t的取值范围，比较点间距离：距离公式：数轴上任意两点距离为坐标差的绝对值，即|XY|＝|xy﹣xx|倒数性质：当t＞0时Q为正数，t＜0时Q为负数；t的绝对值大小影响Q的位置（如|t|＞1时|Q|＜1，反之亦然）选项验证：需分情况讨论t的取值区间，结合绝对值计算距离，并判断不等式是否恒成立．【解答】以下逐步验证各选项（使用距离公式|AB|＝|xb﹣xa|）：选项A：若t＜﹣1，则|BQ|＞|AQ|当t＜﹣1时（如t＝﹣2）：Q=1t为负数（如t＝﹣2时Q＝﹣0.5）．|BQ|＝|1-1t|＝|1﹣（﹣0.5）|＝1.5（因1＞1t，结果为1-1t）．|AQ|＝|﹣1-1t|＝|﹣1﹣（﹣0.5）|＝0.5（因﹣1-1t＜0，绝对值为﹣（﹣1-1t）＝1+1t，但1t负，故|AQ|＝1﹣|1t选项B：若t＜0，则|AQ|＞|OQ|反例：当t＝﹣0.5时：Q=1t=-2．|AQ|＝|﹣1﹣（﹣2）|＝|1|＝1．|OQ|＝|0﹣（﹣2）|＝2．比较：|AQ|＝1＜|OQ|＝2，不满足|AQ|＞|OQ|．结论：B错误（非所有t选项C：若t＞0，则|BQ|＜|OQ|反例：当t＝2时：Q=1t=0.5．|BQ|＝|1﹣0.5|＝0.5．|OQ|＝|0﹣0.5|＝0.5．比较：|BQ|＝|OQ|，不满足严格小于．结论：C错误（仅当0＜t＜1时成立，但t选项D：若t＞1，则|AQ|＜|OQ|当t＞1时（如t＝2）：Q=1t=0.5．|AQ|＝|﹣1﹣0.5|＝|﹣1.5|＝1.5．|OQ|＝|0﹣0.5|＝0.5．比较：|AQ|＝1.5＞|OQ|＝0.5，不满足小于．结论：故选A．【点评】本题核心考点可归纳为三点：1．数轴与坐标运算：点的表示（A、B、O、P、Q的坐标关系）2．倒数定义（Q=1t3．距离公式应用：绝对值计算（关键公式|XY|＝|xy﹣xx|）距离比较时需考虑t的分区间讨论（如t＜﹣1、﹣1＜t＜0、t＞1等）．易错点与策略：陷阱：选项B、C、D未覆盖所有边界值（如t＝﹣0.5、t＝2等反例）方法：优先代入特殊值验证；严格依据绝对值性质化简距离表达式．本题虽涉及分类讨论，但通过聚焦临界点（如t＝﹣2，﹣0.5，2）可高效排除错误选项．二．填空题（共5小题）11．（2025春•崇明区期末）在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮B啮合，齿轮B与齿轮C啮合，且齿轮A有32齿，齿轮B有24齿，齿轮C有48齿，齿轮A的转速为180圈/分钟，那么齿轮C的转速是120圈/分钟．【考点】有理数的混合运算．【专题】探究型；推理能力．【答案】120．【分析】根据“齿数与转速成反比”，即可得出答案．【解答】解：（1）48：32＝3：2，180×23=120故答案为：120．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键掌握齿数与转速成反比．12．（2025春•崇明区期末）ETC是电子不停车收费系统，车辆安装车载ETC不仅能节省在收费站的通行时间，还能享受九五折优惠．林叔叔开着装有车载ETC的小汽车从崇明到上海，高速公路过路费原需缴纳50元，实际节省了2.5元．【考点】有理数的混合运算．【专题】其他问题；应用意识．【答案】2.5．【分析】九五折即为原价的95%，把原价看作单位“1”，用原来需要缴费的钱数乘（1﹣95%），即可求出实际节约了多少元．【解答】解：九五折＝95%，50×（1﹣95%）＝50×5%＝2.5（元），故答案为：2.5．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，找出数量关系是解题的关键．13．（2025春•红桥区期末）计算：（﹣1）2025﹣|﹣1|＝﹣2．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】﹣2．【分析】先算乘方和绝对值的运算，再计算减法即可．【解答】解：（﹣1）2025﹣|﹣1|＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．14．（2024秋•西陵区期末）2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．据了解，载人飞船的运行高度大约是飞机飞行高度的50倍，飞机飞行的高度是8×103米，那么载人飞船的运行高度约是4×105m．（结果用科学记数法表示）【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】4×105．【分析】根据50×8×103计算出结果，再用科学记数法表示即可．【解答】解：50×8×103＝400000＝4×105（米），故答案为：4×105．【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数．一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用原数的整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．15．（2025春•青岛期末）在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3×108kg的煤所产生的能量．我国约9.6×106km2的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1015kg的煤所产生的能量．（结果用科学记数法表示）【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；运算能力．【答案】1.248×1015．【分析】依题意列式计算即可．【解答】解：1.3×108×9.6×106＝1.248×1015kg．一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1015千克的煤所产生的能量．故答案为：1.248×1015．【点评】此题主要考查的是幂的运算，科学记数法的表示．在进行幂的运算时要掌握运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加．三．解答题（共5小题）16．（2025春•西湖区期末）定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4．（1）求（﹣4）*2的值．（2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值．【考点】有理数的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）8；（2）2．【分析】（1）由a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数）得：（﹣4）*2＝（﹣4）2+（﹣4）×2，求出结果即可；（2）因为a*2＝1，所以a2+2a＝1，即1﹣a2＝2a，a*（﹣1）＝a﹣1+a×（﹣1）=2aa【解答】解：（1）（﹣4）*2＝（﹣4）2+（﹣4）×2＝16﹣8＝8；（2）因为a*2＝1，a≠0，所以a2+2a＝1，所以1﹣a2＝2a，所以a*（﹣1）＝a﹣1+a×（﹣1）=1=1-=2a＝2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照示例的公示计算．17．（2025春•青秀区校级期末）对于两个数a、b，我们定义：①M（a，b）表示这两个数的平均数，例如：M(-1，②max（a，b）表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max（a，b）＝a；当a＜b时，max（a，b）＝b；例如：max（﹣1，3）＝3．根据以上材料，解决下列问题：（1）M（2024，0）＝1012，max（2025，0）＝2025；（2）若M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），求x的值．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）1012，2025；（2）2．【分析】（1）根据题意，可以得到M（2024，0）和max（2025，0）的值；（2）根据题意和分类讨论的方法，可以求得x的值．【解答】解：（1）由题意可得，M（2024，0）=2024+02=1012，max（2025，0故答案为：1012，2025；（2）M（6﹣2x，2）=6-2x+22=4当6﹣2x≥2时，得x≤2，此时max（6﹣2x，2）＝6﹣2x，当6﹣2x＜2时，得x＞2，此时max（6﹣2x，2）＝2，∵M（6﹣2x，2）＝max（6﹣2x，2），∴当x≤2时，4﹣x＝6﹣2x，得x＝2，当x＞2时，4﹣x＝2，得x＝2（舍去），由上可得，x的值是2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．18．（2025春•浦东新区校级期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约450km，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为6400km，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到0.1km/min）【考点】近似数和有效数字．【专题】实数；数感．【答案】巡天望远镜的绕行速度为432.6km/min．【分析】先将巡天望远镜到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案．【解答】解：巡天望远镜到地球