（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第4章 平面向量与复数 章节测试（教师版）

第第页第四章平面向量与复数（测试）时间：120分钟分值：150分一、单选题：1．已知，，若与模相等，则=（

）.A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因为，所以，故，而又已知，且，所以，解得.故选：C2．已知向量，若与共线，则（

）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】，；故选：D.3．在中，，，设，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知分别为的中点，所以,故选：B4．已知两个单位向量，的夹角为150°，则（

）A．7B．3C．D．1【答案】D【解析】，所以．故选:D.5．将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（

）A．0B．C．2D．【答案】D【解析】根据题意可知．故选：D6．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（

）A．B．C．5D．【答案】B【解析】由题知，向量，所以.又，所以向量在向量方向上的投影为.故选:B.7．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，∵，解得：，∴两向量夹角，∵，以为坐标原点,,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,设,由,知,解得,∴又E为的外心，∴，∴为等边三角形,∴，∴,∴.故选：B.8．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.二、多选题：9．有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则D．恒成立【答案】ABC【解析】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.10．已知向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，因为，，所以，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，又，，所以，所以，B错误；对于C，由可得，，所以，所以，由，，可得，所以，所以，，所以，C正确；对于D，由向量与的夹角为锐角，可得，且向量与不共线，所以，且，所以实数的取值范围是，D错误；故选：AC.11．在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（

）

A．1B．C．D．3【答案】AB【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，则设，则∵，∴，∴整理得，因为，所以故选：AB.三、填空题：12．在中，，点是的中点.若存在实数使得，则______（请用数字作答）.【答案】【解析】因为是的中点，所以因为，所以，所以，所以，即.故答案为：.13．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．【答案】/【解析】在中，，，则，又平分，即有，因此，即有，，整理得，而，且不共线，于是，所以.故答案为：14．已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】依题意，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，如图，则，因为点是以为直径的圆上任意一点，故可设，则，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：15．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【解析】（1）由题知，，所以，所以.（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，向量与向量的夹角为.16．已知向量，，．(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即，，，所以，即；（2）因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得：当，且时，，因为，不共线，所以，，，，解得：，所以且.17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求C的大小；(2)若点D满足，，，求c．【解析】（1）由正弦定理得，所以，展开得，即．因为，所以，即．又因为，所以．（2）因为，所以A为CD的中点，又，所以．由题可知，，所以，则，解得，，所以，即．18．已知H是内的一点，．(1)若H是的外心，求∠BAC；(2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．【解析】（1）设为的中点，为中点，是的外心，所以，点H在边和的垂直平分线上，，，，即①，同理，可得②，联立①②得，而，则，，.（2）是的垂心，，即，，化简得，①同理，化简得，②，联立①②得，则，，则.19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．

(1)求边的长度；(2)若，求的余弦值；(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．【解析】（1）由已知，由正弦定理角化边可得，.由余弦定理角化边可得，，整理可得，，即.因为，所以．（2）因为为中点，所以.设，的