（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第03讲 圆的方程 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第03讲圆的方程知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．题型一：求圆多种方程的形式【例1】过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，设圆心为，则圆的半径为，又因为，所以，，整理可得，解得或，当时，，此时圆的方程为；当时，，此时圆的方程为.综上所述，满足条件的圆的方程为或.故选：C.【变式1-1】已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直径的两个端点分别，圆心C为点由中点坐标公式，得，解得∴半径，∴圆的方程是即故选：A.【变式1-2】求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．故选：D．【变式1-3】已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线，即，由解得，即，圆C：的圆心，，所以所求圆的标准方程为.故选：B【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程【例2】圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0【答案】A【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，解得λ＝-7，所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故选：A．【变式2-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．【答案】【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：.【变式2-2】过两圆与的交点和点的圆的方程是.【答案】【解析】设所求圆的方程为：，将代入得：所求圆的方程为：，本题正确结果：【变式2-3】经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为【答案】【解析】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得；解得.所以圆的方程为：.故答案为：.【解题方法总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为：当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系题型三：与圆有关的轨迹问题【例3】点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点在圆上，则，即.故选：A.【变式3-1】已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.【变式3-2】已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知设由此可得①又在中，有②由①②得故点M的轨迹是圆．因为点M是PQ的中点，设则代入点M的轨迹方程中得，整理得，即为所求点Q的轨迹方程．【变式3-3】已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．【解析】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为∵点在圆上，∴．故线段中点的轨迹方程为．（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，则，所以，所以．故线段中点的轨迹方程为．【解题方法总结】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件【例4】“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为方程，即表示圆，等价于0，解得或.故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A【变式4-1】若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】若方程表示圆，则，解得：或.故选：C【变式4-2】若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1B．-2或-1C．2D．-1【答案】C【解析】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.【变式4-3】若，使曲线是圆，则（

）A．B．C．或D．【答案】A【解析】由题意，，因为，所以或，当时，方程为，化简得，此时，不表示圆；当时，方程为，化简得，此时，表示圆.所以.故选：A【解题方法总结】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径题型五：点与圆的位置关系判断【例5】若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C【变式5-1】已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，则，解得：①，又∵点在圆的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故选：B．【变式5-2】点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（

）A．B．C．2D．3【答案】C【解析】如图所示：设，因为，所以，则，即，因为点P在圆上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值为2，故选：C【变式5-3】若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D【解题方法总结】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．题型六：数形结合思想的应用【例6】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．【变式6-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，则令，解得，则其过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.故选：C．【变式6-2】直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，整理可得，其中，所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：当直线与曲线相切时，由图可知，，且有，解得，当直线过点时，则有，由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，故选：B.【变式6-3】若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(

)A．B．C．D．2【答案】B【解析】如图，曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线即与半圆相切，所以，解得．因为所以，又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，所以实数k的取值范围是故选：B【解题方法总结】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．题型七：与圆有关的对称问题【例7】圆关于直线对称，则．【答案】3【解析】由可得圆的标准方程为：，则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，故答案为：3.【变式7-1】已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则【答案】2【解析】圆，即，圆心，半径，因为圆关于直线对称，所以，解得，所以，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以.故答案为：【变式7-2】已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．【答案】2【解析】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.，当且仅当，即时等号成立.∴，即，所以时，的最小值为2.故答案为：2【变式7-3】已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．【答案】16【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值是16故答案为：16【解题方法总结】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线第03讲圆的方程1．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（

）A．B．C．D．4【答案】B【解析】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，∴正方形的边长等于直线、的距离，则，若圆的半径为r，，即，则，由正方形的性质知：，∴，即有.故选：B.2．在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（

）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由已知可设，则，又，因为，所以,即,所以,其中，当时，有最大值为.故选：C.3．已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（

）A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】圆：的圆心，由圆心在直线上，可得，解之得.故选：D4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（

）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】如图所示：设点P关于直线x+y=2的对称点为，则，解得，即，所以，则“将军饮马”问题中的最短总路程为.故选：C5．点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】圆的圆心，半径为，由于在圆外，．故选：D.6．若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（

）A．2B．2或C．D．或【答案】B【解析】因为直线的倾斜角为，所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．设圆心，则圆的方程为，将点的坐标代入，得，整理得，解得或；所以圆的直径为2或．故选：B.7．（多选）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（

）A．B．4C．D．6【答案】BCD【解析】∵，∴点的轨迹是