（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．题型四：切点弦问题【例4】从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为.【答案】【解析】如图，由题可知，，由对称性可知，所以求四边形的最小面积即求的最小值，设，，则当，即时，，四边形的最小面积为所以所以以为直径的圆的方程为：，则为以圆和以为直径的圆的公共弦，如图所示两圆方程作差得：，所以直线方程为故答案为：【变式4-1】已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，如图所示，根据圆的切线长公式，可得，则，当取最小值时，取最小值，此时，则，则.故答案为：.【变式4-2】已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是2，，得，．故选：A．【变式4-3】已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为，即与圆相离；设为直线上的一点，则，过点P作圆的切线，切点分别为，则有，则点在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径为，则其方程为，变形可得，联立，可得：，又由，则有，变形可得，则有，可得，故直线恒过定点，设，由于，故点在内，则时，C到直线的距离最大，其最大值为,故选∶B【解题方法总结】过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．题型五：圆上的点到直线距离个数问题【例5】若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.【变式5-1】已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2，因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得，故选A.【变式5-2】若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.【变式5-3】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．故选：．【解题方法总结】临界法题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题【例6】已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，由题可知，圆心为点，半径为1，若直线上存在两点，使得恒成立，则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，所以长度的最小值为.故选：D【变式6-1】已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.【答案】/【解析】由圆知圆心，半径，因为与圆相切于点，所以，所以，所以越小，越小，当时，最小，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，，故的周长的最小值为.故答案为：.【变式6-2】若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为．【答案】【解析】直线过定点，直线过定点，显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，显然点的坐标为，所以该圆的方程为，由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，当点在如下图位置时，的值最大，即，所以|PM|的最大值为，故答案为：【变式6-3】已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是.【答案】【解析】由圆的方程可得圆心为，直线的方程可整理为，令，解得，所以直线过定点，当垂直直线时，最小，所以，解得，所以直线的方程为，即.故答案为：.【变式6-4】已知圆与直线相交于两点，则的最小值是.【答案】【解析】根据题意，圆即，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为；故答案为：.【解题方法总结】直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．题型七：圆与圆的位置关系【例7】已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（

）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知直线，则原点到直线l的距离为，由直线l与圆相切，则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，因为圆和圆外切，所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，所以满足条件的直线l有3条．故选:B．【变式7-1】已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】由已知可得，圆心，半径.由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，又直线是圆的切线，所以，直线是圆与圆的公切线.因为，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D.【变式7-2】圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；圆：，即，其圆心为，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．【变式7-3】已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】B【解析】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．【变式7-4】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（

）A．3B．8C．4D．9【答案】D【解析】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，当且仅当a2＝2b2时等号成立．故选：D.【解题方法总结】已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含；题型八：两圆的公共弦问题【例8】圆与圆的公共弦所在的直线方程为．【答案】【解析】联立，两式相减得.故答案为：【变式8-1】已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则【答案】【解析】圆的方程为，即①，又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为圆的圆心到直线的距离，所以．故答案为:.【变式8-2】圆与圆的公共弦的长为．【答案】【解析】将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为：.【变式8-3】已知圆与圆相交于两点，则.【答案】【解析】因为圆与圆相交于两点，所以直线AB的方程为：，即，圆心到弦AB的距离，所以，故答案为：.【解题方法总结】两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】当最短时，直线，所以.又，所以，所以的方程为，即.故选：D2．已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆：的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线：被圆截得的弦长为，故选：C.3．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为A．B．C．D．【答案】【解析】的圆心到直线的距离等于，故圆上的动点到直线的距离的最小值为．故选：．4．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】由圆的方程可得圆心坐标，半径；设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时，所以最小的弦长，故选：．5．已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（

）A．64B．12C．D．【答案】D【解析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为，因此的面积的最大值为.故选：D6．若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（

）A．B．2C．D．8【答案】C【解析】令则，即，令，则，即，圆：，则设点，当时取得最小值.故选：C.7．已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（

）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】圆过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点，设，依题意，，又，解得，即，则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，设，于是，而，因此，所以线段的中点D的横坐标.故选：B8．圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（

）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内，所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.故选：B9．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5B．C．D．【答案】D【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D10．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，故当时，的面积取最大值，则，所以，圆心到直线的距离为，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，其中，圆的圆心为，则，解得，即，显然，因此，.故选：D.11．已知圆与圆：相内切，则实数m的值为．【答案】0或2【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有或．故答案为：0或2.12．已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为.【答案】3【解析】设，由点