（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第07讲 抛物线及其性质 讲义+随堂检测（教师版）

第第页第07讲抛物线及其性质知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程顶点范围，，，，对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径【解题方法总结】1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上题型一：抛物线的定义与方程【例1】已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】抛物线的准线为，将代入得，故P到准线的距离为2，故选：C．【变式1-1】抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可设抛物线的方程为，则准线方程为，当时，可得，可得，又，，所以，即，解得，所以的方程为.故选：C【变式1-2】抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的标准形式为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以焦点坐标为.故选：B【变式1-3】过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线过点，所以直线的方程为.由得，.设，则.因为，整理得，解得，所以抛物线的准线方程是.故选：D.【解题方法总结】求抛物线的标准方程的步骤为：（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：（2）根据题目条件列出P的方程（3）解方程求出P，即得标准方程题型二：抛物线的轨迹方程【例2】已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【答案】【解析】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，所以，，抛物线方程为.故答案为：.【变式2-1】与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是．【答案】【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，所以该抛物线方程是，故答案为：【变式2-2】已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为．【答案】【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．故答案为：【变式2-3】已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是．【答案】y2＝﹣8x【解析】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y），由题意可得PC＝1+r，即＝1+1﹣x，化简可得y2＝﹣8x.故答案为：y2＝﹣8x．【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题【例3】已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为.【答案】3【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径，于是，因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，所以的最小值为3.故答案为：3.【变式3-1】函数的最大值为．【答案】【解析】将给定的函数表达式变形为，问题转化为求点到点与距离之差的最大值，而点的轨迹为抛物线，如图所示，由A、B的位置知直线必交抛物线于第二象限的一点C，由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时，才能取得最大值..故答案为：.【变式3-2】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为.【答案】【解析】由题可知直线的方程为，设，则由,消去，整理得，所以，所以，解得，所以，而圆的圆心,因为，当且仅当点在同一条直线上取等号，且点位于点之间，如图所示：又，所以的最小值为.故答案为：.【变式3-3】过点的直线交抛物线于两点，点的坐标为.设线段的中点为则的最小值为.【答案】【解析】由题意抛物线的焦点为，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足分别为，，取的中点为，连接，如下图所示：点到准线的距离为，易知四边形为直角梯形，则由抛物线的定义可得.即（当三点共线时，取等号）即的最小值为.故答案为：【变式3-4】已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，到圆上动点Q的距离为，则的最小值为．【答案】2【解析】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以，，当且仅当三点共线时等号成立，且点在线段上，所以，又，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，又，所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为2，故答案为：2【解题方法总结】抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题【例4】已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，则，，在中，，所以，所以，在中，，所以，所以.又轴，，所以.又抛物线，则,所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，与抛物线方程联立,消并化简得,设点，则，则.又直线可化为，则点到直线的距离,所以.故选:B.【变式4-1】已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：设，，连接，圆为：，则，则，当点时，的最小值为，所以，故选：C【变式4-2】抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解析】根据抛物线的定义可知，，又，，故是等边三角形，又的面积是，故可得，故.故选：B.【解题方法总结】解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．题型五：焦半径问题【例5】已知抛物线的焦点为，点为曲线上一点，若，则点的坐标为．【答案】【解析】由抛物线可得：，由抛物线的定义可得：，则，又因为点为曲线上一点，所以，所以，所以点的坐标为.故答案为：【变式5-1】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线与圆于四点，则.【答案】1【解析】抛物线的焦点为，准线为，可设直线方程为，直线，与联立得：，可得,,,.答案为1.【变式5-2】抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.【变式5-3】已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.【答案】【解析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，则，在中，，所以，所以，故在中，，所以，则.又轴，，所以，又抛物线，则，所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.故选：B.【变式5-4】已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，O为坐标原点，，，面积分别为，若F为的重心，且，则该抛物线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设、、三点的坐标分别为，，，，，，抛物线的焦点的坐标为,，，，，、、在抛物线上，，，，由此可得：，点是的重心，，可得,因此，,解得（负值舍去），故该抛物线的方程为，故选：．【解题方法总结】（1）．（2）．（3）． 第07讲抛物线及其性质1．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设焦点为，则，解得．故选：D2.已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.3．已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】因为点是抛物线C：的焦点，所以，．又因为，所以，设，则，所以，故点M到y轴的距离为8．故选：B4．涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：设鸽子所在位置为点，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以，解得，则，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为，故选：B5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【解析】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形，故，，所以，其中准线l与轴交点为，则，故，所以.故选：D6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，即其最小值是.故选：D7．设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（

）A．12 B．6 C． D．【答案】D【解析】由题知，抛物线的焦点F为，准线l为，如图所示.由题知，因为，所以，则.因为，所以，由抛物线的定义知，所以是正三角形，所以，则.故选：D8．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为抛物