（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义+随堂检测（原卷版）

第第②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．知识点二、根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．知识点三、弦长公式设，根据两点距离公式．（1）若在直线上，代入化简，得；（2）若所在直线方程为，代入化简，得（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为，时，；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．题型一：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（

）A．2条B．3条C．4条D．无数条【变式1-1】命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【变式1-2】过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条B．2条C．3条D．4条题型二：中点弦问题方向1：求中点弦所在直线方程问题；【例2-1】过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是【变式2-1】已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.【变式2-2】双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为.【变式2-3】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为．方向2：求弦中点的轨迹方程问题；【例2-2】已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是.【变式2-4】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是.方向3：斜率之积问题【例2-3】已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（

）A．B．C．D．【变式2-5】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A．B．C．D．【变式2-6】过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（

）.A．B．2C．D．【变式2-7】过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．题型三：弦长问题【例3】已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则．【变式3-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则．【变式3-2】已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为．【变式3-3】已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则．题型四：面积问题方向1：三角形问题【例题4-1】椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．(1)求椭圆方程；(2)动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．方向2：四边形问题【例4-2】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．(1)求椭圆的方程；(2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值．第08讲直线与圆锥曲线的位置关系1．过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（

）A．B．C．D．2．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（

）A．B．C．D．3．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）

A．B．C．D．4．已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（

）A．10B．9C．8D．55．已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（

）A．5B．-4C．3D．-36．已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则．7．已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则.8．已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是.9．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在