（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第01讲 等差数列及其前n项和 讲义+随堂检测（教师版）

第页第01讲等差数列及其前n项和知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．知识点三．等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．（1）通项公式的推广：．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（3），…仍是等差数列，公差为．（4），…也成等差数列，公差为．（5）若，是等差数列，则也是等差数列．（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．（7）若项数为偶数，则；；．（8）若项数为奇数，则；；．（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系．数列是等差数列⇔（为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列，公差为，前项和为，则：①等间距抽取为等差数列，公差为．②等长度截取为等差数列，公差为．③算术平均值为等差数列，公差为．【解题方法总结】（1）等差数列中，若，则．（2）等差数列中，若，则．（3）等差数列中，若，则．（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．题型一：等差数列的基本量运算【例1】已知数列满足：，且满足，则（

）A．1012B．1013C．2022D．2023【答案】A【解析】因为，所以，两式相减，得：，所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，所以.故选：A.【变式1-1】已知等差数列的前项和是，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为，则，，解得，，所以．故选：D.【变式1-2】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（

）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故选：A.【变式1-3】记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30B．28C．26D．13【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，，，所以.故选：C【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明【例2】已知数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）数列中，，当时，，两式相减得，即，则，于是，因此数列是常数列，则，从而，即，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，，所以.【变式2-1】记为数列的前项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①数列是等差数列；②(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．【解析】（1）选择条件①：，，两式相减可得，即，，两式相减可得，化简可得，，数列是等差数列．选择条件②：设数列的首项为，公差为，则，故，当时，，当时，，，又．数列是等差数列．（2）数列是等差数列，且公差，．，故．【变式2-2】已知数列满足，．(1)证明：是等差数列，并求出的通项．(2)证明：．【解析】（1）由，可得，∴，即，∵，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即．（2）令①，∵，∴②，①×②得，∴，即．【变式2-3】已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；(2)记，求数列的前2023项的和M．【解析】（1）因为，当时，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，当时，．所以，即，所以，所以所以是以为首项，1为公差的等差数列.（2）所以，则，因为，故．【解题方法总结】判断数列是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意是周一常数．（2）等差中项法：对任意，湍足．（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．题型三：等差数列的性质【例3】已知等差数列满足，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A【变式3-1】设为等差数列的前项和，若，则（

）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.故选：A.【变式3-2】如果等差数列中，，那么（

）A．14B．12C．28D．36【答案】C【解析】∵，∴，则，又，故.故选:C.【变式3-3】已知数列是等差数列，若，则等于（

）A．7B．14C．21D．7(n-1)【答案】B【解析】因为，所以.故选：B【解题方法总结】如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．题型四：等差数列前n项和的性质【例4】两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．【答案】【解析】由题意可知，，所以.故答案为:.【变式4-1】设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.【答案】【解析】等差数列，的前n项和分别为，，所以.故答案为：【变式4-2】若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.【答案】【解析】因为，为等差数列，所以，因为，所以.故答案为：.【变式4-3】已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【解析】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：【变式4-4】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______.【答案】8【解析】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，即，解得：即等差数列共项，且故答案为：8【解题方法总结】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．题型五：等差数列前n项和的最值【例5】已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.【答案】7【解析】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得则.又，∴当时，取得最大值.方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，∴，解得，则，令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，.故答案为：7.【变式5-1】设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，又，所以，所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值，所以，故选：C.【变式5-2】在数列中，若，前项和，则的最大值为______．【答案】66【解析】=21，解得，故，属于二次函数，对称轴为，故当或时取得最大值，，，，故的最大值为66.故答案为：66.【变式5-3】设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.【答案】13【解析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求．在等差数列中，由，，得，，则数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列从第14项起为负值，而为递增数列，数列的最大项是第13项．故答案为：13．【变式5-4】已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为．【答案】20【解析】因为，所以和异号，又数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，又，所以，，所以的最大值为20．故答案为：20.【解题方法总结】求等差数列前项和最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；②若，则满足的项数使得取得最小值．题型六：等差数列的实际应用【例6】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】A【解析】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，依题意有：，，，公差，则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A【变式6-1】2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（

）A．102B．103C．104D．105【答案】C【解析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，由已知是的倍数，也是的倍数，故为的倍数，所以首项为，公差为的等差数列，所以，令，可得，又解得，且，故获得精品足球的人数为.故选：C.【变式6-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（

）A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A.题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论【例7】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.【变式7-1】已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，．则，解得，所以．（2）由（1）可得，则，所以.【变式7-2】数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．【解析】（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，又，故，∴前101项的偶数项和为，前101项的奇数项和为，∴．【解题方法总结】对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题【例8】已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.【解析】（1）因为，所以，所以当时，，所以；当时，，所以，所以，又满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，当时，；当时，；所以，当时，递减，所以；当时，，设，则，令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以在时递减，在时递增，而，，且，所以；综上，的最小值为.【变式8-1】记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.【变式8-2】已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．【解析】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）因为，所以，当时，，此时，，当时，，此时，，综上所述：.【解题方法总结】由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：（1）首先找出零值或者符号由正变负的项（2）在对进行讨论，当时，，当时，题型九：利用等差数列的单调性求解【例9】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，所以，则，解得：，故选：C【变式9-1】设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得公差，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立．故选：C．【变式9-2】等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.故选：D.【变式9-3】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即.故选：C.【解题方法总结】（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与恒成立问题【例10】已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.【答案】【解析】由题意可知，所以，同理得，所以.结合，可得.当时，取得最大值为，要使对恒成立，只需要，即可，所以,，即.所以正整数的值为.故答案为：.【变式10-1】已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由，可得.两式相减，可得，所以数列为等差数列.因为，，所以，所以，，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，所以数列中的最大项为1，故，即实数的取值范围为.故答案为:.【变式10-2】已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．【答案】【解析】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且，所以且，解得．故答案为：.【变式10-3】等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为_________．【答案】9【解析】，，所以当时取最大值，因为对任意，都有恒成立，所以k的值为故答案为9第01讲等差数列及其前n项和1．在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（

）A．10B．11C．12或13D．13【答案】C【解析】因为在等差数列中，，所以，所以，又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当取最大值时，或13．故选：C．2．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为，由题意可得，所以，故选：B3．已知等差数列的前项和为，，则（

）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以.故选：D.4．已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（

）A．63B．C．45D．【答案】D【解析】