（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第02讲 等比数列及其前n项和 讲义+随堂检测（教师版）

、第页第02讲等比数列及其前n项和知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列．（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列，公比为，前项和为，则：①等间距抽取为等比数列，公比为．②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【解题方法总结】（1）若，则．（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．（5）为等比数列，若，则成等比数列．（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若为正项等比数列，则为等差数列．（9）若为等差数列，则为等比数列．（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．题型一：等比数列的基本运算【例1】在等比数列中，，，则等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【解析】由题意，，在等比数列中，，，设公比为，，即，解得或，∴，当时，，当时，.故选：D.【变式1-1】已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由前3项的和为7，得，前3项的积为8，得，即，则，代入，得，即，解得或，因为为递增的等比数列，所以，则，所以，故选：D．【变式1-2】在等比数列中，若，，则公比q应为（

）A． B． C． D．－2【答案】D【解析】因为，解得q＝－2.故选：D【变式1-3】设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.【变式1-4】已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.【解题方法总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，；当时，．题型二：等比数列的判定与证明【例2】已知数列满足，，其中为的前n项和．证明：(1)是等比数列．(2)．【解析】（1）∵，∴，两式相减得：，即．∴．当时，，即又∵，∴是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）得，所以，令，则．不等式左边的前2n项和．又，∴原不等式得证．【变式2-1】已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.【变式2-2】已知数列、满足，，，，且，.(1)求证：是等比数列；(2)若是递增数列，求实数的取值范围.【解析】（1）由题可知：，，故可得，又，∴，∴，所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）方法一：∵是递增数列，∴对任意恒成立，∵，∴则对任意恒成立，即对任意恒成立，由（1）知，∴对任意恒成立，因为当时取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围为.方法二：得即，又，故数列为首项，公差的等差数列，所以，又由（1）知，所以，因为是递增数列，所以对任意恒成立.所以，所以，所以，因为当时取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围为.【变式2-3】已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．【解析】（1）由题意得．又因为，所以．所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得．所以．所以.【解题方法总结】等比数列的判定方法定义法若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列中项公式法若数列中，且，则是等比数列通项公式法若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列前项和公式法若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列题型三：等比数列项的性质应用【例3】若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.【答案】【解析】由题可得，则成等比数列，得.又不妨设，则成等差数列，得.结合，可得，解得或（舍去），即.故答案为：【变式3-1】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则______．【答案】16【解析】由题意得：，故，故，所以.故答案为：16【变式3-2】在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【答案】5【解析】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【变式3-3】已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则__________.【答案】【解析】由题意可知，，所以；由等比数列性质可得；又因为函数，所以，即，所以；令，则；所以，即.故答案为：【解题方法总结】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．题型四：等比数列前n项和的性质【例4】已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________.【答案】40【解析】因为，，所以，，则等比数列的公比，所以，，也是等比数列，所以，，也是等比数列，所以，即，解得或，又，所以.故答案为：40.【变式4-1】已知等比数列的前项和为，若，，则______.【答案】510【解析】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，所以.故答案为：510.【变式4-2】已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______.【答案】600【解析】设等比数列的公比为因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则，由，，成等比数列，可得即，解得，故答案为：600【变式4-3】设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.【答案】91【解析】方法一：等比数列中，，，成等比数列，则，，成等比数列，∴，∴，∴.方法二：设公比为，由题意显然且,所以，∴，故答案为：.【变式4-4】已知等比数列的前项和为，，，则___________.【答案】/【解析】设等比数列的公比为q，由，得，故，所以.故答案为：.【变式4-5】已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______【答案】【解析】设等比数列的公比为.若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，且公比为，所以，，，因此，.故答案为：.【解题方法总结】（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．①若共有项，则；②若共有项，．（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．题型五：求数列的通项【例5】记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为________．【答案】【解析】∵，∴，当时，，得，当时，，，两式作差得：，即，所以是以为公比，1为首项的等比数列，则，又不符合上式，所以.故答案为：.【变式5-1】已知数列和满足，，，.则数列的通项______.【答案】【解析】，，又，所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，故答案为：【变式5-2】数列的前项和为，则数列的通项___________．【答案】【解析】当时，，两式相减得，所以当时，是以为首项，公比为的等比数列，所以，不满足上式，所以.【变式5-3】已知数列{}的通项与前n项和之间满足关系则=__________【答案】【解析】当时，，所以；当时，整理得，即是以为公比的等比数列，所以，当n=1时也符合，故答案为：【解题方法总结】（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为题型六：奇偶项求和问题的讨论【例6】已知数列满足，且(1)设，求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因为所以，，，所以．又因为，所以，所以．因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以是一个增数列，因为，，所以满足题意的n的最小值是20．【变式6-1】已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）由，得所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以．（2）当为奇数时，．当为偶数时．所以【变式6-2】记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.当时，，符合..（2），依题有：.记，则.记，则.所以.【变式6-3】已知各项为正数的等比数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前2n项和.【解析】（1）设首项为，公比为q.因，则.又各项为正数，则，故；（2）由（1）及题意可得，；当为奇数时，；则当为偶数时，..【解题方法总结】求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型七：等差数列与等比数列的综合应用【例7】已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：(1)数列为等差数列；(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.【解析】（1）因为数列为等差数列，，，所以数列的公差为，，则，又，，故数列为等差数列.（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，由数列的通项公式可得，将此式展开可得，所以有，即，所以，，所以，，化简整理得，，与假设矛盾，故数列中任意三项均不能构成等比数列.【变式7-1】已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：(1)求；(2)若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）设等差数列的公差为选择①：由题意得，故，解得，所以.选择②：由题意得，即解得，所以.选择③：由题意得，故，解得，所以.（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为，由当为偶数时，，得数列的前项中偶数项的和为，故.【变式7-2】公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若为等差数列的前项和，求使成立的的最大值.【解析】（1）因为，所以，设等差数列的公差为，由，则，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值为13.【变式7-3】设数列的前n项和为，，，.(1)证明：为等差数列；(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.【解析】（1）证明：因为时，，则，即，，·因为，则①，所以②，则①②得，即，所以为等差数列.（2）由（1）可得的首项为，公差为，所以，所以，所以，则，记的前n项和为，则①，所以②，则①②得，·所以，所以.·【解题方法总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．题型八：等比数列的范围与最值问题【例8】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列【答案】D【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：D.【变式8-1】已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】设等比数列的公比为，有，由函数单调递增，且，可得.有，由数列单调递减，所以取得最大值时的值为9，故选：B.【变式8-2】已知数列满足，，则数列是（）A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定【答案】A【解析】因为满足，所以数列是公比为的等比数列，所以，又因为，所以单调递增，故选：A【变式8-3】设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大值为【答案】B【解析】若，，，则与矛盾，若，，，则与矛盾，，故B正确；，则，，故A错误；，单调递增，故D错误；，，故C错误．故选：B．【变式8-3】已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为______.【答案】【解析】因为，所以，所以因为，所以，即对恒成立，对恒成立，因为，所以，又因为是正数数列，所以，所以的取值范围为.故答案为：题型九：等比数列的实际应用【例9】中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.【答案】6【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，，其公比，令数列的前n项和为，则，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案为：6【变式9-1】如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和，，弧AB均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么__________．【答案】【解析】如图，设圆与弧AB相切于点D，圆，圆与OA分别切于点C，E，则，.设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.因为，所以.在中，，则，即，解得.在中，，则，即，解得.同理可得，，所以是以为首项，以为公比的等比数列.又圆的面积为，所以面积，，，…，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则.故答案为：.第02讲等比数列及其前n项和1．设等比数列的前项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.所以，解得.，，解得.故选：D2．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值为9；故选：C.3．在等比数列