（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第8章 第01讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 讲义+随堂检测（教师版）

第第页第01讲空间几何体的结构特征、表面积与体积知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体为直截面周长锥体台体球体积公式体积柱体锥体台体球知识点六：空间几何体的直观图1、斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：直观图和平面图形的面积比为．2、平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．题型一：空间几何体的结构特征【例1】已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由棱柱定义知棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，故满足必要性；但有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，如图所示：故不满足充分性，故选：B【变式1-1】下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A【变式1-2】下列命题中正确的是（

）A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.【答案】D【解析】如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B错；如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C错；根据圆锥的定义，D正确．故选：D．【变式1-3】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.【变式1-4】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

）A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．故选：D．【解题方法总结】空间几何体结构特征的判断技巧（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．题型二：空间几何体的表面积【例2】已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（

）A．8B．C．D．【答案】B【解析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，则，即，，球的表面积，圆锥的表面积，则.故选：B.【变式2-1】在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（

）．

A．B．C．D．【答案】C【解析】所求几何体的侧面积为，上下底面面积为，挖去圆柱的侧面积为，则所求几何体的表面积为．故选：C．【变式2-2】陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（

）

A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选：C.【变式2-3】为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正六边形的边长为，由题意正六棱柱的高为，因为正六棱锥的高与底面边长的比为，所以正六棱锥的高为，正六棱锥的母线长为，正六棱锥的侧面积；正六棱柱的侧面积，所以.故选：B.【解题方法总结】（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．题型三：空间几何体的体积【例3】在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（

）

A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面积为，所以，即.因为，所以联立解得（负舍）.因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得，所以该毡帐的体积为.故选：A.【变式3-1】若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，因为母线长为,则半圆弧长底面周长，所以，圆锥的高为如图，设，则，设，则，因为，∴，所以，∴，，故选：C．【变式3-2】已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（

）A．18B．C．D．27【答案】B【解析】如图，设正四棱锥的底面边长，高，外接球的球心为，则，因为球的体积为，所以球的半径为，在中，，即，所以正四棱锥的体积为整理得，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，函数取得最大值，故选：B【变式3-3】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为米，侧棱长为5米，则其体积为（

）立方米.

A．B．24C．D．72【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥中，连接于，则为正方形的中心，连接，则底面边长，对角线，.又，故高.故该正四棱锥体积为.故选：B【变式3-4】最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（

）

A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为.故选：C【解题方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积题型四：直观图【例4】已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为．

【答案】【解析】在直观图中，，所以在还原图中，，如图，在直观图中，，为的三等分点，所以在还原图中，，D为OA的三等分点，又在直观图中，轴，所以在还原图中，轴，则，所以，则，故，，所以四边形OABC是等腰梯形，所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，即．故答案为：.【变式4-1】若正用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为，当的面积为时，的面积为．【答案】【解析】是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，如图所示，设，则的面积为，，的面积为．故答案为：．【变式4-2】用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为.【答案】【解析】根据题意得，原四边形为一个直角梯形，且，，，，则，所以，.故答案为：.【变式4-3】如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为．【答案】【解析】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为：.【变式4-4】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为【答案】【解析】过作于，在直观图中，，，，所以，，故原平面图形的上底为，下底，高为，所以这块菜地的面积为，故答案为：.【解题方法总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．题型五：展开图【例5】已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．【答案】【解析】设圆锥母线长为，由题意，，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆，是切点，如图，易知是圆锥的高，在上，由得，因此，所以，，所以圆锥内半径最大的球的表面积为，故答案为：．【变式5-1】如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则．【答案】【解析】由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得，由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下：则，平面，，平面，，在等边中，，在中，，.故答案为：.【变式5-2】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为．【答案】【解析】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为，又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，故体积故答案为：变式18．如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，，，，，，则三棱锥外接球表面积为．【答案】14π【解析】由题意可知，，，，，在BCF中，，则，因为，所以，在三棱锥P-ABC外接球的球心为O，，，记PA中点为O，，即三棱锥P-ABC外接球的球心为点O，半径，所以外接球表面积为14π．故答案为：14π【变式5-3】如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为.【答案】【解析】该几何体的直观图如下图所示，分别取的中点，连接又，所以由线面垂直的判定定理得出平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设四棱锥外接球的球心，，解得设平面的法向量为，取，则四棱锥外接球的球心到面的距离为又，所以平面PBC所截的圆的半径所以平面PBC所截的圆面的面积为.故答案为：【解题方法总结】多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．题型六：最短路径问题【例6】如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（）.

A．B．C．D．【答案】C【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，．设底面圆的半径为r，则有，解得．∴这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为．故选：C．【变式6-1】盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，根据题意可得，设的中点为，底面的重心为，为外接球的球心，则有底面，，，且，其中为外接球的半径，在直角中，可得，在直角中，，且，所以，解得，所以正方体的最短棱长为.故选：A.【变式6-2】如图，已知正四棱椎的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（

）

A．B．C．D．6【答案】D【解析】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图).要使路程最短，必须沿着线段前行.在中，，，则.作于H，则，，.故选：D.【变式6-3】如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（

）A．B．C．4D．【答案】B【解析】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短．所以最短路线长为.故选：B.第01讲空间几何体的结构特征、表面积与体积1．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（

）

A．54B．C．D．【答案】C【解析】如图，转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边，则斜边为，则有，得到，由几何关系得：阴影部分的面积为，所以增加的面积为.故选：C.2．如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（

）A．B．16C．24D．【答案】A【解析】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题可得，则，在中，，则小虫爬行的最短路程为.故选：A.3．乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为、高为的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为、高为的圆柱，则该组件的体积为（

）．（单位：）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正四棱柱的底面边长为、高为，所以正四棱柱的体积为，又挖去的圆柱的直径为、高为，所以圆柱的，故所求几何体的体积为.故选：D.4．已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.故选：B5．已知正四棱台中，，，则其体积为.【答案】【解析】如图正四棱台中，则，，过点作交于点，过点作交于点，则，又，所以，即正四棱台的高，所以棱台的体积.故答案为：6．如图（1）为陀螺实物体，图（2）为陀螺的直观图，已知，分别为圆柱两个底面圆心，设一个陀螺的外接球（圆柱上、下底面圆周与圆锥顶点均在球面上）的半径