第01讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义6考点+37题型+4重点）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

第二章方程（组）与不等式（组）第01讲一次方程（组）及其应用目录01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 202·知识导航·网络构建 503·考点解析·知识通关 704·命题洞悉·题型预测 22命题点一等式的基本性质题型01等式的性质相关求解题型02等式的性质天平类题型题型03利用等式的性质判断选项是否成立命题点二一元一次方程的解题型01已知方程的解求参数的值题型02解一元一次方程题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确题型04一元一次方程中程序流程图问题命题点三一元一次方程的实际应用题型01一元一次方程实际应用配套问题题型02一元一次方程实际应用工程问题题型03一元一次方程实际应用盈亏问题题型04一元一次方程实际应用比赛积分问题题型05一元一次方程实际应用方案选择问题题型06一元一次方程实际应用数字问题题型07一元一次方程实际应用动点问题题型08一元一次方程实际应用和差倍问题题型09一元一次方程实际应用水费电费问题题型10一元一次方程实际应用行程问题题型11一元一次方程实际应用日历问题题型12一元一次方程实际应用古代问题命题点四二元一次方程组的解题型01二元一次方程（组）的解题型02已知二元一次方程（组）的解求参数题型03解二元一次方程组（计算题）题型04构造二元一次方程组求解题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数题型06二元一次方程组中同解问题命题点五二元一次方程组的实际应用题型01二元一次方程（组）实际应用之列方程题型02二元一次方程（组）实际应用之方案问题题型03二元一次方程（组）实际应用之行程问题题型04二元一次方程（组）实际应用之工程问题题型05二元一次方程（组）实际应用之数字问题题型06二元一次方程（组）实际应用之分配问题题型07二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题题型08二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题题型09二元一次方程（组）实际应用之几何问题题型10二元一次方程（组）实际应用之古代问题命题点六三元一次方程组及其应用题型01三元一次方程组的定义及其解题型02三元一次方程组的实际应用05·重难突破·思维进阶 133突破一一元一次方程中新定义题型突破二一元一次方程中新情境类题型突破三一次方程中规律类题型突破四一次方程（组）实践探究题型考点课标要求考法分析一元一次方程基础概念及等式的性质掌握等式的基本性质，理解一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，明确方程的解的含义。常以选择题、填空题形式考查，难度较低。一是考查等式性质的应用，比如判断等式变形的正误，或结合天平平衡等（例如2025·山东滨州卷，四川卷）；二是考查一元一次方程的判定，比如给出含参数的方程，判断其为一元一次方程时参数的取值；三是已知方程的解求参数值（如2025·广东深圳卷，四川遂宁卷等），一元一次方程的解法能熟练运用等式性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程。题型以选择题、填空题或解答题中的基础题为主。一种考法是直接考查解方程，要求写出完整步骤；另一种是判断解题过程的正误，比如指出去分母、移项等步骤中出现的错误；一元一次方程的解法常常单独考查在解答题中2025·四川眉山卷等二元一次方程（组）的基础概念理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别。多为选择题、填空题，难度不大。常考查二元一次方程（组）的识别，比如判断给出的方程或方程组是否为二元一次方程（组）；也会考查二元一次方程的解的特征，比如给出一个二元一次方程，判断某个数对是否为它的解，或是根据解的特点求参数范围。2025·山东德州卷、2025·四川泸州卷等二元一次方程组的解法掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组，部分地区要求能解简单的三元一次方程组是中考基础必考点，题型涵盖选择、填空和解答题。常规考法是直接求解方程组2025·山东淄博卷、2025·山东潍坊卷等；进阶考法包括用整体法简化求解过程、已知方程组同解求参数、根据方程组解的情况（有唯一解、无解等）确定参数值2025·江苏徐州卷等，例如给出两个含参数的方程组同解，求参数的取值。一次方程（组）的实际应用能根据现实情境理解方程的意义，针对行程、工程、销售、计费等实际问题，准确提取等量关系并列出一次方程（组）求解。高频考点，多以选择题或解答题形式考查，难度中等。常见情境有：行程问题（相遇、追及等，围绕路程、速度、时间的关系列方程）2025·黑龙江卷、2025·江苏徐州卷；工程问题（结合工作量、工作效率、工作时间构建模型）2025·江西卷；销售问题（涉及单价、数量、利润等）2025·黑龙江哈尔滨卷、2025·湖南长沙卷等；计费问题（如出租车起步价、话费套餐等分段计费场景）。近年还出现结合跨学科背景或真实生活情境的考题，如结合港珠澳大桥长度、疫情期间物资运输等情境命题，要求先分析题意，找出等量关系，再列方程（组）求解，部分题目还需根据结果给出合理建议。命题预测命题趋势：2026年中考一次方程（组）及其应用的命题将延续“基础为本、素养导向”的核心原则，最显著的趋势是实际应用场景与多学科融合深化，同时强化方程作为工具的综合运用。从近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。备考建议：针对命题趋势，最关键的备考策略是聚焦实际应用的核心模型，构建“审题—建模—求解—验解”的标准化解题闭环。首先，需分类梳理高频应用场景的核心等量关系，形成“题型—模型”对应思维，如销售问题中“利润=售价-成本、售价=标价×折扣”，行程问题中“相遇总路程=两者路程和”等，通过专项训练熟练提取题干中“共”“比……多”“打折”等关键词，快速锁定等量关系。其次，强化“验解”意识，这是避免实际应用失分的关键——求解后需结合情境验证解的合理性，如人数、数量需为正整数，里程、费用不能为负，确保答案符合实际意义。考点一一元一次方程的解求参数1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的

次数是1（最高次项为一次项），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程；2.方程的解：使一元一次方程等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解；3.等式的基本性质（解方程的依据）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果a=b，则a±c=b±c；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果a=b，则a×c=b×c；如果a=b（c≠0），则a1．（2025·贵州·中考真题）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．【详解】解：∵x=2是关于x的方程x∴2+∴m故选C．2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于x的方程x+a=5的解为x=1【答案】4【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把x=1代入关于x的方程，得到关于a【详解】解：∵关于x的方程x+a=5∴1+a解得：a=4故答案为：4．3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x【答案】2【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把x=2代入3a−2【详解】解：∵x=2是方程3∴把x=2代入3a−2∴3a∴a=2故答案为：24．（2025·山东滨州·中考真题）如果☆×−59【答案】−【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以−5【详解】解：∵☆×−∴☆=1÷−故答案为：−9考点二解一元一次方程一元一次方程的解法（核心技能）步骤操作要点易错提醒去分母在方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，要加括号去括号按照“先小括号，后中括号”的顺序，运用乘法分配律展开括号。①括号前是负号时，括号内各项要变号；②不要漏乘括号内的每一项。移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。移项要变号（“+”变“-”，“-”变“+”），未移项的项不变号。合并同类项分别合并等号两边的同类项，将方程化为

ax=b(a≠0)的形式。合并同类项时，系数相加，字母和次数不变系数化为1在方程两边同除以未知数的系数

a，得x=b①除数不能为0；②注意符号：a、b同号得正，异号得负1．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a

【答案】99【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：13a=25b，设叠部分的长度为k，则【详解】解：由题意可知：重叠部分为：13设重叠部分的长度为k，则a=3k，重叠后的总长度为：a−k+代入a=3k，b=解得：k=18∴a=3×18=54，b∴a+故答案为：99．2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为．【答案】3【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可．【详解】解：由题意得：6x解得：x=3故答案为：3．3（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：4−（2）解方程：2【答案】（1）−1（2）x【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键：（1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可；（2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可．【详解】解：（1）原式=2−3=−1；（2）去括号，得：2x移项，得：2x合并，得：x=4考点三一元一次方程的实际应用1.列方程解应用题的一般步骤审：审题，找出已知量、未知量及等量关系；设：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）；列：根据等量关系列出一元一次方程；解：解所列方程，求出未知数的值；验：检验解是否符合实际意义；答：写出答案（带单位）。2.常见的应用题型和等量关系题型核心等量关系和差倍问题较大数=较小数+差；总量=倍数×倍量行程问题①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间工程问题①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1）利润问题①利润=售价-成本；②利润率=利润成本配套问题配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2=螺母数）1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】设买鸡的人数为x，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变）建立方程求解是解题的关键．【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为9x文，多出11文，故鸡的价钱为9每人出6文钱时，总钱数为6x文，不足16文，故鸡的价钱为6列方程：9解得：x故买鸡的人数为9人，故选：D．2．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A．17x+19x=1 B．【答案】A【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.【详解】解：设相遇时间为x天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为17大雁从北海到南海需9天，故其速度为19∴方程为17故选：A3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（

）A．350元 B．320元 C．270元 D．220元【答案】A【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为x元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为0.6x+10元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为【详解】解：设这款风扇每台的标价为x元，由题意得，0.6x解得x=350∴这款风扇每台的标价为350元，故选：A．4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为100个，乙文创产品数量是50个(2)每天乙文创产品增加的数量是20个【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可；（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是y个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为(x3(x解得：x=50则甲文创产品数量为x+50=100答：该厂每天生产的乙文创产品数量是50个，则甲文创产品数量为100个．（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是y个，则甲文创产品增加的数量是2y140050+解得：y=20经检验：y=20答：每天乙文创产品增加的数量是20个．5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？【答案】(1)y(2)注水5小时可供发电4.2万千瓦时．【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．（1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；（2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式y=6（2）解：根据题意，得0.46解得x=5答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时．考点四根据二元一次方程组的解求解1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是

1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。注意：二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值2.二元一次方程组定义：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。标准形式：a1x+b1y=c1a2x+b2x=3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。注意：二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y=7的正整数解有3组，…，那么关于xA．7组 B．21组 C．28组 D．42组【答案】B【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把x+2y看作整体t，得到t+2z=15【详解】解：令x+2则t+2z=15的正整数解中t的值可以为：3，5∴t+2z=15又∵x+2y=x+2y=x+2y=x+2y=x+2y=x+2y=∴方程x+2y+2故选：B．2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−【答案】1【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．【详解】解：3①+②得，5x解得x=1将x=1代入①得，3+解得y=0∴该方程组的解为x=1∴a=1，b∴a+故答案为：1．考点五解二元一次方程组二元一次方程组的解法核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。解法类型代入消元法加减消元法核心思路将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程适用场景1.方程组中某一个方程的某个未知数系数为1或

−12.能轻松将一个方程变形为

x=ay+b

或

y=ax+b

的形式1.方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数2.同一个未知数的系数成倍数关系，可通过乘系数转化为相等或相反解题步骤1.变形：选一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如

y=kx+b）2.代入：把变形后的式子代入另一个方程，消元得一元一次方程3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值4.回代：将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数5.

写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解1.变形（可选）：若系数不相等或相反，给方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或相反2.加减：系数相反用加法，系数相等用减法，消元得一元一次方程3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值4.

回代：将求得的值代入原方程组任意一个方程，求出另一个未知数5.写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解易错点1.变形后误代入原变形方程，导致恒等式2.代入时漏乘括号内的项，或符号错误1.加减消元时，系数相等用减法，容易忽略各项变号2.变形乘系数时，漏乘方程中的常数项1．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx=【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x,y的方程组，求出【详解】解：由题意可得，x−1=解得x=0∴yx故答案为：12．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy=【答案】1【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值．【详解】解：设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S)设三阶幻方的9个数字分别为：y−4−22xab根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得：−2+2+解①得b=4，解②得：y=0再代入①得：x∴x故答案为：1．3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：x【答案】x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：x②−①×2得：3y解得y=2把y=2代入②得：x∴方程的解为x=34．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：x−【答案】（x=1【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键．【详解】解：x−由①得x=将③代入②，得2y解得y=−1将y=−1代入③，得x∴该方程组的解为x=1考点六二元一次方程（组）实际应用1.列方程组解应用题的一般步骤①审：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系；②舍：设两个未知数（直接设或间接设）；③列：根据两个等量关系列出二元一次方程组；④解：解方程组，求出未知数的值；⑤验：检验解是否符合实际意义⑥答：写出答案（带单位）2.常见应用题及其等量关系题型核心等量关系和差倍分问题量1±量2=差值；量1=倍数×量2行程问题相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离；顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速工程问题工作总量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和利润问题总利润=单件利润×数量；总销售额=单价×数量配套问题配套的两种物品数量比=配套比例（如1张桌子配4把椅子，则桌子数×4=椅子数）数字问题两位数=十位数字×10+个位数字；三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字1．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（

）A．2x+yC．x+2y−10000=【答案】A【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可．【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得，2x故选A．2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】B【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可．【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得：45x∴x=∵x、y均为正整数，∴当y=3时，x当y=6时，x当y=9时，x当y=12时，x∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．故选B．3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可．【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，由题意得：x+解得：x=6答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒．4．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．(2)需要准备37.5公斤大米．【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键．（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x由题意可得：30%x+20%y答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为40+40×2×30%=36设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z由题意可得：4z×30%×80%=36，解得：答：需要准备37.5公斤大米．命题点一等式的基本性质►题型01等式的性质相关求解利用等式的基本性质判断选项是否正确一般方法1.明确原等式：确定题目给出的原始等式（如a=b）；2.分析选项的变形操作：看选项是对原等式两边进行了加、减、乘、除中的哪种操作，以及操作的对象是什么；3.对照性质逐一判断加减变形：重点看两边是否加/减了同一个对象（数或整式），若是则正确；若两边加/减的不是同一个对象，则错误。乘除变形乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且13a−1A．若c=3b，则a=4c B．若a=b，则b=cC．若b>0，则4a<3c D．a+c=【答案】B【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可．【详解】解：A．若c=3b，则b=13c得13∴a=5B．若a=b，则13∴b=c，故B正确，符合题意；C．∵13∴13∴4a−3c=b，∵b>0，∴4a−3c>0，∴4a>3c，故C错误，不符合题意；D．∵13∴13∴4a−3c=b，∵a+c=1∴12a+12c=3a−b+4c，∴b=−9a−8c，∵4a−3c≠−9a−8c，∴由13a−1故选：B．【变式1】（2025·湖北荆州·三模）已知a=b，则下列等式关系不正确的是（

）A．a−1=b−1 B．2a=2b C．a+b=0 D．a【答案】C【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可．【详解】解：A．∵a=b，∴a−1=b−1，原等式关系正确，故此选项不符合题意；B．∵a=b，∴2a=2b，原等式关系正确，故此选项不符合题意；C．∵a=b，∴a−b=0，原等式关系不正确，故此选项符合题意；D．∵a=b，∴a2故选：C．【变式2】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（

）A．若ax=a，则x=1 B．若xa=1C．若x4=a4，则x=a 【答案】B【分析】本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可．【详解】解：A.若ax=a，a≠0时，则x=1，选项变形错误，故本选项不符合题意；B.若xa=1，则C.若x4=aD.若x2=a，则故选：B．【变式3】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足a+b=2c，则下列结论不正确的是（

）A．a−c=c−b B．a−b=2(c−b)C．若a>b，则c>b D．若a>c，则2(b−a)>c−a【答案】D【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可．【详解】解：A.等式两边同时减去(b+c)得a−c=c−b，结论正确，不符合题意；B.等式两边同时减去2b得a−b=2c−2b=2(c−b)，结论正确，不符合题意；C.由a−b=2(c−b)，a>b，则可得到c>b，结论正确，不符合题意；D.由a+b=2c可得b=2c−a，则2(b−a)=2(2c−a−a)=4(c−a)，当a>c时，4(c−a)<c−a，即2(b−a)<c−a，原结论错误，符合题意；故选：D．►题型02等式的性质天平类题型天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质 天平状态/操作等式的等价表述天平平衡等式成立（左边质量=右边质量）天平左边下沉左边质量＞右边质量天平右边下沉坐标质量＜右边质量两边同时加或减相同质量的问题等式两边同时加/减同一个数或整式两边同时乘/除以相同的倍数（物体数量成倍数增加/减少，且物体规格相同）等式两边同时乘/除以同一个不为0的数【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（

）A．如果2a=2b，那么a=b B．如果a=b，那么2a=2bC．如果a+b=b+c，那么a=c D．如果a=b，那么a+b=b+c【答案】C【分析】本题考查了等式的性质1，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果a=b，那么a±c=b±c；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=bc≠0，那么a根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案．【详解】解：由题意可知：左图的含义为：a+b=b+c，右图的含义为：a=c，∴能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为：如果a+b=b+c，那么a=c，故选：C．【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题．【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，则3y+2x=2y+3z，即y+2x=3z．所以2y+4x=6z．所以在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．故选：B．【变式2】（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“△”“◯”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“◯”的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为a，△表示的数为b，◯表示的数为c，由图①可知，a+2b=3c，由图②中，可得2a+4b=2a+2b【详解】解：设□表示的数为a，△表示的数为b，◯表示的数为c，由图①知，3a+2b=3c+2a，∴a+2b=3c，∴图②中2a+4b=2a+2b∴图②中需在右盘放入“◯”的个数是6，故选：B．►题型03利用等式的性质判断选项是否成立【典例】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+bA．ab>c B．若c=−ab，则aC．若b=0，则c<0 D．若c=0，则a=2b【答案】D【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：A、∵a2+b∴a−b2=ab−c>0，∴B、若c=−ab，由于a≠0，b≠0，∵a2∴a2∴a2∴abC、若b=0，∵a2∴a2=−c>0，即D、若c=0，则a2∴a2将a=2b代入等式a2左边=2b2+左边≠右边，原选项错误，故选：D．【变式1】（2025·安徽安庆·一模）设a，b，c为互不相等的实数，且2a+3b=5c，则下列结论一定正确的是（

）A．a>b>c B．a:b:c=9:4:6C．25a+b=c−【答案】C【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得2a+2b=5c−b，进一步可得25【详解】解：∵2a+3b=5c，∴2a+2b=5c−b，∴25根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论，故选：C．【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足b=3−2a=c−3a，则下列式子正确的是（

）．A．a−c=3 B．0≤a≤3 C．b+2c=6 D．3≤c≤4.5【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解．【详解】解：由3−2a=c−3a，得c−a=3，故A选项错误，∵b≥0，∴3−2a≥0，∴0≤a≤3b+2c=c−3a+2c=3c−3a=3c−a∵c−a=3，∴c=3+a，∴3≤c≤4.5，故D选项正确，故选：D．命题点二一元一次方程的解►题型01已知方程的解求参数的值【典例】（2025·广西钦州·二模）若x=2是关于x的方程x+a=−1的解，则a的值是（

）A．−3 B．0 C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的解，将x=2代入x+a=−1中解得a的值即可．【详解】解：∵x=2是关于x的方程x+a=−1的解，∴2+a=−1，解得：a=−3，故选：A．【变式1】（2025·江苏无锡·二模）已知x=2是方程2x−3m=−5，那么m的值是（

）A．−13 B．13 C．【答案】D【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义，解一元一次方程的方法是解题关键．根据方程的解得定义把x=2代入方程转化为关于m的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：∵x=2是方程2x−3m=−5，∴2×2−3m=−5，解得：m=3，故选：D．【变式2】（2025·广东云浮·一模）若x=3是关于x的一元一次方程4x−m+1=0的解，则m的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=3代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：把x=3代入方程得：12−m+1=0，解得：m=13，故选：D．►题型02解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤步骤具体操作依据适用场景去分母方程两边同时乘所有分母的最小公倍数(常数项也需要乘)等式性质2方程中含有分母时去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号；括号前是负号时，括号内各项要变号去括号法则、乘法分配律方程中含有括号时移项把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边等式性质1方程两边同时有未知数项或常数项时合并同类项分别合并左右两边的同类项，将方程化为

ax=b（a≠0）的形式合并同类项法则方程中有同类项时系数化为1方程两边同时除以未知数的系数a（或乘

1a等式性质2方程化为ax=b形式后【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）解方程：(1)2x−19=7x+6(2)2【答案】(1)x=−5(2)x=1【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键．（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可．【详解】（1）解；2x−19=7x+6移项得：2x−7x=19+6，合并同类项得：−5x=25，系数化为1得：x=−5；（2）解：2两边同乘x2x+1，得2整理，得4x+2=6x，移项、合并同类项，得−2x=−2，解得x=1．【变式1】（2025·福建宁德·二模）解方程：3x−2【答案】x=2【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可．【详解】解：3x−6+1=x−1．3x−x=−1+5．2x=4．x=2．【变式2】（2025·安徽淮南·二模）解方程：x+2x−3=0．【答案】x=1【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键．【详解】解x+2x−3=0，移项，x+2x=3，合并同类项，3x=3，化系数为1，x=1．【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程．(1)3(2)x:1.2=3:4(3)2x+3×0.9=24.7【答案】(1)x=20(2)x=0.9(3)x=11【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．（1）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可；（2）通过去分母，一次项系数化为1的步骤解答即可；（3）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可．【详解】（1）解：移项，得3.2x=52+12合并同类项，得3.2x=64两边同除以3.2，得x=20（2）解：x1.2两边同乘以4.8，得4x=3.6，两边同除以4，得x=0.9；（3）解：移项，得2x=24.7−2.7，合并同类项，得2x=22，两边同除以2，得x=11．►题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的顺序，逐一检查每一步的变形是否符号规则1.检查分母步骤确定是否给方程的每一项都乘了分母的最小公倍数，重点排查不含分母的常数项或参数项，是否存在漏乘情况例如：解方程x2若分子是多项式，检查去分母后是否给分子加了括号，避免因省略括号导致符号或乘法分配律应用错误。例如：解方程1-x−122.去括号步骤检查括号前是负号时，检查括号内的每一项是否都变号，避免只变第一项、漏变后面项的情况。检查是否应用乘法分配律时漏乘括号内的项，尤其是系数为负数或分数的情况。3.检查移项步骤重点看移项的项是否都变号，未移项的项是否保持不变，避免“移项不变号”或“没移项却变号”的错误【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：习题1习题22x+134x+2−1=3x+3…………第一步4x+1=3x+3…第二步4x−3x=2…………．第三步x=2……………．第四步x(x−4)=2(x−4)整理，得x²−6x=−8……………第一步∵a=1，∴b∴方程有两个不相等的实数根，即x1(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误；(2)见解析．【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键．（1）根据解方程的步骤进行判断即可；（2）按照正确的步骤和方法解方程即可．【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误；（2）2x+134x+2−6=3x+3…………第一步4x−4=3x+3…第二步4x−3x=7…………．第三步x=7……………．第四步x(x−4)=2(x−4)整理，得x²−6x+8=0……………第一步∵a=1，∴b∴方程有两个不相等的实数根，则x=即x1【变式1】（2025·河北保定·模拟预测）小丁和小迪分别解方程xx−2小丁：解：去分母，得x−去括号，得x−x+3=x−2合并同类项，得3=x−2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+去括号得x+x−3=1合并同类项得2x−3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解(1)你认为小丁的解法，小迪的解法；（均选填“正确”或“错误”）(2)请写出你的解答过程．【答案】(1)错误，错误(2)x=1，过程见解析【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．（1）根据解分式方程的步骤进行判断即可；（2）根据解分式方程的步骤进行求解即可．【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，故答案为：错误，错误；（2）解：xx+x+x−3=x−2x=1经检验，当x=1时，x−2=−1≠0，∴x=1是分式方程的解．【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算：π（2）下面是小星同学解不等式2+x2解：去分母，得：22+x去括号，得：4+2x≥6x−3．．．．．．．．．．．第二步移项，得：2x−6x≥−3−4．．．．．．．．．．．．第三步合并同类项，得：−4x≥−7．．．．．．．．．．．第四步系数化为1，得：x≥7①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】（1）2；（2）①一；②x≤8【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解一元一次方程.（1）先计算零指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可；（2）①第一步，去分母错误；②根据求解一元一次方程的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式=1−3+4=2（2）①第一步，去分母错误，故答案为：一；②解：去分母，得：3去括号，得：6+3x≥4x−2移项，得：3x−4x≥−2−6合并同类项，得：−x≥−8系数化为1，得：x≤8►题型04一元一次方程中程序流程图问题【典例】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−4−2=−6，(1)若输入x=−1，则m=________，n=________；(2)若得到m=6，求输入的x值及相应n的值；(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？【答案】(1)m=2，n=1(2)x=−2，n=(3)x<−【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键．（1）根据程序图输入x=−1，即可求解；（2）根据程序图可得−4x−2=6，从而得到x=−2，即可求解；（3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解．【详解】（1）解：输入x=−1，得到m=−1×−4−2=2，故答案为：2；1；（2）解：由题意得：−4x−2=6，解得：x=−2，∴n=−2+3（3）解：由计算程序，可知m=−4x−2，n=x+3∵m值比n值大，∴−4x−2>x+3解得：x<−7【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数．(1)求这已知的四个数的积；(2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等．①求a的值：②求a，4，5，−1这四个数的平均数．【答案】(1)60(2)①a=3；②四个数的平均数为2【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程：（1）根据有理数的加法法则计算即可；（2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知a的值，根据平均数的计算公式求解即可．【详解】（1）解：−3×即这已知的四个数的积为60；（2）解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等，∴a+4+−1解得：a=3；②3+4+5+即这四个数的平均数为23【变式2】（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入x值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−3(1)若输入x=2，求m，n的值；(2)若得到m=7，求输入的x的值及相应的n的值；(3)若得到的m的值比n值小，求x的取值范围．【答案】(1)m=−8,n=1(2)x=−3,n=(3)x>−【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键．（1）仿照题意计算求解即可；（2）根据题意可得方程−3x+−2=7，解方程求出x（3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可．【详解】（1）解：由题意得，m=2×−3n=2−4（2）解：由题意得，−3x+−2=7∴n=−3−4（3）解：由题意得，m=−3n=x−4∵得到的m的值比n值小，∴−3x−2<−1解得x>−8【变式3】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．例：若输入x=2，则m=2×−3+−2(1)若得到m=10，求输入的x值及相应n的值．(2)若输入x值后得到的m始终大于n，求输入的最大整数x值是多少．【答案】(1)x=−4，n=4(2)−2【分析】本题考查了整式的运算，不等式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．（1）根据运算法则进行运算即可；（2）列出不等式运算即可．【详解】（1）解：根据题意可得：m=−x·−3∴把m=10代入m=−3x−2可得：10=−3x−2，解得：x=−4，∴n=−4−4（2）∵m=−3x−2，n=x−4∴由题意得：−3x−2>−1解得：x<−8∵x为整数，∴x取的最大整数为−2．命题点三一元一次方程的实际应用►题型01一元一次方程实际应用配套问题配套问题的本质是比例关系，例如1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量m个A配n个B→A数量：B数量=m：n→n×A数量=m×B数量（交叉相乘，消去比例）【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？【答案】应分配25名工人生产电压表．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配x名工人生产电压表，则分配60−x名工人生产电流表，依题意得2×14x=2060−x【详解】解：设应分配x名工人生产电压表，则分配60−x名工人生产电流表，依题意得2×14x=2060−x解得x=25，答：应分配25名工人生产电压表．【变式1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？【答案】该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系．先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解．【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣，根据题意得，240x=4008−x解得x=5，8−5=3（台），∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子．【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？【答案】分配15名工人生产镜架，则有21人生产镜片．【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键．设分配x名工人生产镜架，用含x的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可．【详解】设分配x名工人生产镜架，则有(36−x)人生产镜片，根据题意列方程，得70x1解得：x=15，36−15=21，答：分配15名工人生产镜架，则有21人生产镜片．►题型02一元一次方程实际应用工程问题一元一次方程实际应用工程问题解题思路1.审题：明确工程的完成方式（单独做、合作做、分阶段做），找出已知的工作时间、工作量等条件。2.设未知数若求完成时间：设总时间为x（或某阶段时间为x）若求工作效率/人数：设未知效率或人数为x3.表示效率与工作量：根据已知条件，用含x的式子表示各主体的工作效率、工作时间、工作量等条件4.列方程：根据以下等量关系列方程单独做：效率×时间=1（总工作量）；合作做：合作效率×合作时间=1；分阶段做：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1分工做：甲工作量+乙工作量=15.解方程：求出未知数的值，注意步骤规范（去分母、移项等避免错误点）。6.检验+作答：检验解是否符合实际意义（时间、效率为正数），再回答题目问题。【典例】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了【答案】小峰打扫了2h【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了xh，爸爸打扫了3−x【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了xh，爸爸打扫了3−xh，则小峰打扫任务的工作效率为14由题意，得：14解得：x=2，答：小峰打扫了2h【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数．【答案】原计划每月改造的楼层数为3层【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设原计划每月改造的楼层数为x层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，列出方程，解方程即可．【详解】解：设原计划每月改造的楼层数为x层，根据题意可得：8x=8−2解得：x=3，答：原计划每月改造的楼层数为3层．【变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成．(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作(2)施工费用不够，见解析，需要追加0.4万元【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．（1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要x+30天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可；（2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可．【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要x+30天完成工期，由题意可得：20+1解得：x=60经检验，x=60时，xx+30则x=60是原分式方程的解，答：甲单独做需要60天完成全部工作．（2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，由题意可得：y1解得：y=36，需要施工费用：36×(0.84+0.56)=50.4>50，需追加：50.4−50=0.4（万元）答：施工费用不够，需要追加0.4万元．【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？【答案】甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理xGB的数据，则乙模型每小时处理x−15GB的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可．【详解】解：设甲模型每小时处理xGB的数据，则乙模型每小时处理x−15GB的数据．由题意，得2x+3x−15解得x=60，60−15=45（GB），答：甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据．►题型03一元一次方程实际应用盈亏问题1.基本术语盈：分配后有剩余（多出来的数量）；亏：分配后不够分（缺少的数量）；恰好分完：既没有剩余，也没有不足。2.核心不变量无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。3.通用等量关系方案1的物品总数=方案2的物品总数推导公式：若每人分m个，盈a个→物品总数=m×人数+a若每人分n个，亏b个→物品总数=n×人数-b【典例】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45【答案】(1)A种外墙漆每千克的价格为26元，则B种外墙漆每千克的价格为24元．(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；（1）设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45【详解】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，∴300x+300x−2解得：x=26，∴x−2=24，答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元．（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45∴5004解得：y=25，经检验：y=25是原方程的根且符合题意，答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B【答案】A，B两种蜂蜜的单价分别为150元/kg和120元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，则设A种蜂蜜的单价为x元/kg，则B种蜂蜜的单价为0.8x元/kg，又因为购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，得x+2.5×0.8x=450【详解】解：设A种蜂蜜的单价为x元/kg，则B种蜂蜜的单价为0.8x元/根据题意，得x+2.5×0.8x=450，解得x=150，则B种蜂蜜的单价为0.8×150=120（元/kg答：A，B两种蜂蜜的单价分别为150元/kg和120元/【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．小熊钥匙扣套装进价133售价164购买意向占比40%30%25%(1)出售一份套装可获得的利润是______元；(2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？【答案】(1)2(2)至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个．【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键．（1）根据利润、售价、折扣与进价的关系列式计算即可解答；（2）设设销售总份数为x件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润600元，列出方程进行求解即可解答．【详解】（1）解：16+4×0.9−=20×0.9−16=18−16=2．∴出售一份套装可获得的利润是2元．故答案为：2．（2）解：设设销售总份数为x件，由题意得：16−13×0.4x+解得：x=300，∴单独买小熊：300×0.4=120（个），单独买钥匙扣：300×0.3=90（个），买套装：0.25×300=75（套），∴至少定制小熊：120+75=195（个），定制钥匙扣：90+75=165（个）．答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个．【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜5元，定制20个笔记本和30个纪念册共需花费750元．(1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？(2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共70个，但总支出不能超过1000元，求最多可以定制多少个纪念册？【答案】(1)定制一个笔记本需要12元，一个纪念册需要17元；(2)最多可以定制32个纪念册．【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设定制一个笔记本需要x元，则定制一个纪念册需要(x+5)元，根据定制20个笔记本和30个纪念册共需花费750元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值(即定制一个笔记本所需费用)，再将其代入(x+5)中，即可求出定制一个纪念册所需费用；（2）设定制y个纪念册，则定制(70−y)个笔记本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【详解】（1）解：设定制一个笔记本需要x元，则定制一个纪念册需要(x+5)元，根据题意得：20x+30(x+5)=750，解得：x=12，∴x+5=12+5=17(元)．答：定制一个笔记本需要12元，一个纪念册需要17元；（2）设定制y个纪念册，则定制(70−y)个笔记本，根据题意得：12(70−y)+17y≤1000，解得：y≤32，∴y的最大值为32．答：最多可以定制32个纪念册．►题型04一元一次方程实际应用比赛积分问题比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次=胜场数+负场数+平场数、总积分=胜场积分+负场积分+平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。1.审题：提取关键信息－总场次、总积分、各场次的得分标准（胜/负/平的分值），明确题目所求（胜场数、负场数等）2.舍未知数：若只有胜负两种场次，直接设胜场数为x，则负场数=总场次-x若有胜负平三种场次，通常设胜场数为x，平场数为y，但是一元一次方程题型中会给出平常数（或负场数）的相关条件，转化为单一未知数。3.表示积分：用含x的式子分别表示胜场积分、负场积分（平场积分）4.列方程：根据“总积分=各场次积分之和”建立一元一次方程5.解方程：求出未知数的值，注意场次必须是非负整数（0或正整数）6.检查作答：检验解是否为非负整数，是否符合总场次限制；回答题目所求的场次或积分问题【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31−2在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；(2)k=6．【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；（2）根据题意列一元一次方程即可求解.【详解】（1）解：由题意得4×3+2×1+4×−2答：珍珍第一局的得分为6分；（2）解：由题意得3k+3×1+10−k−3解得：k=6．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式1】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A24195B21480C18765D141145E250100(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；(2)参赛者F得70分，他答对了几道题？(3)参赛者G说他得87分，你认为可能吗？请通过计算说明．【答案】(1)4，1(2)F答对了19道题(3)参赛者G不可能得87分，见解析【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．（1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解；（2）设参赛者F答对了x道题，由题意得：4x−(25−x)=70,据此即可求解；（3）假设他得了87分，设他答对m道题，根据题意得：4m−(25−m)=87，解得m=112【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得100÷25=4分；根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得95−24×4=1分；故答案为：4，1（2）解：设参赛者F答对了x道题，由题意得：4x−(25−x)=70,解得：x=19，答：参赛者F答对了19道题（3）解：参赛者G不可能得87分，理由：假设他得了87分，设他答对m道题，根据题意得：4m−(25−m)=87，解得m=112故参赛者G不可能得87分．【变式2】（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？【答案】她答对了20道题【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设她答对了x道题，则她答错或不答一题为25−x道，根据题意4x−225−x=70，解得【详解】解：设她答对了x道题，则她答错或不答一题为25−x道，根据题意得4x−225−x解得x=20，答：她答对了20道题．【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分．(1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；(2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分(2)该队抢答对5道题【分析】本题考查