第02讲 分式方程及其应用（复习讲义3考点+11题型+3重点）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

第二章方程（组）与不等式（组）第02讲分式方程及其应用目录01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 102·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 504·命题洞悉·题型预测 9命题点一解分式方程题型01解分式方程中判断去分母是否正确题型02解分式方程命题点二分式方程的解题型01已知分式方程的解正负求参数题型02已知分式方程增根或无解求参数题型03已知分式方程的整数解求参数命题点三分式方程的实际应用题型01列分式方程题型02分式方程实际应用之行程问题题型03分式方程实际应用之工程问题题型04分式方程实际应用之销售问题题型05分式方程实际应用之和差倍问题题型06分式方程实际应用之其它问题05·重难突破·思维进阶 133突破一解分式方程中新定义类题型突破二分式方程实际应用之物理类跨学科题型突破三分式方程中探究类题型考点课标要求考法分析解一元一次分式方程学生要熟练掌握将分式方程化为一元一次方程的解题流程，包括找最简公分母(分母是多项式时需先因式分解)、去分母转化整式方程、解一元一次方程这几个关键步骤。同时明确验根的必要性，能通过最简公分母是否为0判断解的有效性，清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0。多以填空题、解答题形式出现，侧重考查解题步骤的完整性，验根是得分要点（如2025·江苏镇江卷，2025·湖北武汉卷等）；判断去分母的变形正误（基础送分题）：常以选择题形式考查去分母的步骤，考验对等式性质的掌握（如2025·广东卷，2025·湖南卷）。分式方程的解①掌握解的求解与检验方法：学生要能熟练将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解后，通过代入最简公分母检验该解是否为原分式方程的有效解，清晰辨别增根，明确增根是使最简公分母为0的根，且增根不是原分式方程的解。②会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。直接求分式方程的解(基础必考题)：该考法侧重考查解题步骤的完整性，常以选择题、填空题或解答题的基础小题形式出现，验根是得分关键。（2025·四川资阳卷、2025·浙江卷等）；根据解的正负性等求参数范围(高频中档题)：此类题型需先解分式方程，再根据解的正负性、整数性等条件列不等式，同时兼顾分母不为0的限制，进而确定参数取值（2025·黑龙江卷、2025·四川眉山卷）；已知分式方程有解、无解、增根等条件求参数的取值范围（2025·黑龙江齐齐哈尔卷、2025·四川凉山卷等）分式方程的实际应用①建模能力要求：能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程。②求解与检验要求：熟练掌握分式方程的解法，严格按照“去分母→解整式方程→验根”的步骤求解；③验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。多为解答题，难度中等。常考分式方程中行程问题（2025·山东淄博卷、2025·吉林长春卷等）；分式方程中经济类问题（2025·江苏盐城卷、2025·山东济南卷等）；分式方程中工程问题（2025·江苏常州卷、2025·广东广州卷等）；分式方程中其它类问题（2025·云南卷、2025·四川南充等）。命题预测命题趋势：基础核心稳守，情境与综合双升核心考点聚焦分式方程的求解、含参问题及实际应用，题型分布稳定(选择、填空、解答题均有涉及),分值保持在10分左右，重点考查通分、因式分解、验根等基本功，且验根、避免去分母漏乘等细节仍是主要失分点筛查方向。同时命题呈现两大升级：一是应用情境创新，紧密结合生态保护、绿色经济、购物消费等社会热点与生活实际，部分融入地方特色或跨学科素材(如物理行程、化学浓度),题干信息更复杂，侧重建模能力考查；二是综合难度提升，含参问题(增根、无解、解的范围限定)成为中档拉分题，且常与不等式组、函数等知识融合，开放探究型题目(自编应用题、参数探究)有所增加，凸显素养导向。备考建议：流程化夯实基础，靶向性突破难点一方面，建立标准化解题流程，解分式方程严格遵循“因式分解找公分母→去分母化整式方程→求解→双重验根(公分母非零+实际意义)”,每天强化基础题训练，重点攻克去分母漏乘、约分不分解因式等高频错误，熟练掌握“根号2加减1“等常考根式的运算技巧。另一方面，靶向突破核心难点：分类总结含参问题解题模型(增根先求根再代整式方程，无解分整式方程无解与增根两类),针对行程、工程、销售三大应用题型提炼等量关系模板；额外练习热点情境题和开放探究题，梳理近3-5年本地真题规律，通过错题分类复盘(基础错误、建模错误、综合错误)强化薄弱点，适配命题创新趋势。考点一解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：2x−1=3是分式方程；2.核心解题思想转化思想：通过去分母，将分式方程转化为求解。3.增根的概念增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。4.解分式方程步骤（以3x=1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。若分母是多项式，需先因式分解(如2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘x(x−1)，得：3(x−1)=2x）3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。本题展开：3x−3=2x→移项得：x=3.。4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验：①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解；②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。本题把x=3代入x(x-1),得3×2=6≠0,故5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程5x+2=A．x=2 B．x=3 C．x=−32．（2025·陕西·中考真题）解方程：x23．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：3−x4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：3x考点二根据分式方程增解的情况求参数题型1：已知分式方程有增根，求参数核心逻辑：增根的本质是使的根，且是整式方程的解。解题步骤①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根；②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程；③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。题型2：已知分式方程无解，求参数核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可：情况1：整式方程的解是(即解使最简公分母为0)；情况2：整式方程本身(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。解题步骤①去分母转化为整式方程；②分两类讨论：★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数；★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数；③整合两类情况的参数值。1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−42．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−xA．8 B．14 C．18 D．383．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xxA．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于x的分式方程3−ax2−x=aA．2 B．3 C．0或2 D．−1或3考点三已知分式方程解的正负求参数解分式方程实际应用的一般思路步骤具体操作关键注意事项①审题标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程=速度×时间）抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同”等关键词，锁定等量关系②设未知数①直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h）②间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x）设未知数时要带单位③列分式方程根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱④解方程按照“找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程”的步骤求解去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘⑤双重验根①增根检验：将解代入最简公分母，若为0则是增根，舍去②实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或0）双重验根是得分关键，缺一不可⑥作答写出最终结论，带单位结论要与题目所求一致，语言简洁规范1．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．(1)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？(2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．3．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．(1)求篮球和足球的单价；(2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的23，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．命题点一解分式方程►题型01解分式方程中判断去分母是否正确解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点易错点类型具体表现判断方法漏乘常数项或整式项只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘最简公分母找错1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母2.忽略分母间的公因式分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母符号处理失误1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误1.遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号）2.分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号错用“约分”代替去分母直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母忽略分母不为0的前提去分母后未考虑最简公分母可能为0，直接判定整式方程的解是原方程的解去分母是“等价变形”的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于x的分式方程2x−3A．2x+4+3x=0 C．2x+3x+4=0 【变式1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程2xx−2−1=3x−1A．2x−1=3x−1 B．2x−(x−2)=3x−1C．2x−(x−2)=−3x−1 D．2x−(x−2)=−3x+1【变式2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程3x−2+x+3A．3+x+3=4x−2C．3−x+3=4 【变式3】（2025·江苏无锡·一模）解分式方程31−2x=2xA．3=−2x−5 B．3=2x−5C．32x−1=2x1−2x►题型02解分式方程快速避错口诀①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。【典例】（2025·四川成都·二模）分式方程3−xx−2=1A．x=6 B．x=2 C．x=0 D．无解【变式1】（2025·江苏·一模）解方程：4x【变式2】（2025·广东清远·三模）解方程：2x−2【变式3】（2025·青海西宁·一模）解分式方程：3−1命题点二分式方程的解►题型01已知分式方程的解正负求参数已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是“先解整式方程，再结合解的符号限制+增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下：一、通用解题步骤（四步法）去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b)注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。二、解整式方程，用参数表示解把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数）注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0：若系数为0且常数项≠0→整式方程无解，原分式方程也无解；若系数为0且常数项=0→整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。三、列不等式，限制解的符号若解为正数→列不等式：解大于0；若解为负数→列不等式：解大于0；解不等式，初步确定参数的取值范围。四、排除增根，补充限制条件增根是使最简公分母为0的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母≠0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则所有正整数A．4 B．5 C．6 D．7【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于x的分式方程mx−3+43−x=1A．m<1 B．m≤1 C．m≥1且m≠4 D．m>1且m≠4【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2A．m≥3且m≠10 B．m>3且m≠10C．m≤3且m≠−4 D．m>3且m≠4【变式3】（2025·江苏扬州·三模）已知关于x的分式方程2xx−1=mx−1+5【变式4】（2025·西藏日喀则·一模）分式方程2x−1=1+ax−1的解为正数，则►题型02已知分式方程增根或无解求参数已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下：概念本质特征关键区别增根1.是去分母后整式方程的解2.代入原分式方程的最简公分母=0（使分母无意义）增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解无解分式方程无解分两类情况：1.整式方程的解都是增根2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中0⋅x=a，a=0时成立）无解包含“有增根导致无解”和“整式方程无解导致无解”两种情况【典例】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−xA．0 B．−2 C．2 D．2或−2【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程mxx+2+xA．−1 B．1或0 C．1 D．1或−1【变式2】（2025·四川自贡·二模）若分式方程2x=mx−1无解，则A．0 B．2 C．0或2 D．1或2【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程x+ax−3−7x=1A．−3 B．3或0 C．−3或4 D．4►题型03已知分式方程的整数解求参数高频易错点规避1.忽略参数的限定条件如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。规避：审题时圈画参数的限定词（如“整数”“正整数”“负整数”）。2.未排除增根直接求参数只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。规避：步骤4是必做环节，增根一定要排除。3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系如解为x=m+32技巧：若x=4.忽略整式方程无解的情况当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为0的情况，直接求解导致漏解或错解。规避：先讨论系数是否为0，再分析整数解条件。【典例】（2025·重庆·模拟预测）若关于x的不等式组6x−1>x+ax2+1≥52x−9所有整数解的和为14，且关于y的分式方程【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组3x+1>a−2x+1,2x−1≤1+x,恰有4个整数解，关于t的分式方程31−t−【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于x的不等式组3x−2≥m−xx+13>x−12只有4个整数解，且关于y的方程y+m【变式2】（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组3x+62≥x+26x−a<1有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程ay−3=3−【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于x的不等式组3x+52>2x−16x−2≥2x+a有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程y+a−31−y+命题点三二元一次方程组的解►题型01列分式方程【典例】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为xA．800x−2=5C．800x−1=2【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（

）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆)A．6210x=3 B．6210x−1=3 C．【变式2】（2025·甘肃临夏·一模）DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2A．1x+1x+2=1.5 B．1x【变式2】（2025·四川成都·二模）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工xA．1300x−1300C．x1.300−1+30【变式3】（2025·湖北十堰·三模）汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的2.5倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（

）A．400x+2.5=400C．400x+3=400【变式4】（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度ρ等于物体的质量m与它的体积V之比，即ρ=mV．已知A,B两个物体的密度之比为3:5，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积小27cm3．如果设物体A的体积是A．3×100x=5×C．3×100x=5×►题型02分式方程实际应用之行程问题分式方程解决行程问题的核心是利用“路程、速度、时间”的基本关系，抓住题干中“时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下：核心公式与等量关系1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒s=vt,t=行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。2.常见的等量关系考法类型等量关系适用场景速度变化导致时间差原时间−现时间=提前时间现时间−原时间=推迟时间提速后提前到达、减速后迟到顺逆流/顺风逆风航行顺流时间−逆流时间=时间差或反之轮船航行、飞机飞行不同主体行驶同一路程甲的时间−乙的时间=时间差两人同时出发，一人先到3.特殊场景速度公式顺流速度=静水速度+水流速度（v顺逆流速度=静水速度-水流速度（v逆顺风/逆风同理【典例】（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．【变式1】（2025·广东佛山·三模）2025年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：起点第1签5第2签13.5第3签17第4签23.5第5签29.5第6签35.5终点50电视塔升平里欧C工业园悦城峯境绿岛湖智慧公园青年公园世纪莲求：小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度v的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用25h，求【变式2】（2025·浙江衢州·一模）2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的43倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t(1)求a的值；(2)求图中线段BC对应的函数表达式；(3)求小聪休息前的速度．【变式3】（2025·山西太原·二模）2025年低空经济的核心产业eVTOL（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款eVTOL飞行器和燃油直升机对比调查发现eVTOL飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的35倍，且eVTOL飞行器充电费21600元比燃油直升机燃油费28800元飞行航程多200公里，那么eVTOL►题型03分式方程实际应用之工程问题分式方程解决工程问题的核心是以“工作总量、工作效率、工作时间”的基本关系为依托，抓住“时间差”“合作效率”等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算，核心公式与等量关系1.基本公式工作总量=工作效率×工作时间变形公式：工作效率关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率12.常见等量关系考法类型等量关系适用场景单人效率变化原工作时间−现工作时间=提前完成时间提高效率后提前完工多人合作甲工作量+乙工作量=总工作量合作效率=甲效率+乙效率甲乙合作完成任务分段工作先做工作量+后做工作量=总工作量先单独做，再合作做【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？【变式1】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%【变式2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路AD，勘测人员发现公路AD要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东53°方向上，观测点E到点B的距离为1500m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80(1)求隧道两端BC间的距离；(2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了20%【变式3】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路MN，已知C点周围300米范围内为古建筑保护群，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走900米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（参考数据：2≈1.414，3(1)MN是否穿过古建筑保护群？为什么？(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%►题型04分式方程实际应用之销售问题分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量”的基本关系，抓住题干中“总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。核心公式与等量关系1.基本公式：总价=单价×数量变形公式（列分式方程的关键）：数量=总价单价该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。2.常见等量关系考法类型等量关系适用场景单价变化导致数量差原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数用固定总价买商品，单价变化引发数量变化两种商品单价对比甲单价=k×乙单价（k为倍数）甲购买数量=乙购买数量±差值已知两种商品单价关系和数量差，求单价总价相同的两种方案方案一总价=方案二总价不同单价和数量组合，总价相等【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．(1)求A型、B型两种机器人的单价；(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．(1)求甲、乙两种花卉每株的价格；(2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．【变式3】（2025·河南南阳·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%A，A型车B型车进货价格/元10001300销售价格/元今年的销售价格1800(1)今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）(2)该车行计划新进一批A型车和款B型车共80辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？►题型05分式方程实际应用之和差倍问题【典例】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？【变式1】（2025·江苏·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的54【变式2】（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的13，则购买A，B【变式3】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数．►题型06分式方程实际应用之其它问题【典例】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．材料一租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．材料二A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用3200−50m元/辆；租用B型客车，租车费用打八折．材料三租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？【变式1】（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．【变式2】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：燃油车纯电新能源车油箱容积：48升电池容量：90千瓦时油价：8元/升电价：0.6元/千瓦时(1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；(2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)【变式3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘．(1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？(2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？突破一解分式方程中新定义类题型【典例】（2025·浙江·模拟预测）对于实数a，b，定义一种新运算“出”为：a☆b=a+b1−ab．例如：1☆3=1+31−1×3=−2．则方程−2A．x=1 B．x=3 C．x=−3 D．x=−1【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为m※n=1m−n2，这里等式右边是实数运算，例如：2※3=1【变式2】（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“∗”，其运算规则为a∗b=2a+【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b=a−ba+b，a※b=a+2ba−2b，若x△1=x※2突破二分式方程实际应用之物理类跨学科题型【典例】（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流IA，跟导体两端的电压UV成正比，跟导体的电阻RΩ成反比，即I=UR．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为3V的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离B端35(1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算）(2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的23【变式1】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了