第02讲 整式与因式分解（专项训练）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第一章数与式第02讲整式与因式分解目录01·趋势领航练02·考点通关练03·真题诊断练基础通关题型01代数式（★）题型02求代数式的值（★）题型03整式的相关概念（★）题型04与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★）题型05整式的加减运算（★）题型06整式加减法的应用（★★）题型07幂的混合运算（★）题型08整式的乘除运算（★）题型09整式的混合运算（★）题型10数式的规律探索（★★）题型11图形的规律探索（★★）题型12利用乘法公式变形求值（★★）题型13整式运算的几何意义（★★）题型14选用合适的方法分解因式（★）题型15因式分解的应用（★★）题型16整式的化简求值问题（★）题型17与整式运算有关的新定义问题（★★）能力通关1．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作C），白球是氢原子（记作H），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个C和6个H，分子式是C2(1)壬烷的分子式是_____，第n个结构式的分子式是_____；(2)请问分子式为C2025考查知识点：数字规律探索（等差数列）、代数式表示、整数运算.能力要求：观察分析能力（从具体分子式提炼通用规律）、逻辑推理能力（验证规律合理性）、数学建模能力（用含n的代数式表示规律）.考法特点：以化学“烷烃”球棍模型为新情境，将抽象的数学规律与具体的化学分子结构结合，设问从“具体物质分子式”到“通用规律验证”，层层递进，体现“从特殊到一般”的数学思想.【答案】(1)C9H(2)分子式为C2025【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．（1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可；（2）根据（1）的规律求出n=2025时，2n+2的值即可得到结论．【详解】（1）解；第1个模型中有1个C和4个H，分子式是CH第2个模型中有2个C和6个H，分子式是C2第3个模型中有3个C和8个H，分子式是C3……，以此类推，可知，第n个模型中有n个C和2n+2个H，分子式是Cn∴壬烷的分子式是C9（2）解：分子式为C2025当n=2025时，2n+2=2025×2+2=4052，∴分子式为C20252．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%(2)如果把4kg(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．考查知识点：分式方程实际应用、代数式求值、不等式比较.能力要求：数学建模能力（将漂洗浓度关系转化为分式方程）、运算求解能力（解方程与计算浓度）、数据分析能力（比较不同漂洗方案的用水效率）.考法特点：以生活中“衣物漂洗”为真实情境，给出浓度关系式，设问涵盖“单步计算”“多步验证”“策略优化”，强调数学在解决实际问题中的实用性，体现“数学源于生活”的理念.【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；（1）把d后=0.01%，d（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．【详解】（1）解：把d后=0.01%，得0.01%解得w=9.5．经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5（2）解：第一次漂洗：把w=2kg，d前=0.2∴d后第二次漂洗：把w=2kg，d前=0.04∴d后而0.008%∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．3．（2025·山西大同·三模）阅读与思考生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”．例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是1930−(1+9+3+0)=1917．根据上述材料，解答下列问题：(1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________；②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________．(2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）．考查知识点：四位数的表示（整式运算）、因式分解、整除性质.能力要求：数学抽象能力（理解“欢乐年份”新定义）、逻辑推理能力（证明规律的普遍性）、运算求解能力（计算具体年份的“欢乐年份”）.考法特点：设“欢乐年份”新定义，结合名人出生年份举例，拉近数学与生活的距离；设问从“具体计算”到“规律猜想与证明”，突出对“特殊到一般”思维方法的考查.【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）；(2)9，见解析【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键；（1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可；（2）设出生年份的的四位数为abcd，则这个四位数可表示为1000a+100b+10c+d，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是1987−1+9+8+7故答案为：1962；②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是2000−2+0+0+0故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）；（2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除；证明：设出生年份的的四位数为abcd，则这个四位数可表示为1000a+100b+10c+d，则其“欢乐年份”是1000a+100b+10c+d−=999a+99b+9c=9111a+11b+c所以这些“欢乐年份”都能被9整除；故答案为：9.4．（2025南阳市模拟）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了a+bn（n(1)请在图中括号内的数为______；(2)a+b20(3)根据上面的规律，写出a+b6(4)利用上面的规律计算：35(5)假如今天是星期五，那么再过621考查知识点：完全平方公式延伸（二项式展开规律）、数字规律、余数问题（星期几推算）.能力要求：直观想象能力（观察杨辉三角的系数规律）、逻辑推理能力（推导二项式展开式）、知识迁移能力（用杨辉三角规律解决余数问题）.考法特点：以传统文化“杨辉三角”为载体，将代数展开规律与实际问题（星期几推算）结合，设问涵盖“规律填空”“展开式书写”“计算应用”“实际预测”，体现传统文化与数学知识的融合，以及数学的应用性.【答案】(1)6(2)21；190(3)a(4)32(5)四【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键．（1）根据表中数据特点解题即可；（2）罗列后按照规律a+bn展开式中共有n+1项,当n≥3时，倒数第三项的系数是n（3）根据图示顺推即可得到a+b6（4）根据a+b5展开式，令a=3,b=−1（5）将621变形为7−121展开后前21项和是7的倍数，所以621除7结果的余数为6【详解】（1）解：图中括号内的数为3+3=6，故答案为：6；（2）a+11=a+b，展开式有a+b2=a2+2ab+a+b3=a3+3a+b4=a4+4a+b5=a5+5……；以此类推，a+bn展开式中共有n+1项,当n≥3时，倒数第三项的系数n∴a+b20展开式共有21项，第19项系数为故答案为：21；190；（3）根据图示，a+b故答案为：a6（4）∵a+b5∴当a=3,b=−1时，3−15∴3（5）6(a、b、c、r、s是一列常数),∴7刚好是7的整数倍，∴621除7结果的余数为6∴假如今天是星期五，那么再过621故答案为：四．5．（2025厦门市模拟）根据以下素材，完成三个任务：以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．素材一某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，且a>b．素材二将1张B型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．素材三小组操作发现，将2张A型卡片，3张B型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：a+b2a+b【问题解决】【任务1】用1张A型和2张B型卡片拼成一个长方形，用含a，【任务2】现共有10张A型卡片，25张B型卡片和18张C型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；【任务3】将2张B型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从A，B，C型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含考查知识点：完全平方公式、多项式乘法、图形面积计算.能力要求：创新思维能力（设计不同的正方形拼接方案）、动手操作能力（通过图形拼接验证代数恒等式）、逻辑表达能力（列举方案并说明理由）.考法特点：设问“选取若干张卡片拼成正方形，列举两种方案（一种边长最大）”，具有开放性；要求结合图形与代数恒等式，体现“从具体操作到抽象规律”的考查，突出对“数学应用与创新”能力的要求.【答案】任务1：图见解析，周长为：4a+4b；任务2：①9a2+24ab+16b2=3a+4b2，②【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键．任务1：根据矩形的周长公式求解；任务2：根据完全平方公式求解；任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键．【详解】解：任务1：如图所示：∴周长为：4a+4b；任务2：如图所示：∴9a2+24ab+16b2=3a+4b2如图所示：∴a2+2ab+b2=a+b2，现共有1张如图所示：∴4a2+4ab+b2=2a+b2如图所示：∴a2+4ab+4b2=a+2b2，现共有1张⋯任务3：如图所示：∴2ab+b2题型01代数式（★）1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（

）A．n+6cm B．n+7cm C．2n+6cm【答案】A【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高1cm，根据题意，可得9+(n−3)×1【详解】解：∵3个纸杯的高度为9cm,8个纸杯的高度为∴每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：(14−9)÷(8−3)=1cm∴把n个这样的杯子叠放在一起，其高度为：9+(n−3)×1=6+n故选：A．2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为x，十位上的数字是百位上的数字的2倍，个位上的数字比百位上的数字少3，这个三位数用含有x的代数式表示为（）A．112x−30 B．100x−30 C．121x−3 D．121x+3【答案】C【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用x表示三位数的各个位上的数字，再按数位组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键．【详解】解：∵百位数字为x，对应数值为100x，十位数字是百位的2倍，即2x，对应数值为10×2x=20x，个位数字比百位少3，即x−3，对应数值为1×x−3∴这个三位数为100x+20x+x−3=121x−3，故选：C．3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出m件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“3m−1”表示的意义是（

）A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量【答案】C【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“3m−1”的实际意义．【详解】解：第一天销售量为m件．第二天销售量为2m−1件．将两天的销售量相加，即m+∴因此，代数式“3m−1”表示两天共售出吉祥物的数量，故选：C．题型02求代数式的值（★）1．（2025·广东韶关·二模）若a+b+b+2=0，则aA．4 B．−4 C．14 D．【答案】C【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得a+b=0，b+2=0，求出a,b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵a+b+∴a+b=0，b+2=0，解得：a=2，b=−2，∴ab故选：C．2．（2025·湖南益阳·模拟预测）若a+b=10，a3+bA．10 B．14 C．52 D．64【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式和立方和公式以及因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用立方和公式结合完全平方公式推导即可得解．【详解】解：由立方和公式可得a∵a+b=10，a∴280=10×∴a∵(a+b)2∴ab=24，∴a故选：C3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知2a6bm−3A．−4 B．−3 C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，求解代数式的值，通过合并同类项并比较系数和指数，确定未知数m和n的值，再代入计算m−2n即可.【详解】解：∵2a∴2a∴2n=6，m=2，∴n=3，∴m−2n=2−6=−4故选：A4．（2025·重庆·模拟预测）若x2+2x−2=0，则x【答案】10【分析】本题主要考查整体代换思想，把x2由题得x2+2x=2，再代入x2【详解】由题意可得：x2∴原式==2=2=2×2+6=10．故答案为：10．题型03整式的相关概念（★）1．（2025·吉林长春·二模）单项式−x2y3的系数是a，次数是b【答案】83/【分析】先根据单项式的系数和次数的定义求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b中即可求解．本题主要考查了单项式，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．【详解】解：∵单项式−x2y3的系数是∴a=−13，∴a+b=−故答案为：82．（2025·河北邯郸·二模）在式子2a,a+2,−3ab2【答案】−【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案．【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为2a和−3ab2∴所有单项式的系数的积为2×−故答案为：−63．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式x+y3中xy2【答案】3【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解．【详解】解：x+y===∴xy2故答案为：3．4．（2025盐山县二模）多项式3xmy3−m+1x+2A．1 B．−1 C．3 D．−3【答案】A【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得m+3=4，确定m=±1，结合题意得出m+1≠0【详解】解：∵多项式3x∴m+3=4即m=1∴m=±1，∵m+1≠0，∴m≠−1，∴m=1故选：A．题型04与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★）1．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：−2a，4a2，−6aA．−1nna2 B．2nan【答案】D【分析】本题考查了单项式的变化规律，根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键．【详解】解：∵−2a=−14a−6a8a−10a⋯，∴第n个单项式是−1n故选：D．2．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：2−1,2−3,2−4【答案】xy=z【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到xy=z．【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c，∴a+b=c，x=2∴xy=2∴xy=z，故答案为：xy=z．3．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：12x+y，13x2−2yA．1nxn+1C．1n+1xn【答案】D【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答．【详解】解：第1个多项式为12第2个多项式为13第3个多项式为14第4个多项式为15……依此类推，第n个多项式为1n+1故选：D．题型05整式的加减运算（★）1．（2025·河北沧州·一模）要使3a2−2aA．a2 B．−2a C．−3a2【答案】D【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：A、3aB、3aC、3aD、3a故选：D．2．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上y2−4，结果是3xy+2y【答案】3xy+【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上y2−4，结果是3xy+2y【详解】解：依题意这个多项式为：3xy+2=3xy+2=3xy+y故答案为：3xy+y3．（2025·河北唐山·二模）已知A=ab(1)计算2A−3B；(2)若a、b满足a−1+b+32【答案】(1)−4a(2)99【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键．（1）原式去括号，合并同类项即可得到答案；（2）根据非负数的性质求出a,b的值，再代入（1）中结果进行计算即可．【详解】（1）解：∵A=a∴2A−3B=2=2a=−4ab（2）解：∵a−1+∴a−1=0，b+3=0．解得：a=1，b=−3．将a=1，b=−3代入，原式=−4ab题型06整式加减法的应用（★）1．（2025·江西新余·二模）如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若MN的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为S，周长之和为C，则下列说法正确的是（

）A．S和C均不变 B．只有S不变 C．只有C不变 D．S和C均会变【答案】C【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，MN=d，得出两阴影部分的周长和为：C=2a+b−d，设图中两个阴影部分的面积为S1，S2，长分别为m、n，将MN向下平移xx<a−d个单位长度后，两阴影面积和：S=S【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，MN=d，利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：C=2a+b−d∵MN的长固定不变，∴C=2a+b−d设图中两个阴影部分的面积为S1，S2，长分别为m、S=S将MN向下平移xx<a−dS=S∴只有当m=n时，S为定值，综上分析可知：只有C不变，故选：C．3．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是a+1，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若M+N的值能被13整除，则a的值是．【答案】6【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用a表示出M和N，计算可得M+N=112a+1，根据M+N的值能被13整除，得出2a+1是13的倍数，列出方程求出a【详解】解：M=10a+1+a=11a+10，则M+N=11a+10+因为M+N的值能被13整除，且11与13互质，所以2a+1是13的倍数，所以2a+1=13，解得：a=6，故答案为：6．4．（2025·江苏盐城·二模）阅读思考某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下：入学年份班级学号考场号座位号学验码步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b步骤3：计算3a与b的和c，步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，步骤5：计算d与c的差就是校验码*，(1)某同学的准考证条形码号为202219011512∗，计算d的值为___________，校验码*的值是___________；(2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由．(3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由．【答案】(1)70，(2)3，2；理由见解析(3)不同意【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，整式加减混合运算的应用，理解检验码的计算方法是解答本题的关键．（1）根据d和*的计算方法计算即可；（2）设一个为m，另一个为m−1．根据a，b，c，d，*的计算方法求出各个数分析即可；（3）表示出d=13x+10，然后根据d是10的倍数即可求出x的值．【详解】（1）∵a=0+2+9+1+5+2=19，b=2+2+1+0+1+1=7，c=19×3+7=64，∴d=70，∗=70−64=6．故答案为：70，6；（2）∵2个数都在奇数位上，∴设一个为m，另一个为m−1．由题意，得a=0+2+0+1+5+2=10，b=2+2+m+m−1c=30+2m+5=2m+35，∴当m=1,2,3,4,5,6,7,8,9时，c=37,39,41,43,45,47,49,51,53，d=40,40,50,50,50,50,50,60,60，∴m=3,8时符合题意，∴m−1=2,7，∴这两个数为3，2或8，7．∵共有32个班级∴这两个数为3，2；（3）由题意，得a=0+2+x+x+x+x=4x+2，b=2+2+0+0+0+0=4，c=12x+6+4=12x+10，∴当x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时，c=10,22,34,46,58,60,72,84,96,108，d=10,30,40,50,60,60,80,90,100,110，∵d−12x−10=x，∴d=13x+10，∵d是10的倍数，∴x=0，∴该数字为2022000000000．但不存在班级号、学号、考场号、座位号不可能为00，∴不同意.题型07幂的混合运算（★）1．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（

）①(−a)3⋅a=−a4；②a8÷aA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断；【详解】解：①中(−a)3②中a8③中−3a④中3x⑤中(x−2)2故做对的有1个，故选：B．2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：−2x23A．1 B．−1 C．89 D．【答案】D【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，正确掌握相关性质是解题的关键．先运算积的乘方，再根据单项式除以单项式进行计算，即可作答．【详解】解：依题意，−2=−8=−8故选：D．3．（2025·陕西榆林·二模）计算：−m⋅2m【答案】−8【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可．【详解】解：−m⋅=−m⋅8m=−8m题型08整式的乘除运算（★）1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算−2a23A．−1 B．−89 C．8【答案】B【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式．根据积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：−2=−8=−8故选：B．2．（2025·江西·二模）下列运算结果等于ab的是（

）A．ab2−b C．−ab32 【答案】D【分析】本题考查了合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，掌握运算法则和计算公式是解题的关键．分别利用合并同类项，多项式除以单项式，积的乘方，单项式除以单项式，判断即可．【详解】解：A、ab2与B、a3C、−ab3D、a3故选：D3．（2025·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（

）A．−3a−13a−1=1−9aC．−3x2x2【答案】A【分析】本题考查整式的乘法，根据乘法公式，单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式的法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A、−3a−13a−1B、m+nmC、−3x2D、x+2y2故选A．4．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为2m，2m+2，如果m为整数，则关于矩形的面积S，下列说法正确的是（A．S可能是24 B．S可能是15 C．S可能是12 D．S可能是6【答案】A【分析】题目主要考查单项式乘以多项式，用字母表示数，理解题意是解题关键．根据题意得出S=2m2m+2【详解】解：由题意得S=2m2m+2∵m为整数，∴m，∴4mm+1∴S可能是24．故选：A题型09整式的混合运算（★）1．（2025·湖北荆州·三模）化简：2xx【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算，先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可．解题的关键是掌握相应的运算法则、运算顺序．【详解】解：2x=2=2x2．（2025·陕西咸阳·二模）化简：a+ba−b【答案】a【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可．【详解】解：原式=a34．（2025慈利县一模）计算：(1)−a(2)x−12x+1【答案】(1)3(2)x【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可；（2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：−a=−a=−a=3a（2）解：x−12x+1=2x=2x=x35．（2025铁山区二模）化简：3a−b【答案】5a−3b【分析】本题考查了整式的混合运算及化简以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的乘除法及加减运算法则是解题的关键．直接利用整式的混合运算法则化简．【详解】原式===5a−3b．题型10数式的规律探索（★★）1．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：第1种物质的分子式是C10H8，第2种物质的分子式是C16H【答案】C【分析】本题考查了数字的规律，根据相邻分子式间的差值求得增加规律是解题关键．根据C和H随序数的增长规律计算求值即可．【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为C故第8个分子式为C故答案为∶C522．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的d=（）．

A．315 B．645 C．965 D．1275【答案】B【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键．根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题．【详解】每个方格中左上角的数字依次为−2,4,−8,16，所以第n个方格中左上角的数字可表示为−2n每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为−2n每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为:−2n当n=8时，a=−28=256，b=256+5=261又0−2+3−1,15=4+9+2，所以d=a+b+c=256+261+128=645．故选：B．3．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对n,m表示第n行，从左到右第m个数，如4,2表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为．【答案】64,9【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第n行的最后一个数为n(n+1)2【详解】解：第一行的最后一个数是1，第二行最后一个数是3=1+2，第三行最后一个数是6=1+2+3，第四行最后一个数是10=1+2+3+4，∴第五行最后一个数是1+2+3+4+5=15．∴第n行最后一个数是1+2+3+4+…+n=n∵63×642∴第63行的最后一个数是2016．∴2025在第64行从左到右第9个数的位置．∴正整数2025可以用64,9有序数对来表示．故答案为：64,9．4．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0,b0,c0（1）若G0=4,7,10（2）小明发现：若G0=4,8,18，则游戏永远无法结束，那么【答案】310,11,9【分析】本题考查的是推理与论证，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键．（1）按照游戏规则，按照顺序操作得出结果即可；（2）利用同（1）的方法找出数字变化规律，进一步解决问题．【详解】解：（1）∵G0∴第一次操作结果为G1=5,8,8，第二次操作结果为G所以经过3次操作后游戏结束；（2）因为G0所以G1G2G3G4G5G6GG8G9G……，由此看出从G5∵2025−4÷3=673⋯⋯2所以G2014与G6相同，也就是故答案为：3；10,11,95．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空：我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：1【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：

阴影部分可以看成1个1×1的正方形，总面积=12

阴影部分可以看成2个2×2的正方形，总面积=13（1）如图，阴影部分可以看成3个3×3的正方形，总面积=13+23

【解决问题】（2）归纳猜想（不需要证明）：13+23+33【拓展应用】（3）根据以上结论，计算：23【答案】（1）1+2+3；（2）1+2+3+…+n；nn+12【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论．（1）如图构造正方形：A表示一个1×1的正方形，B,C,D表示2个2×2的正方形，E,F,G表示3个3×3的正方形，而A,B,C,D,E,F,G恰好可以拼成一个边长为1+2+3的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13（2）由以上几何图形的面积规律可猜测出13（3）提公因数23【详解】解：（1）如图，A表示一个1×1的正方形，B,C,D表示2个2×2的正方形，E,F,G表示3个3×3的正方形，而A,B,C,D,E,F,G恰好可以拼成一个边长为1+2+3的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+故答案为：1+2+3；（2）根据以上规律可知，13+2故13故答案为：1+2+3+…+n；nn+1（3）23故答案为：288800．题型11图形的规律探索（★★）1．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案：结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本题考查了图形规律．根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，第1个图案中〇的个数为3=12+2第2个图案中〇的个数为6=22+2第3个图案中〇的个数为11=32+2…，所以第n个图案中〇的个数为n2+2个，△的个数为由n2n1=−4（舍去），所以n的值为8．故选：C．2．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（

）A．669 B．670 C．671 D．675【答案】D【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数．第一次可得到4个正方形；第二次可得到4+3=7个正方形；第三次可得到4+2×3=10个正方形；则第n次可得4+n−1【详解】解：第一次可得到4个正方形；第二次可得到4+3=7个正方形；第三次可得到4+2×3=10个正方形；则第n次可得4+n−1∵若要得到2026个小正方形，∴4+解得n=675．故选：D．3．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用an表示前n层的弹珠数，其中n=1，2，3，…，则1a【答案】19【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：n1+n2，即an【详解】解：观察图形的变化可得：顶层记为第1层，有1颗弹珠，即1=1；前2层共有3颗弹珠，即1+2=3；前3层共有6颗弹珠，即1+2+3=6．…，故前n层的弹珠数为：1+2+3+…+n=n∴an∴1a∴1=2×=2×=2×=19故答案为：19104．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为．【答案】729【分析】本题考查了图形类规律探究，先根据给出的图②和图③找出出现“1”的规律，然后根据规律即可得解．【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为3×9=27（个），同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为3×27=81（个），前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为3×81=243（个），前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍，即前64行中“1”的个数为3×243=729（个），故答案为：729．5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：

(1)图1中黑色正方形有：1+1=1+1×(1+1)图2中黑色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)图3中黑色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)……图n中黑色正方形有：1+1+2+3+⋯+n=__________，白色正方形有__________个．(2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数．【答案】(1)1+n1+n(2)66【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点．（1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可；（2）根据前面所得规律可得方程1+n【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有1+1+2+3+...+n=1+n∴图n的白色正方形有n+1+n（2）解：图1中，等边三角形的个数为2个；图2中，等边三角形的个数为3个：图3中，等边三角形的个数为4个；图4中，等边三角形的个数为5个；……，以此类推可知，图n中等边三角形的个数为n+1个，∵图n中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，∴1+n解得n=10或n=−9（舍去），当n=10时，n+2n+1∴图n中白色正方形的个数为66个．题型12利用乘法公式变形求值（★★）1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知a+1a=5，则a2【答案】±5【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到a−1【详解】解：∵a+1∴a+1故a2∴a2故a−1∴a−1∴a2故答案为：±5212．（2025·湖南长沙·一模）已知a2+b2+3a【答案】6【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式求出a2+b【详解】解：设x=a则a2+b则x2x2x2则x=±4，∵a∴a2∴a+b2故答案为：6．3．（2025·山东聊城·二模）如果a+b=3,ab=1，那么a3b+2a【答案】9【分析】根据a3b+2a本题考查了因式分解，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握公式，因式分解是解题的关键．【详解】解：由a3且a+b=3,ab=1，a3故答案为：9．4．（2025·浙江·模拟预测）已知a−b2=1,a+b2=25【答案】6【分析】本题考查了完全平方公式a±b2=a2±2ab+【详解】解：∵a−b2∴a2∴a2∵a+b2∴a2将①代入②得：1+2ab+2ab=25，解得ab=6，故答案为：6．题型13整式运算的几何意义（★★）1．（2025沈阳市三模）如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（

）A．a+ba−b=aC．a+b2=a【答案】D【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键．【详解】解：∵总体大正方形的边长为a+b，则面积为a+b2中间小正方形的边长为a−b，则面积为a−b24个长方形的面积为4ab，又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积，∴a+b2故选：D．2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形ABCD的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中AE=2，DE=4，A．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和B．图中阴影部分面积保持不变C．阴影部分周长保持不变D．阴影部分面积和周长都不确定【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为2×6，竖直长度之和为26−2=8，结合图形求得阴影部分的周长，据此可判断C，根据完全平方公式得到【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为2×6=12，竖直长度之和为26−2则阴影部分的周长为：12+8=20，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意；∵BF+CG=AE，∴BF+CG2∴S正方形∵正方形3和正方形4的面积与BF，∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意；故选：C．3．（2025·河北·模拟预测）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>b)．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2【答案】a−b【分析】本题考查列代数式，完全平方公式，根据所给的图形，用含a，b的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键．根据图2中正方形的组成得到S1，根据图3长方形的组成得到S【详解】解：由题可知，图2正方形的边长为a+b，∴S1图3长方形的长和宽为a和4b∴S2∴S1故答案为：a−b24．（2025·河北·一模）根据a+b2(1)若a+b=3，ab=2，求a2(2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式；(3)如图2，结合图中数据，若a+b+c=5，a2+b【答案】(1)5(2)a+2ba+b，a2(3)8【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、整式运算的应用，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．（1）结合完全平方公式，可得a+b=a2（2）利用图中矩形面积等于长×宽、各部分面积之和两种方式表达，即可获得答案；（3）首先将a+b+c2经计算可得a2+b2【详解】（1）解：∵a+b=3，ab=2，又∵a+b=∴a2（2）根据题意，大矩形的长为a+2b，宽为a+b，则其面积为：a+2ba+b大矩形的面积也可以表示为：a2最终可以得到等式：a+2ba+b（3）根据（2）中方法可以列出等式：a+b+c2将a+b+c=5，a2可得ab+ac+bc=25−9题型14选用合适的方法分解因式（★）1．（2025·山东泰安·一模）分解因式3mn3−9【答案】3mn【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确确定公因式是解题关键．【详解】解：3m=3mnn故答案为：3mnn2．（2025·全国·一模）分解因式：x2y−12xy+36y=【答案】y【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：x2故答案为：yx−63．（2025·安徽·模拟预测）分解因式：x2+ax+x+a=【答案】x+1【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答．【详解】解：x==x=x+1故答案为：x+1x+a4．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式：x2−6x+1=【答案】x−3−2【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解．【详解】解：x====x−3−2题型15因式分解的应用（★★）1．（2025·河南新乡·三模）若m为任意整数，则2m+62−36的值总能（A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】B【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：2m+6==2m=4m∴2m+62故选：B．2．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1、S2分别表示两个阴影部分的面积．若A．6 B．21 C．921 D．【答案】C【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出m−n的值，得出S1【详解】解：∵m+n=9，∴m−n2∴m−n=21∵S=m∴S1故选：C．4．（2026延安市一模）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解a2−6a+5；②求小明的解答：a===小丽的解答：a==无论a为何值，a−3∴a−3即a2则a2−6a+5(1)根据小明的解答，将a2(2)根据小丽的解答，求代数式a2【答案】(1)a−2(2)−25【分析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．（1）仿照小明的解答把原式化为：a−62（2）仿照小丽的思考把原式化为a−42【详解】（1）解：a====a−2（2）解：a==a−4∵无论a为何值，a−4∴a−4即a2则a2−8a−9的最小值为5．（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2【答案】(a+2b)(a+b)【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果．长方形的面积=长×宽，所以a【详解】解：a2故答案为：a+2b题型16整式的化简求值问题（★）1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A=x−3，B=x−1，C=x．试从【答案】9−5x【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题意列式计算即可．【详解】解：已知A=x−3，若选A⋅B−A⋅C，原式=(x−3)(x−1)−x(x−3)==3−x；若选A2原式====9−5x．2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：x(5−x)+x2+3【答案】5x+3，13【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．【详解】解：x(5−x)+=5x−=5x+3，当x=2时，原式=5×2+3=13．3．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：x−yx+y+y−4【答案】xy−8y+16,1【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可【详解】解：原式==xy−8y+16．当x=1原式=1−16+16=1．4．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：3x−y2x+y−x−3y2+10【答案】5x+7y，9【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算．先根据整式的运算法则进行化简，再将x=−1，y=2代入即可得解．【详解】解：3x−y2x+y=6=5=5x+7y，当x=−1，y=2时，原式=5x+7y=5×(−1)+7×2=9．题型17与整式运算有关的新定义问题（★★）1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：an⋅an=am+n，现定义一种新运算：hm+n=hm⋅hA．2k+2026 B．1013k C．2k+1013 D．【答案】D【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得h2×2、h2×3、h2×4的值，再归纳类推出h【详解】解：∵h2∴h2×2h2×3h2×4归纳类推得：h2n=k∴h2026∴h2n故选：D．2．（2025·河北·二模）定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则(x−y)m−n的值是【答案】−27【分析】本题主要考查了定义新运算，代数式求值，根据题意可知y+(−1)=x+2，m+(−1)=n+2，再整理可得x−y,m−n，然后代入求出值即可．【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和相等，∴y+(−1)=x+2，m+(−1)=n+2，即x−y=−3,m−n=3，∴(x−y)m−n故答案为：−27．3．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8=32−12，16=【答案】257048【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为2n−1，2n+1（n为正整数），求出2n+12【详解】解：设两个连续的正奇数为2n−1，2n+1（2n+1==8n，∵n为正整数，∴8n为正整数，∴任意的“登高数”一定是8的倍数，∵2024=253×8，∴不超过2024的所有“登高数”的和为8×1+2+3+⋯+252+253故答案为：257048．4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为a∗b=ab2(1)计算4∗5；(2)若a=2b，求证a∗b=ab【答案】(1)884(2)见解析【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据题意只需要计算出4×52（2）把a=2b代入到a∗b=ab2+【详解】（1）解：4∗5=（2）证明：∵a=2b，∴a∗b===4=8=42∵42∴a∗b=ab1．（2025·安徽芜湖·三模）若A=3x2−2xy+2，B=x2−yA．A≥B B．A>B C．A≤B D．A<B【答案】B【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可．【详解】解：∵A−B==3=2==x−y又∵x−y2≥0，∴x−y2∴A>B，故选：B．2．（2025·四川成都·二模）已知a、b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a+b=6，ab=4，则这个直角三角形的斜边长为【答案】2【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的变形运算，由题意得a2【详解】解：∵a+b=6，∴a2∴这个直角三角形的斜边长=a故答案为：273．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足a2+b2【答案】13【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，点到原点的距离，利用完全平方公式法将等式左边进行因式分解，非负性求出a,b的值，再利用两点间的距离公式进行求解即可．【详解】解：∵a2∴a2∴a+22∴a+2=0,b−3=0，∴a=−2,b=3；∴点a,b到原点的距离为−22故答案为：134．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式x2(2)若y=−x2+2x−3，当x(3)求证：不论x，y取何值，多项式x2【答案】(1)见解析(2)当x=1时，y有最大值，最大值为−2(3)见解析【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键．（1）根据题意利用配方法分解因式即可；（2）由配方法得到y=−x（3）利用配方法得到x2【详解】（1）解：x=x−（2）解：y=−x∵−1<0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为−2．（3）证明：x2则不论x，y取何值，多项式x25．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n=3，则称这个正整数为“三方数”．例如：15=42−(1)第2个“三方数”是________；第10个“三方数”是________；(2)请判断2025是“三方数”吗？并说明理由．【答案】(1)21；69；(2)是“三方数”，理由见解析【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，代数式的规律探索，解题关键是利用平方差公式和已知条件得到第k（k是正整数）个“三方数”的代数式．（1）根据题意依次列出前面几个“三方数”，并得到规律，即可求解；（2）利用规律列出第k（k是正整数）个“三方数”，代入2025并求解k，即可判断．【详解】（1）解：∵m−n=3，m2∴第1个“三方数”是42第2个“三方数”是52第3个“三方数”是62⋯第10个“三方数”是132故答案为：21；69；（2）解：2025是“三方数”，理由如下：由（1）可知第k（k是正整数）个“三方数”是k+32当32k+3解得：k=336，故2025是“三方数”．1．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（

）A．3a+2=3a+6 C．a+a2=【答案】A【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．【详解】解：A、3a+2B、a+b2C、a与a2D、ab2故选：A．2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（）A．a2+aC．a24=【答案】B【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可．【详解】解：A、a2与aB、a2C、a2D、a4故选：B．3．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：1.9，3.99，5.999，7.999